2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué).doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個(gè)時(shí)期：以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號(hào)體系形成的常量數(shù)學(xué)時(shí)期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時(shí)期；以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期． 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性． 函數(shù)的基本知識(shí)有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫(huà)法． 在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，所以，求點(diǎn)的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題． 【例題求解】 【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(2，-3)，點(diǎn)P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ． 思路點(diǎn)撥 先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AB，因題設(shè)中未指明△APB的哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分別就∠A、∠B、∠C為直角來(lái)討論，設(shè)點(diǎn)P(0，x)，運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方程． 注： 點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有： (1)利用幾何計(jì)算求； (2)通過(guò)解析式求； (3)解由解析式聯(lián)立的方程組求． 【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿(mǎn)燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿(mǎn)水槽．水槽中水面上升高度與注水時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的( ) 思路點(diǎn)撥 向燒杯注水需要時(shí)間，并且水槽中水面上升高． 注： 實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過(guò)圖象直觀地表現(xiàn)出來(lái)，如心電圖、，股市行情走勢(shì)圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢(shì)等有關(guān)信息中獲得啟示． 【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷(xiāo)售，共有飛機(jī)、火車(chē)、汽車(chē)三種運(yùn)輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示： 運(yùn)輸工具 途中速度(千米／時(shí)) 途中費(fèi)用(元／千米) 裝卸費(fèi)用(元) 裝卸時(shí)間(小時(shí)) 飛機(jī) 200 16 1000 2 火車(chē) 100 4 xx 4 汽車(chē) 50 8 1000 2 若這批水果在運(yùn)輸(包括裝卸)過(guò)程中的損耗為200元/小時(shí)，記A、B兩市間的距離為x千米． (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車(chē)、汽車(chē)運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用(包括損耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式． (2)應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小? 思路點(diǎn)撥 每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用＝途中所需費(fèi)用(含裝卸費(fèi)用)+損耗費(fèi)用；總支出費(fèi)用隨距離變化而變化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過(guò)討論選擇最佳運(yùn)輸方式． 【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，8)． (1)畫(huà)出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系； (2)寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為P．問(wèn)：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果存在，寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 (1)關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn)，只須判斷∠COy與∠CAD的大??；(2)利用解直角三角形求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)軸上存在點(diǎn)F(0，y)，則P與F只可能關(guān)于直線(xiàn)DC對(duì)稱(chēng)． 注：建立函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問(wèn)題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型． 【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn)A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y． (1)當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求的值； (2)設(shè)AP=cm時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)y=2cm2，試確定點(diǎn)P的位置．(xx年天津市中考題) 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，由于點(diǎn)P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系，故需分類(lèi)討論；對(duì)于(3)，由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值． 注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線(xiàn)段用自變量表示，再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是： (1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類(lèi)討論； (2)確定自變量的幾何意義，常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1． 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請(qǐng)寫(xiě)出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo) ． 2．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo))． 3．根據(jù)指令[S，A](S≥0，0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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