2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第2講 數(shù)形結(jié)合思想 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練九 第2講 數(shù)形結(jié)合思想 理1數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：(1)等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)(2)雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯(3)簡單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍(2)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍(3)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系(4)構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式(5)構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題(6)構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題(7)構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)(8)研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等4數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：(1)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式(有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解熱點一利用數(shù)形結(jié)合思想討論方程的根例1(xx山東)已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)答案B解析先作出函數(shù)f(x)|x2|1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)kx與直線AB平行時斜率為1，當(dāng)直線g(x)kx過A點時斜率為，故f(x)g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為(，1)思維升華用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關(guān)于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函數(shù)yf(x)及yx的函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得交點有3個熱點二利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、求參數(shù)范圍例2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調(diào)遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)0的x的取值范圍是_(2)若不等式|x2a|xa1對xR恒成立，則a的取值范圍是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知xf(x)0，所以m1，故m的取值范圍是m1.(2)令y1，y2k(x2)，在同一個坐標(biāo)系中作出其圖象，因k(x2)的解集為a，b且ba2.結(jié)合圖象知b3，a1，即直線與圓的交點坐標(biāo)為(1,2)又因為點(2，)在直線上，所以k.熱點三利用數(shù)形結(jié)合思想解最值問題例3(1)已知P是直線l：3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_(2)已知點P(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是()A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案(1)2(2)B解析(1)從運動的觀點看問題，當(dāng)動點P沿直線3x4y80向左上方或右下方無窮遠(yuǎn)處運動時，直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當(dāng)點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點P到達(dá)一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時|PC|3，從而|PA|2.所以(S四邊形PACB)min 2|PA|AC|2.(2)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，最大值為|QA|216.d2()2()22.取值范圍是2,16思維升華(1)在幾何的一些最值問題中，可以根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合圖形上點的條件進行轉(zhuǎn)換，快速求得最值(2)如果(不)等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解(1)(xx重慶)設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D2(2)若實數(shù)x、y滿足則的最小值是_答案(1)B(2)2解析(1)由題意，知圓的圓心坐標(biāo)為(3，1)，圓的半徑長為2，|PQ|的最小值為圓心到直線x3的距離減去圓的半徑長，所以|PQ|min3(3)24.故選B.(2)可行域如圖所示又的幾何意義是可行域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點連線的斜率k.由圖知，過點A的直線OA的斜率最小聯(lián)立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值為2.1在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的2有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結(jié)論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的3利用數(shù)形結(jié)合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象4數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復(fù)數(shù)的模)；點到直線的距離公式等.真題感悟1(xx重慶)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.答案A解析設(shè)P(x,0)，設(shè)C1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點為C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PN|PC1|PC2|454.2(xx江西)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.答案A解析AOB90，點O在圓C上設(shè)直線2xy40與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2xy40的距離，點C在以O(shè)為焦點，以直線2xy40為準(zhǔn)線的拋物線上，當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|，圓C的最小半徑為，圓C面積的最小值為()2.3(xx課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖當(dāng)a0時，|f(x)|ax顯然成立當(dāng)a0時，只需在x0時，ln(x1)ax成立比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)yax的增長速度顯然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立當(dāng)a0時，只需在x0，且x1x2a32，x1x2a1，聯(lián)立可得0a0，且x3x4a32，x3x4a1，聯(lián)立可得a9，綜上知，0a9.押題精練1方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析(數(shù)形結(jié)合法)a0，a211.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點2不等式|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案A解析f(x)|x3|x1|畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正確選項為A.3經(jīng)過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.答案1,10，)解析如圖所示，結(jié)合圖形：為使l與線段AB總有公共點，則kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0時，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當(dāng)0k1時，0；當(dāng)1k0時，.故傾斜角的取值范圍為0，)4(xx山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是_答案解析由題意知原點O到直線xy20的距離為|OM|的最小值所以|OM|的最小值為.5(xx江西)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)AOB的面積取最大值時，直線l的斜率為_答案解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.當(dāng)AOB時，SAOB面積最大此時O到AB的距離d.設(shè)AB方程為yk(x)(k0)，即kxyk0.由d得k.6設(shè)函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們在x1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍解函數(shù)g(x)bx2ln x的定義域為(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依題意得2b10，所以b.(2)x(0,1)時，g(x)x0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，g(x)取得極小值g(1)；當(dāng)a0時，方程F(x)a2不可能有四個解；當(dāng)a0，x(，1)時，f(x)0，即f(x)在(1,0)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖(1)所示，從圖象可以看出F(x)a2不可能有四個解當(dāng)a0，x(，1)時，f(x)0，即f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，x(1,0)時，f(x)0，即f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1時，f(x)取得極大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖(2)所示，從圖(2)看出，若方程F(x)a2有四個解，則a22a，所以，實數(shù)a的取值范圍是.