2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練三 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理.doc

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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練三 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 理考情解讀1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點考查分析、處理問題的能力，是高考的必考點1三角函數(shù)定義、同角關(guān)系與誘導公式(1)定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin y，cos x，tan .各象限角的三角函數(shù)值的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角關(guān)系：sin2cos21，tan .(3)誘導公式：在，kZ的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”2三角函數(shù)的圖象及常用性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象單調(diào)性在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞增；在2k，2k(kZ)上單調(diào)遞減在(k，k)(kZ)上單調(diào)遞增對稱性對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(k，0)(kZ)；對稱軸：xk(kZ)對稱中心：(，0)(kZ)3.三角函數(shù)的兩種常見變換(1)ysin xysin(x) ysin(x)yAsin(x)(A0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)熱點一三角函數(shù)的概念、誘導公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系例1(1)點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點的坐標為()A(，) B(，)C(，) D(，)(2)已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點P(4,3)，則的值為_思維啟迪(1)準確把握三角函數(shù)的定義(2)利用三角函數(shù)定義和誘導公式答案(1)A(2)解析(1)設(shè)Q點的坐標為(x，y)，則xcos，ysin.Q點的坐標為(，)(2)原式tan .根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tan ，原式.思維升華(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān)(2)應用誘導公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等(1)如圖，以O(shè)x為始邊作角(00，cos 0，0，|)的部分圖象如圖所示，則將yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為()Aysin 2x Bycos 2xCysin(2x) Dysin(2x)(2)若函數(shù)ycos 2xsin 2xa在0，上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為_思維啟迪(1)先根據(jù)圖象確定函數(shù)f(x)的解析式，再將得到的f(x)中的“x”換成“x”即可(2)將零點個數(shù)轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖象的交點個數(shù)答案(1)D(2)(2，1解析(1)由圖知，A1，故T，所以2，又函數(shù)圖象過點(，1)，代入解析式中，得sin()1，又|，故.則f(x)sin(2x)向右平移后，得到y(tǒng)sin2(x)sin(2x)，選D.(2)由題意可知y2sin(2x)a，該函數(shù)在0，上有兩個不同的零點，即ya，y2sin(2x)在0，上有兩個不同的交點結(jié)合函數(shù)的圖象可知1a2，所以20，0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置(2)在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向(1)如圖，函數(shù)f(x)Asin(x)(其中A0，0，|)與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P(2,0)，PQR，M為QR的中點，PM2，則A的值為()A. B.C8 D16(2)若將函數(shù)ytan(x)(0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)ytan(x)的圖象重合，則的最小正值為()A. B.C. D.答案(1)B(2)D解析(1)由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，a)(a0)則M(，)，由兩點間距離公式得，PM 2，解得a8，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，從而f(0)Asin()8，得A.(2)ytan(x)的圖象向右平移，得到y(tǒng)tan(x)的圖象，與ytan(x)重合，得k，故6k，kZ，的最小正值為.熱點三三角函數(shù)的性質(zhì)例3設(shè)函數(shù)f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當x0，時，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的對稱軸方程思維啟迪先化簡函數(shù)解析式，然后研究函數(shù)性質(zhì)(可結(jié)合函數(shù)簡圖)解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a，則f(x)的最小正周期T，且當2k2x2k(kZ)時f(x)單調(diào)遞增，即kxk(kZ)所以k，k(kZ)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)當x0，時2x，當2x，即x時sin(2x)1.所以f(x)max1a2a1.由2xk得x(kZ)，故yf(x)的對稱軸方程為x，kZ.思維升華函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題已知函數(shù)f(x)2sin xcos x2sin2x(0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)yg(x)的圖象；若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10個零點，求b的最小值解(1)由題意得：f(x)2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，由周期為，得1，得f(x)2sin(2x)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為2k2x2k，kZ，整理得kxk，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是k，k，kZ.