2019年高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 理.doc

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2019 年高考數(shù)學(xué) 五年高考真題分類匯編 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充 與復(fù)數(shù)的引入 理 一．選擇題 1.（xx湖南高考理）復(fù)數(shù) z＝i(1＋i)(i 為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】選 B 本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與復(fù)數(shù)的幾何意義，屬容易 題．∵ z＝i(1＋i)＝－1＋i，∴復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,1)，位于第二 象限． 2.（xx湖南高考理）已知 a， b 是單位向量， ab＝0.若向量 c 滿足| c－ a－ b|＝1，則 |c|的取值范圍是 ( ) A．[ －1， ＋1] B．[ －1， ＋2]2 2 2 2 C．[1， ＋1] D．[1， ＋2]2 2 【解析】選 A 本小題主要考查單位向量和向量的模的概念、向量垂直的條件，考查轉(zhuǎn)化 化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想．由 a， b 為單位向量且 ab＝0，可設(shè) a＝(1,0)， b＝(0,1)，又設(shè) c＝( x， y)，代入| c－ a－ b|＝1 得( x－1) 2＋( y－1) 2＝1，又 |c|＝ ，故由幾何性質(zhì)得 －1≤| c|≤ ＋1，即 －1≤| c|≤ ＋1.x2＋ y2 12＋ 12 12＋ 12 2 2 3.（xx福建高考理）已知復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) ＝1＋2i(i 為虛數(shù)單位)，則 z 在復(fù)平面內(nèi)z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】選 D 本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查 考生對(duì)概念的理解與應(yīng)用能力．∵ ＝1＋2i，∴ z＝1－2i，∴復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)z 為(1，－2)，位于第四象限． 4.（xx福建高考理）在四邊形 ABCD 中， AC― →＝(1,2)， BD― →＝(－4,2)，則該四邊形 的面積為 ( ) A. B．2 C．5 D．105 5 【解析】選 C 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、模、四邊形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查 考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況．依題意得， AC― → BD― →＝1(－4)＋22＝0.所以 AC― →⊥ BD― →，所以四邊形 ABCD 的面積為 |AC― →|| BD― →|＝ ＝5. 12 12 5 20 5.（xx遼寧高考理）復(fù)數(shù) z＝ 的模為 ( ) 1i－ 1 A. B. C. D．2 12 22 2 【解析】選 B 本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，意在考查考生的運(yùn)算能力和對(duì) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則的掌握情況．由已知，得 z＝ ＝－ － i，所以 － 1－ i － 1－ i  － 1＋ i 12 12 |z|＝ . 22 6.（xx遼寧高考理）已知點(diǎn) A(1,3)， B(4，－1)，則與向量 AB― →同方向的單位向( ) A. B. C. D.( 35， － 45) (45， － 35) (－ 35， 45) (－ 45， 35) 【解析】選 A 本題主要考查向量的坐標(biāo)表示．由已知， 得 AB― →＝(3，－4)，所以 |AB― →|＝5，因此與 AB― →同方向的單位向量是 AB― →＝ . 15 (35， － 45) 7.（xx安徽高考理）設(shè) i 是虛數(shù)單位， 是復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)．若 z i＋2＝2 z，則z z Z＝ ( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋I(xiàn) D．－1－i 【解析】選 A 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)相等的概念，意在檢測(cè)考生 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握．設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等直接求解．