2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類(lèi)題庫(kù) 考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理（文、理）（含詳解13高考題） .doc

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2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類(lèi)題庫(kù) 考點(diǎn)17 正弦定理和余弦定理（文、理）（含詳解，13高考題）一、選擇題1.（xx北京高考文科5）在ABC中，a=3,b=5,sinA=,則sinB=( )A. B. C. D.1【解題指南】已知兩邊及一邊的對(duì)角利用正弦定理求解?！窘馕觥窟xB。由正弦定理得。2.（xx新課標(biāo)全國(guó)高考文科4）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的面積為（ ）A. B. C. D.【解題指南】利用正弦定理和三角形的面積公式可得【解析】選B.因?yàn)?所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面積為.因?yàn)?，所以，選B.3.（xx新課標(biāo)高考文科10）已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，c=6，則（ ）A.10B.9C.8D.5【解題指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】選D.因?yàn)椋?，解得，方法?因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以,.由正弦定理得，.，.又，所以，.由正弦定理得, ，解得.方法二:由余弦定理，則，解得4.（xx陜西高考文科9）【備注：（xx陜西高考理科7）與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為 ( )A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定【解題指南】在含有邊角關(guān)系式的三角函數(shù)恒等變形中,利用正弦定理將邊的關(guān)系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關(guān)系式,這是判斷三角形形狀的兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向.【解析】選A.因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.5.（xx安徽高考文科9）【備注：（xx安徽高考理科12）與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,則3sinA=5sinB,則角C=()A. B. C. D. 【解題指南】 根據(jù)正弦定理、余弦定理進(jìn)行解三角形計(jì)算。【解析】選B.由題設(shè)條件可得，由余弦定理得，所以。6. （xx山東高考文科7）的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則（ ）A. B. 2 C. D.1【解析】選B.由,則，由正弦定理知,即,所以cosA=，所以A=，所以，所以，c=2.7.（xx湖南高考理科3）在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為.若（ ）A B C D【解題指南】本題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.8. （xx天津高考理科6）在ABC中, 則 = ()A. B. C. D. 【解題指南】先由余弦定理求AC邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正弦定理求值.【解析】選C. 在ABC中，由余弦定理得，所以由正弦定理得即所以.9. （xx湖南高考文科5）在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b. 若2asinB=b，則角A等于（ ）A. B. C. D.【解題指南】本題先利用正弦定理化簡(jiǎn)條件等式，注意條件“銳角三角形” . 【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.二、填空題10.(xx浙江高考理科T16)在ABC中,C=90,M是BC的中點(diǎn).若,則sinBAC=.【解題指南】分別在RtABC和ABM中應(yīng)用勾股定理和正弦定理.【解析】設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在ABM中由正弦定理得,因?yàn)?又,所以.又由得,兩邊平方化簡(jiǎn)得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以.【答案】11.（xx上海高考理科T4）已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0c2=a2+b2+ab,故【答案】12.（xx上海高考文科T5）已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是 .【解析】【答案】 三、解答題13. （xx大綱版全國(guó)卷高考文科18）與（xx大綱版全國(guó)卷高考理科18）相同設(shè)的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，（I）求;（II）若,求.【解題指南】（I）由條件確定求應(yīng)采用余弦定理.（II）應(yīng)用三角恒等變換求出及的值，列出方程組確定的值.【解析】（I）因?yàn)?所以.由余弦定理得，因此.（II）由（I）知，所以.故或，因此或14. （xx新課標(biāo)高考理科17）如圖，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，.（）若，求；（）若，求.【解析】由已知得，所以.在，由余弦定理得,故.（）設(shè)，由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以，即.15. （xx天津高考文科16）在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 【解題指南】()根據(jù)正弦定理及, a = 3求出a,c的值，再由余弦定理求b的值；()根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式求出，再由兩角差的正弦公式求值.【解析】() 在ABC中，由正弦定理得，即，又由，可得，,又 a = 3，故c=1，由且可得()由，得，進(jìn)而得到所以16.(xx浙江高考文科T18)與(xx浙江高考理科T18)相同在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根據(jù)余弦定理,借助三角形的面積公式求解.【解析】(1)由2asinB=b及正弦定理,得sinA=,因?yàn)锳是銳角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面積公式S=bcsinA,得ABC的面積為.17.（xx江西高考理科16）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若，求b的取值范圍.【解題指南】(1)借助三角形內(nèi)角和為，結(jié)合三角恒等變換將條件中的等式轉(zhuǎn)化為只含B的方程，求出B的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求出角B.（2）根據(jù)（1）求出的B與，由余弦定理可得b2關(guān)于a的函數(shù)，注意到可知，進(jìn)而可求出b的范圍.【解析】（1）由已知得，即.因?yàn)?，所?又,所以,又，所以.（2）由余弦定理，有，因?yàn)椋?所以，又因?yàn)?，所以，?18. （xx江西高考文科17）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.（1）求證：a，b，c成等差數(shù)列；（2）若C=，求的值.【解題指南】（1）先利用二倍角公式把角2B化為角B，再進(jìn)行角化邊的處理；（2）借助第（1）問(wèn)的結(jié)果結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解.【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因?yàn)閟inB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b，即a，b，c成等差數(shù)列.(2) 由C=，c=2b-a及余弦定理得，即有，所以.19.（xx北京高考理科15）在ABC中，a=3，b=2，B=2A.(I)求cosA的值，(II)求c的值【解題指南】（1）由條件可以看出，已知兩角關(guān)系求角，可以利用正弦定理解決問(wèn)題；（2）由已知兩邊和角求第三邊，所以應(yīng)用余弦定理求解?！窘馕觥浚?）由正弦定理得，所以，即.（2）由余弦定理得，所以，即，解得或（舍）。20.(xx新課標(biāo)全國(guó)高考理科T17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求ABC面積的最大值.【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角”,化簡(jiǎn)求得B.(2)利用角B、邊b將ABC面積表示出來(lái),借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inC0,所以tanB=1,解得B=(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,即4=a2+c2-ac,由不等式得a2+c22ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),取等號(hào),所以4(2-)ac,解得ac4+2,所以ABC的面積為acsin(4+2)=+1.所以ABC面積的最大值為+1.