畫法幾何直線直線的相對位置直角投影定理直角三角性法.ppt

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同學(xué)們好！,大家好!,第三章直線,第二節(jié)各種位置直線,第一節(jié)直線的投影,第三節(jié)一般位置線段的實(shí)長及其對投影的傾角,第四節(jié)兩直線的相對位置,第五節(jié)直角投影定理,H,直線的投影仍為直線，兩點(diǎn)確定一條直線，直線上兩點(diǎn)的投影用直線連接，就得到直線的投影。,b,第一節(jié)直線的投影,直線垂直于投影面其投影積聚為一點(diǎn)(積聚性),作CB/ab,則ABC為直線AB對投影面H的傾角.,直線傾斜于投影面其投影比實(shí)長短:ab=ABcos(類似性）,直線平行于投影面其投影反映線段實(shí)長:fg=FG（真實(shí)性）,投影特性,F,A,B,a,e(d),D,E,(c),g,f,G,C,投影面平行線,平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜,投影面垂直線,正平線（只平行于面）,側(cè)平線（只平行于面）,水平線（只平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,與三個(gè)投影面都傾斜的直線,垂直于某一投影面(平行于另兩投影面),返回,第二節(jié)各種位置直線,特殊位置直線,一、直線的分類：,二、相對投影面各種位置直線的投影,一般位置直線的三個(gè)投影仍為直線；三個(gè)投影都傾斜于投影軸；投影長度小于線段的實(shí)長；投影與投影軸的夾角，不反映直線對投影面的傾角。,一般位置直線AB,X,Z,YH,YW,O,直線上點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上；（cab,cab,cab)線段上的點(diǎn)分割線段之比，投影后保持不變。AC/CB=ac/cb=ac/cb=ab/cb),1.一般位置直線上點(diǎn)的投影,X,YW,YH,C是直線AB上的點(diǎn),例1如圖中黑色的圖形所示，作出分線段AB為3:2的點(diǎn)c的兩面投影。,0,作法：1.過點(diǎn)a任作一條直線ae；2.在ae上截取五等分；3.連接be；4.在離點(diǎn)a三等分點(diǎn)處作直線平行于be，交ab上一點(diǎn)c；5.過點(diǎn)c作直線垂直于ox,交ab于點(diǎn)c。點(diǎn)C(c,c)即為所求。,a,b,a,b,c,c,e,x,2.投影面平行線,b,a,1)正平線（投影面V的平行線AB）,投影特性：1.ab/OZ，ab/OX；2.ab=AB；3.正面投影反映、角的真實(shí)大小。,投影特性：1.ab/OX，ab/OYw；2.ab=AB；即：水平投影反映線段實(shí)長及、角的真實(shí)大小。,a,a,b,a,b,b,2)水平線（投影面H的平行線AB）,3)側(cè)平線（投影面W的平行線AB）,（小結(jié)）投影面平行線的投影特性：1.在直線所平行的投影面上的投影，反映線段實(shí)長；它與投影軸的夾角，分別反映直線與另兩投影面夾角的真實(shí)大小。2.在另外兩個(gè)投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，長度縮短。,3.投影面垂直線,1)正垂線(投影面V的垂直線AB),A,B,b,a,(b),a,投影特性：1.a(b)積聚成一點(diǎn)2.abOx；abOz3.ab=ab=AB,z,x,yH,yH,o,(投影面H的垂直線AB),投影特性：1、ab積聚成一點(diǎn)2、abox,aboyw3、ab=ab=AB,2)鉛垂線,(投影面W的垂直線AB),投影面垂直線的投影特性：1.在與直線垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)。2.在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸且反映線段實(shí)長。,3)側(cè)垂線,z,z,1,z1,z,o,x,a,b,a,b,k,k,1,2,例2側(cè)平線上的點(diǎn),已知AB的兩面投影及其上面的點(diǎn)K的正面投影，求點(diǎn)K的水平投影。,利用點(diǎn)在線上分割線段成定比，投影后不變的性質(zhì)作圖。,第三節(jié)一般位置線段的實(shí)長及其對投影面的傾角,方法是：以線段在某一投影面上的投影長為一直角邊，兩端點(diǎn)與這個(gè)投影面的距離差為另一直角邊形成的直角三角形。其斜邊是線段的實(shí)長，斜邊與投影長的夾角就是該直線與這個(gè)投影面的傾角。