設(shè) z＝ a＋ bi(a， b∈R)，則 ＝ a－ bi，又 z i＋2＝2 z，z z ∴( a2＋ b2)i＋2＝2 a＋2 bi，∴ a＝1， b＝1，故 z＝1＋i. 8.（xx浙江高考理）已知 i 是虛數(shù)單位，則(－1＋i)(2－i)＝ （ ） A．－3＋i B．－1＋3i C．－3＋3i D．－1＋i 【解析】選 B 本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，考查考生的運(yùn)算能 力．按照復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，直接運(yùn)算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i. 9.（xx浙江高考理）設(shè)△ ABC， P0是邊 AB 上一定點(diǎn)，滿足 P0B＝ AB，且對(duì)于邊 AB 上任 14 一點(diǎn) P，恒有 PB― → PC― →≥ P0B― → P0C― →，則 （ ） A．∠ ABC＝90 B．∠ BAC＝90 C． AB＝ AC D． AC＝ BC 【解析】選 D 本題主要考查平面向量的運(yùn)算，向量的模、數(shù)量積的概念，向量運(yùn)算的幾 何意義等，意在考查利用向量解決簡(jiǎn)單的平面幾何問題的能力．設(shè) AB＝4，以 AB 所在直線 為 x 軸，線段 AB 的中垂線為 y 軸，則 A(－2,0)， B(2,0)，則 P0(1,0)，設(shè) C(a， b)， P(x,0)，∴ PB― →＝(2－ x,0)， PC― →＝( a－ x， b)．∴ P0B― →＝(1,0)， P0C― →＝( a－1， b)． 則 PB― → PC― →≥ P0B― → P0C― →?(2－ x)(a－ x)≥ a－1 恒成立， 即 x2－(2＋ a)x＋ a＋1≥0 恒成立． ∴ Δ ＝(2＋ a)2－4( a＋1)＝ a2≤0 恒成立．∴ a＝0. 即點(diǎn) C 在線段 AB 的中垂線上，∴ AC＝ BC. 10.（xx重慶高考理）在平面上， AB1― →⊥ AB2― →，| OB1― →|＝| OB2― →|＝1， AP― →＝ AB1― →＋ AB2― →.若| OP― →|0， a 與 b 的夾角 θ ∈(0， )，且 a°b 和 b°a 都在集合{ |n∈Z} π 4 n2 中，則 a°b＝ ( ) A. B．1 C. D. 12 32 52 【解析】選 C 由定義 α °β ＝ 可得 b°a＝ ＝ ＝ ，由 α ββ 2 aba2 |a||b|cos θ|a|2 |b|cos θ|a| |a|≥| b|>0，及 θ ∈(0， )得 0< <1，從而 ＝ ，即| a|＝2| b|cos θ . π 4 |b|cos θ|a| |b|cos θ|a| 12 a°b＝ ＝ ＝ ＝2cos 2 θ ， abb2 |a||b|cos θ|b|2 |a|cos θ|b| 因?yàn)?θ ∈(0， )，所以 1?θ ∈( ，π] 2π3 2π3 p3：| a－ b|>1?θ ∈[0， ) p4：| a－ b|>1?θ ∈( ，π] π 3 π 3 其中的真命題是 ( ) A． p1， p4 B． p1， p3 C． p2， p3 D． p2， p4 【解析】選 A 由| a＋ b|>1 可得： a2＋2 ab＋ b2>1，∵| a|＝1， |b|＝1，∴ ab>－ .故 θ ∈[0， )．當(dāng) θ ∈[0， )時(shí)， 12 2π3 2π3 ab>－ ，| a＋ b|2＝ a2＋2 ab＋ b2>1，即| a＋ b|>1；由 12 |a－ b|>1 可得： a2－2 ab＋ b2>1，∵| a|＝1，| b|＝1，∴ ab< ，故 θ ∈( ，π]，反 12 π 3 之也成立，選 A. 85． （2011大綱卷高考）復(fù)數(shù) z＝1＋i， 為 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z － z－1＝ z － z－ ( ) A．－2i B．－I C．i D．2i 【解析】選 B 依題意得 z － z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i，選 B.z － 86． （2011大綱卷高考）設(shè)向量 a， b， c 滿足| a|＝| b|＝1， ab＝－ ， 〈 a－ c， b－ c〉 12 ＝60，則| c|的最大值等于 ( ) A．2 B. C. D．13 2 【解析】選 A 依題意得，| a＋ b|＝ ＝1.一方面，a2＋ b2＋ 2ab (a－ c)(b－ c)＝ ab－( a＋ b)c＋ c2＝－ －( a＋ b)c＋| c|2；另一方面， 12 (a－ c)(b－ c)＝ |a－ c||b－ c|≤ ＝ ，于 12  a－ c 2＋  b－ c 24 1－  a＋ b c＋ |c|22 是有－ － 12 (a＋ b)c＋| c|2≤ ，即 1－  a＋ b c＋ |c|22 |c|2≤2＋( a＋ b)c≤2＋| a＋ b||c|＝2＋| c|，| c|2－| c|－2＝(| c|－2)(| c|＋1) ≤0，| c|≤2，即| c|的最大值是 2，選 A. 87． （2011北京高考）復(fù)數(shù) ＝ ( ) i－ 21＋ 2i A．i B．－I C．－ － i D．－ ＋ i 45 35 45 35 【解析】選 A 因?yàn)?