(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到y(tǒng)2sin 2x1的圖象，所以g(x)2sin 2x1，令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有兩個零點，若yg(x)在0，b上有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為4.1求函數(shù)yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的單調(diào)區(qū)間(1)將化為正(2)將x看成一個整體，由三角函數(shù)的單調(diào)性求解2已知函數(shù)yAsin(x)B(A0，0)的圖象求解析式(1)A，B.(2)由函數(shù)的周期T求，.(3)利用與“五點法”中相對應的特殊點求.3函數(shù)yAsin(x)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點4求三角函數(shù)式最值的方法(1)將三角函數(shù)式化為yAsin(x)B的形式，進而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解(2)將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解5特別提醒進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行什么樣的變換都是變換變量本身真題感悟1(xx遼寧)將函數(shù)y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)()A在區(qū)間，上單調(diào)遞減B在區(qū)間，上單調(diào)遞增C在區(qū)間，上單調(diào)遞減D在區(qū)間，上單調(diào)遞增答案B解析y3sin(2x)的圖象向右平移個單位長度得到y(tǒng)3sin2(x)3sin(2x)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，則y3sin(2x)的增區(qū)間為k，k，kZ.令k0得其中一個增區(qū)間為，故B正確畫出y3sin(2x)在，上的簡圖，如圖，可知y3sin(2x)在，上不具有單調(diào)性，故C，D錯誤2(xx北京)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A0，0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為_答案解析f(x)在上具有單調(diào)性，T.ff，f(x)的一條對稱軸為x.又ff，f(x)的一個對稱中心的橫坐標為.T，T.押題精練1函數(shù)f(x)2sin(x)(0)的部分圖象如圖，其中M(m,0)，N(n,2)，P(，0)，且mn0，則f(x)在下列哪個區(qū)間中是單調(diào)的()A(0，) B(，)C(，) D(，)答案B解析mn0)，直線xx1，xx2是yf(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1x2|的最小值為.(1)求f(x)的表達式；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)k0在區(qū)間0，上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，由題意知，最小正周期T2，T，所以2，f(x)sin.(2)將f(x)的圖象向右平移個單位長度后，得到y(tǒng)sin(4x)的圖象，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)sin(2x)的圖象所以g(x)sin(2x)令2xt，0x，t.g(x)k0在區(qū)間0，上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)g(t)sin t與yk在區(qū)間，上有且只有一個交點如圖，由正弦函數(shù)的圖象可知k或k1.0且|)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標為()A. B.C. D.答案A解析依題意知，T，2，將點(，1)代入ysin(2x)得sin()1，又|0，0，|)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點與最低點，且0，則A等于()A. B. C. D.答案C解析由題中圖象知，所以T，所以2.則M，N由0，得A2，所以A，所以A.5已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中|，若f(x)|f()|對xR恒成立，且f()f()Cf(x)是奇函數(shù)Df(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)答案D解析由f(x)|f()|恒成立知x是函數(shù)的對稱軸，即2k，kZ，所以k，kZ，又f()f()，所以sin()sin(2)，即sin 0，得，即f(x)sin(2x)，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k(kZ)6已知A，B，C，D，E是函數(shù)ysin(x)(0,00,0)一個周期內(nèi)的圖象上的五個點，A(，0)，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，所以T4()，所以2，因為A(，0)，所以f()sin()0,00，0，|0)和g(x)3cos(2x)的圖象的對稱中心完全相同，若x0，則f(x)的取值范圍是_答案，3解析由兩三角函數(shù)圖象的對稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么當x0，時，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，310給出命題：函數(shù)y2sin(x)cos(x)(xR)的最小值等于1；函數(shù)ysin xcos x是最小正周期為2的奇函數(shù)；函數(shù)ysin(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增的；若sin 20，cos sin 0，則一定為第二象限角則真命題的序號是_答案解析對于，函數(shù)y2sin(x)cos(x)sin(x)，所以其最小值為1；對于，函數(shù)ysin xcos xsin 2x是奇函數(shù)，但其最小正周期為1；對于，函數(shù)ysin(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上單調(diào)遞減；對于，由cos 0，所以一定為第二象限角三、解答題11已知函數(shù)f(x)Asin(3x)(A0，x(，)，0)在x時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f()，求sin .解(1)f(x)的最小正周期T.(2)由函數(shù)的最大值為4，可得A4.所以f(x)4sin(3x)當x時，4sin(3)4，所以sin()1，所以2k，kZ，因為0，所以.所以f(x)的解析式是f(x)4sin(3x)(3)因為f()，故sin(2).所以cos 2，即12sin2，故sin2.所以sin .12已知函數(shù)f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x，xR.求：(1)函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的值域解(1)由二倍角的正、余弦公式及其變形，得f(x)sin 2x2sin 2xcos 2x22(sin 2xcos 2x)2sin(2x)2.函數(shù)f(x)的最小正周期T，2k2x2k，kZ，即kxk，kZ時f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.(2)由題意得x，2x，sin(2x)，1，即12sin(2x)24，f(x)區(qū)間，上的值域為1,4