高中數(shù)學 第二章 幾個重要的不等式 2.3.1 數(shù)學歸納法 2.3.2 數(shù)學歸納法的應用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3數(shù)學歸納法與貝努利不等式31數(shù)學歸納法32數(shù)學歸納法的應用,1理解數(shù)學歸納法原理2能運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題，掌握數(shù)學歸納法的步驟3會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式4了解貝努利不等式的應用條件.,學習目標,1.應用數(shù)學歸納法證明不等式(重點)2貝努利不等式的應用(難點),學法指要,預習學案,1已知某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當nk(kN)時該命題成立，那么可以推得nk1時該命題也成立現(xiàn)已知n5時該命題不成立，則n4時該命題_,不成立,1數(shù)學歸納法的步驟(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值_時命題成立；(2)(歸納遞推)假設_(kn0，kN*)時命題成立，證明當n_時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2對任何實數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有_，稱為貝努利不等式,n0,nk,k1,(1x)n1nx,解析：左端1aa2an1共n2項，當n1時an1a2左端1aa2.答案：C,答案：B,3設凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析：由凸多邊形性質(zhì)知多加了一條邊內(nèi)角和比原來多了.答案：,課堂講義,思路點撥要證明的等式左邊有2n項，右邊有n項，f(k)與f(k1)相比，左邊增加二項，右邊增加一項，而且左、右兩邊的首項不同，因此，由nk到nk1時要注意項的合并,用數(shù)學歸納法證等式,思路點撥用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)從nk到nk1，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項,思路點撥用數(shù)學歸納法證明不等式常常要用到放縮法，即在歸納假設的基礎上，通過放大或縮小等技巧，變換出要證明的目標不等式,數(shù)學歸納法證明不等式,數(shù)學歸納法解決探索型不等式問題,思路點撥利用數(shù)學歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察歸納猜想證明即先通過觀察部分項的特點進行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法進行證明,(1)數(shù)學歸納法的概念：先證明當n取第一值n0(例如可取n01)時命題成立，然后假設當nk(kN，kn0)時命題成立，證明當nk1時命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學歸納法(2)數(shù)學歸納法適用范圍：數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的證明,數(shù)學歸納法,在用數(shù)學歸納法證明不等式問題中，從“nk”到“nk1”的過渡中，利用歸納假設是比較困難的一步，它不像用數(shù)學歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來，而證明不等式的第二步中，從“nk”到“nk1”，只用拼湊的方法，有時行不通，因為對不等式來說，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設，因此，我們可以利用“比較法”“綜合法”“分析法”等來分析從“nk”到“nk1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu),用數(shù)學歸納法證明不等式,如果x是實數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n1nx.證明：(1)當n2時，由x0得(1x)212xx212x，不等式成立(2)假設當nk(k2)時不等式成立即有(1x)k1kx.當nk1時，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x.所以當nk1時不等式成立,貝努利不等式,由(1)(2)可知，貝努利不等式成立把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)a時，仍有類似不等式成立，它們是貝努利不等式的更一般的形式：當a是實數(shù)，并且滿足a1或者a1)；當a是實數(shù)，并且滿足01),這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索性問題，結(jié)論如何？命題的成立不成立都預先需要歸納與探索，而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手，得到一個結(jié)論，但這個結(jié)論不一定正確，因為這是靠不完全歸納法得出的，因此，需要給出一定的邏輯證明，所以，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索一般規(guī)律，其關(guān)鍵在于正確的歸納猜想，如果歸納不出正確的結(jié)論，那么數(shù)學歸納法的證明也就無法進行了.,觀察、歸納、猜想、證明的方法,