＝ ＝ ＝i，故選擇 A. i－ 21＋ 2i  i－ 2  1－ 2i 1＋ 2i  1－ 2i 5i5 88． （2011江西高考）若 z＝ ，則復(fù)數(shù) ＝ ( ) 1＋ 2ii z－ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 【解析】選 D z＝ ＝ ＝－(i－2)＝2－i，故 ＝2＋i. 1＋ 2ii i 1＋ 2ii2 z－ 89.（2011安徽高考）設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 為 ( ) 1＋ ai2－ i A．2 B．－2 C．－ D. 12 12 【解析】選 A 法一： ＝ ＝ 為純虛數(shù)， 1＋ ai2－ i  1＋ ai  2＋ i 2－ i  2＋ i 2－ a＋  2a＋ 1 i5 所以 2－ a＝0， a＝2，故選 A. 法二： ＝ 為純虛數(shù)，所以 a＝2，故選 A. 1＋ ai2－ i i a－ i2－ i 90． （2011山東高考）復(fù)數(shù) z＝ (i 為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為( ) 2－ i2＋ i A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】選 D z＝ ＝ ＝ － i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限． 2－ i2＋ i  2－ i  2－ i5 35 45 91． （2011山東高考）設(shè) A1， A2， A3， A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若 A1A3― →＝ λA 1A2― → (λ ∈R)， A1A4― →＝ μA 1A2― → (μ ∈R)，且 ＋ ＝2，則稱 1λ 1μ A3， A4調(diào)和分割 A1， A2.已知平面上的點(diǎn) C， D 調(diào)和分割點(diǎn) A， B，則下面說法正確的是 ( ) A． C 可能是線段 AB 的中點(diǎn) B． D 可能是線段 AB 的中點(diǎn) C． C， D 可能同時(shí)在線段 AB 上 D． C， D 不可能同時(shí)在線段 AB 的延長(zhǎng)線上 【解析】選 D 不妨設(shè) A(0,0)， B(1,0)， C(c,0)， D(d,0)， 根據(jù)已知得( c,0)－(0,0)＝ λ [(1,0)－(0,0)]， 即( c,0)＝ λ (1,0)，從而得 c＝ λ ； (d,0)－(0,0)＝ μ [(1,0)－(0,0)]， 即( d,0)＝ μ (1,0), 得 d＝ μ .根據(jù) ＋ ＝2， 1λ 1μ 得 ＋ ＝2.線段 AB 的方程是 y＝0， x∈[0,1]． 1c 1d 若 C 是線段 AB 的中點(diǎn)，則 c＝ ，代入 ＋ ＝2， 12 1c 1d 得 ＝0，此等式不可能成立，故選項(xiàng) A 的說法不正確；同理選項(xiàng) B 的說法也不正確；若 1d C， D 同時(shí)在線段 AB 上， 則 01，則 ＋ <2，與 ＋ ＝2 矛 1c 1d 1c 1d 盾，若 c<0， d1， d<0，則 <1， <0，此時(shí) 1c 1d 1c 1d 1c 1d ＋ <1，與 ＋ ＝2 矛盾．故選項(xiàng) D 的說法是正確的． 1c 1d 1c 1d 92． （2011四川高考）復(fù)數(shù)－i＋ ＝ ( ) 1i A．－2i B. I C．0 D．2i 12 【解析】選 A 原式＝－i＋(－i)＝－2i. 93.（2011四川高考） 如圖，正六邊形 ABCDEF 中， BA― →＋ CD― →＋ EF― →＝ ( ) A．0 B． BE― →C． AD― → D． CF― → 【解析】選 D 由于 BA― →＝ DE― →，故 BA― →＋ CD― →＋ EF― →＝ CD― →＋ DE― →＋ EF― →＝ CF― →. 94． （2011湖南高考）若 a， b∈R，i 為虛數(shù)單位，且( a＋i)i＝ b＋i，則 ( ) A． a＝1， b＝1 B． a＝－1， b＝1 C． a＝－1， b＝－1 D． a＝1， b＝－1 【解析】選 D 由( a＋i)i＝ b＋i，得－1＋ ai＝ b＋i，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得 a＝1， b＝－1. 95． （2011重慶高考）復(fù)數(shù) ＝ ( ) i2＋ i3＋ i41－ i A．－ － i B．－ ＋ I C. － i D. ＋ i 12 12 12 12 12 12 12 12 【解析】選 C 依題意得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ － i，選 C. i2＋ i3＋ i41－ i  － 1 ＋  － i ＋ 11－ i － i1－ i － i 1＋ i 1－ i  1＋ i 1－ i2 12 12 96． （2011廣東高考）設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足(1＋i) z＝2，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z＝ ( ) A．2－2i B．2＋2i C．1－i D．