,b,a,b,a,b,a,在正面投影上求線段實(shí)長與傾角,在水平投影上求線段實(shí)長與傾角,在側(cè)面投影上求線段實(shí)長與傾角,實(shí)長,實(shí)長,實(shí)長,直角三角形法,Bo,直角三角形求線段實(shí)長及其與投影面的傾角中的三個(gè)三角形,設(shè)所求線段為AB在三個(gè)直角三角形中，斜邊為線段實(shí)長；一個(gè)直角邊為某投影長，該投影與斜邊的夾角為該直線與投影面的夾角；夾角所對的邊為線段兩端點(diǎn)相應(yīng)的坐標(biāo)差。,AB線段實(shí)長,ZAB,ab的長,AB線段實(shí)長,XAB,ab的長,AB線段實(shí)長,YAB,ab的長,例1已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。,a,根據(jù)已知條件，要求得ab，其方法一是求得A、B兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差(YAB)；方法二是求得ab的長。此題有兩解(多解時(shí)一般只畫一解）,b,x,a,o,b,方法二已知線段的實(shí)長AB，求它的水平投影。,a,此題有兩解,b,x,a,o,b,解法二,方法三：求出ab的長,b,x,a,o,b,x,a,b,B,a,ZAB,1,2,以AB兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差為一直角邊的直角三角形中，另一直角邊為AB水平投影ab的長。即：12=ab,ZAB,例2已知直線AB的=30求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a,b,ZAB,30,1.分析要求得ab，其實(shí)就是求b；要求得b也就是想辦法找到A、B兩點(diǎn)的Z坐標(biāo)差或者求出ab的長。,B0,2.作圖1）作abB0,使=30A的對邊為ZAB2）過a作直線平行于Ox軸，與過b而垂直于ox軸的直線交于一點(diǎn)b03）以b0為圓心以ZAB為半徑畫圓弧，交bb0的延長線于點(diǎn)b4）用直線連接ab即為所求。,b0,o,x,a,a,b,k,b,c,d,6,8,2,0,d,c,6,8,2,0,k,例3已知CDAB=K，CDH，求CD的正面投影。,求k同前。由于CDH所以cdox軸。,同學(xué)們好！,第四節(jié)兩直線的相對位置,分析：1.已知ABCD,根據(jù)正投影圖的作圖法可知：(AaPBbPCcPDcP)P面，則平面ABbPaPCDdPcP；2.兩個(gè)平行平面（ABbPaP與CDdPcP）與第三平面（P可被看作是H、V、W面）相交，交線平行；3.綜上所述，我們可以得出：若空間兩直線平行那么他們的同面投影也對應(yīng)平行（如：abcd、abcd、abcd）,一.兩平行直線,X,YH,X,Z,YW,O,a,b,a,b,a,b,c,d,d,c,d,c,例1判斷兩直線是否平行,a,a,b,d,c,b,c,d,o,x,方法一：看直線的方位：由投影圖可以看出ab、cd同向（均由后向前）；ab與cd反向（ab由上向下，cd由下向上）由此看出AB與CD不平行。,方法二：看比例：ab/cd1,ab/cd1,由此可知，AB不平行于CD。,例2如圖所示，判斷兩側(cè)平線的相對位置。,b,X,0,a,c,d,d,c,b,a,作輔助直線AD與BC的兩面投影,判斷：AD與BC是兩相交直線,則AB與CD共面.,只要證明AB與CD共面則有ABCD。,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,b,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,b,c,a,a,b,c,b,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,b,c,d,c,c,c,a,b,c,c,a,a,b,c,c,d,YW,X,0,a,b,c,c,a,c,d,c,a,b,c,a,a,b,d,c,d,YW,YH,a,Z,方法三：求第三投影(三個(gè)投影都互相平行，則ABCD),方法四：看已知的二直線是否共面,a,b,c,d,c,a,b,d,例3判斷圖中兩條直線是否平行。