1＋i 【解析】選 C z＝ ＝ ＝ ＝1－i. 21＋ i 2 1－ i 1＋ i  1－ i 2 1－ i2 97． （2011廣東高考）若向量 a， b， c 滿足 a∥ b 且 a⊥ c，則 c(a＋2 b)＝ ( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】選 D 由 a∥ b 及 a⊥ c，得 b⊥ c，則 c(a＋2 b)＝ ca＋2 cb＝0. 98． （2011天津高考）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ＝ 1－ 3i1－ i ( ) A．2＋i B．2－I C．－1＋2i D．－1－2i 【解析】選 B ＝ ＝ ＝2－i，故選擇 B. 1－ 3i1－ i  1－ 3i  1＋ i 1－ i  1＋ i 4－ 2i2 99． （2011福建高考）i 是虛數(shù)單位，若集合 S＝{－1,0,1}，則 ( ) A．i∈ S B．i 2∈ S C．i 3∈ S D. ∈ S 2i 【解析】選 B ∵i 2＝－1，∴－1∈ S，故選 B. 100． （2011湖北高考）i 為虛數(shù)單位，則( )2011＝ 1＋ i1－ i ( ) A．－i B．－1 C．i D．1 【解析】選 A 因?yàn)?＝ ＝i，所以原式＝i 2011＝i 4502＋3 ＝i 3＝－i. 1＋ i1－ i  1＋ i  1＋ i2 101． （2011浙江高考）把復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)記作 ，i 為虛數(shù)單位．若 z＝1＋i，則z － (1＋ z) ＝ z － ( ) A．3－i B．3＋I(xiàn) C．1＋3i D．3 【解析】選 A (1＋ z) ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.z － 102． （2011遼寧高考） a 為正實(shí)數(shù)，i 為虛數(shù)單位，| |＝2，則 a＝ a＋ ii ( ) A．2 B. C. D．13 2 【解析】選 B 由已知| |＝2 得| |＝|( a＋i)(－i)|＝|－ ai＋1|＝2，所以 a＋ ii a＋ ii ＝2，1＋ a2 ∵ a＞0，∴ a＝ .3 103． （2011遼寧高考）若 a， b， c 均為單位向量，且 ab＝0，( a－ c)(b－ c)≤0，則 |a＋ b－ c|的最大值為 ( ) A. －1 B．1 C. D．22 2 【解析】選 B 由已知條件，向量 a， b， c 都是單位向量可以求出， a2＝1， b2＝1， c2＝1，由 ab＝0，及( a－ c)(b－ c)≤0，可以知道，( a＋ b)c≥ c2＝1， 因?yàn)閨 a＋ b－ c|2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab－2 ac－2 bc，所以有 |a＋ b－ c|2＝3－2( ac＋ bc)≤1，故| a＋ b－ c|≤1. 104.（xx遼寧高考文）平面上三點(diǎn)不共線，設(shè),則的面積等于 （ ） A. B. C. D. 【解析】選 C 22111()||sin,||cos,||22 ||OAB abSababab? ???????????????? 105.（xx全國(guó)卷 2 高考文）△ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，CD 平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，= 2, 則= ( ) A.a + b B.a +b C.a +b D.a +b 【解析】選 B 本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí) ∵ CD 為角平分線，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ . 2133CDAbab??????????? 106.（xx山東高考理）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對(duì)任意的， ，令，下面說 法錯(cuò)誤的是 （ ） A.若與共線，則 B. C.對(duì)任意的，有 D. 【解析】選 B 若與共線，則有，故 A 正確；因?yàn)椋?，所以有，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤，故選 B. 107.(xx廣東高考文)已知平面向量 a= ， b=， 則向量 （ ） A 平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 【解析】選 C ,由及向量的性質(zhì)可知,C 正確. 108.（ xx廣 東 高 考 理 ） 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡 狀態(tài)．已知，成角，且，的大小分別為 2 和 4，則的大小 為（ ） A. 6 B. 2 C. D. 【解析】選 D 28)6018cos(2123 ?????FF，所以，選 D. 109.（xx浙江高考理）設(shè)向量，滿足：， ， ．以， ，的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半 徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多 ( ) A． B． C． D． 