,由此可知：對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,即AB/CD,返回,ab:cd=ab:cd,abcd,abcd,ab11cd;ab11cd;,a1:1d=a1:1d,aa11dd,AB與CD共面,abcd,abcd,o,x,二、兩相交直線,因此，三對同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的三面投影特規(guī)律,Z,YH,a,b,P,A,B,C,D,E,ap,bp,cp,dp,e,兩直線相交有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（E）交點(diǎn)是相交兩直線的公有點(diǎn)（P面可以看作H、V、W面）,例1已知AB與CD相交，又知AB的兩面投影及CD的正面投影cd，且CD平行于V面。求CD的水平投影,a,b,c,d,a,b,o,x,k,分析：ABCD=KKAB，KCDkab，kcdak/kb=ak/kb又因?yàn)锳B平行于W面，所以cd/ox軸。用定比分點(diǎn)法求k。解：1.過a任作一條直線ae；2.在ae上截取a1=ab；a2=ak的長度3.連接1b4.作2k1b,與ab交于點(diǎn)k5.過k作直線平行于ox軸6.過c、d作直線垂直于ox,交上述直線于點(diǎn)c、d,e,1,2,ak的長,c,d,三、交錯(cuò)直線,交錯(cuò)兩直線的投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。,X,X,X,X,YH,X,X,X,X,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,e,c,c,f,b,a,a,c,c,AB與CD交錯(cuò)，為什么他們在P面上的投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上的點(diǎn)F和直線CD上的點(diǎn)E位于指向P面的同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上的投影重合，點(diǎn)F的投影可見而點(diǎn)E的投影不可見。,dp,bp,(f),A,B,D,ap,F,E,fp,（ep）,P,S,cp,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,e,f,a,a,c,AB與CD交錯(cuò)，為什么他們在P面上的投影相交呢？因?yàn)橹本€AB上的點(diǎn)F和直線CD上的點(diǎn)E位于指向P面的同一條投射線上，所以點(diǎn)F、E在P面上的投影重合，點(diǎn)F的投影可見，本題中點(diǎn)E、F是對V面的一對重影點(diǎn)；點(diǎn)E在前，所以點(diǎn)F的正面投影f不可見。,(f),C,例1判斷兩直線的相對位置,d,a,c,b,y,解法1:作出側(cè)面投影,由三面投影可知,兩直線交錯(cuò),例2判斷兩直線的相對位置(解法2),用點(diǎn)分割直線段之比，投影后保持不變的性質(zhì)判斷。由水平投影可判斷，點(diǎn)不屬于直線AB，故兩直線交錯(cuò)。,第五節(jié)直角投影定理,直角投影定理：互相垂直的兩直線，當(dāng)一邊為某投影面的平行線時(shí)，他們在該投影面上的投影是直角。逆定理也是成立的。,ABBC，直角邊AB平行于投影面P(P面可以被看作是H、V、W面）,ABP，BbpPABBbp又ABBC，ABQ，即ABbpcpabAB,abQ,即apbpbpcp,a,b,c,X,0,a,c,b,P,直角投影定理：交錯(cuò)二直線,互相垂直的兩直線，當(dāng)一邊為某投影面的平行線時(shí)，他們在該投影面上的投影是直角。,例1作直線AB垂直于直線EF。,1,1,例2作直線EF，使其垂直于直線AB和直線CD。,e,e,f,b,o,x,a,b,k,1,a,k,Y,K,1,Y,K,例3求點(diǎn)K到直線AB的距離（投影和實(shí)長）。,分析1.abox,ABV則有k1ab2.用直角三角形法求出K1的實(shí)長便得解。,例4作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BC:AB=2:3。,m,x,m,n,o,n,MN平行于投影面V，BC在MN上，直角邊BC平行于投影面V，又因?yàn)锳BC=90，所以有：bc=BC,abbc,用直角三角形法求線段AB實(shí)長,|YA-B|,AB,ab,bc的長,2份,3份,例5過點(diǎn)A作等邊三角形ABC，使B、C兩點(diǎn)屬于直線KM。,d,A,D,實(shí),長,o,x,d,邊,實(shí),長,2,2,.,1,2,2,.,1,3,0,k,b,a,b,a,c,m,m,k,c,Y,AD,Y,A,D,分析：1.KMV面cb=BCadkm2.只要求得過頂點(diǎn)A的高，則ABC可作出；也就是說ABC的邊長就求出來了，即求得了cb,o,b,a,b,7,5,e,e,7,5,a,b,的,長,c,c,a,例6作等腰直角ABC,使AC=AB，C點(diǎn)在AE上。,x,