【解析】選 C 對(duì)于半徑為 1 的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交 點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn) 4 個(gè)交點(diǎn)的情況，但 5 個(gè)以上的交點(diǎn)不 能實(shí)現(xiàn)． 110.（xx浙江高考文）已知向量， ．若向量滿足， ，則（ ） A． B． C． D． 【解析】選 D 不妨設(shè)，則，對(duì)于，則有；又，則有，則有 . 111.(xx山東卷理)設(shè) P 是△ABC 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， ，則 （ ） A. B. C. D. 【解析】選 B 因?yàn)?，所以點(diǎn) P 為線段 AC 的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選 B。 112.（xx寧夏海南高考文）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A. B. C. D. 【解析】選 A 向量＝（－3－1，2） ，＝（－1,2） ，因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直，故有 （－3－1，2）（－1,2）＝0，即 3＋1＋4＝0，解得：＝，故選 A. 113.（xx福建高考文）設(shè)， ，為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足與 不共線， ∣∣=∣∣,則∣ ?∣的值一定等于（ ） A．以，為鄰邊的平行四邊形的面積 B. 以，為兩邊的三角形面積 C． ，為兩邊的三角形面積 D. 以，為鄰邊的平行四邊形的面積 【解析】 選 A 假設(shè)與的夾角為，∣ ?∣=︱︱︱︱∣cos∣=︱︱︱︱?∣cos(90)∣=︱︱︱︱?sin,即為以，為鄰 邊的平行四邊形的面積，故選 A. 二．填空題 114.（xx浙江高考理）設(shè) e1， e2為單位向量，非零向量 b＝ xe1＋ ye2， x， y∈R.若 e1， e2的夾角為 ，則 的最大值等于________． π 6 |x||b| 【解析】本題考查向量的概念、運(yùn)算、函數(shù)的最值等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、函數(shù)與 方程思想以及靈活利用知識(shí)分析問題、解決問題的能力．當(dāng) x＝0 時(shí)， ＝0，當(dāng) x≠0 時(shí)， |x||b| 2＝ ＝ ＝ ≤4，所以 的最大值是 2，當(dāng)且僅當(dāng)( |x||b|) x2x2＋ y2＋ 3xy 11＋ (yx)2＋ 3yx 1(yx＋ 32)2＋ 14 |x||b| ＝－ 時(shí)取到最大值． yx 32 【答案】2 115． （xx重慶高考理）已知復(fù)數(shù) z＝ (i 是虛數(shù)單位)，則| z|＝________. 5i1＋ 2i 【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，意在考查考生的計(jì)算能力. ＝ 5i1＋ 2i ＝2＋i，所以| z|＝ . 5i 1－ 2i 1＋ 2i  1－ 2i 5 【答案】 5 116． （xx新課標(biāo)Ⅰ高考理）已知兩個(gè)單位向量 a， b 的夾角為 60， c＝ ta＋(1－ t)b， 若 bc＝0，則 t＝________. 【解析】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．根據(jù)數(shù)量積 bc＝0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中．因?yàn)橄蛄?a， b 為單位向量， 所以 b2＝1，又向量 a， b 的夾角為 60，所以 ab＝ ，由 bc＝0 得 b[ta＋(1－ t)b] 12 ＝0，即 tab＋(1－ t)b2＝0，所以 t＋(1－ t)＝0，所以 t＝2. 12 【答案】2 117． （xx新課標(biāo)Ⅱ高考理）已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， E 為 CD 的中點(diǎn)，則 AE― → BD― →＝________. 【解析】本題考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，是基本題目，意在考查考生的運(yùn)算求 解能力． 選向量的基底為 AB― →， AD― →，則 BD― →＝ AD― →－ AB― →， AE― →＝ AD― →＋ AB― →，那么 AE― → BD― →＝ 12 (AD― →－ AB― →)＝2.(AD― → ＋ 12AB― → ) 【答案】2 118． （xx北京高考理）向量 a， b， c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若 c＝ λ a＋ μ b(λ ， μ ∈R)，則 ＝________. λμ 【解析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查方程思 想和考生的運(yùn)算求解能力．設(shè) i， j 分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則 a＝－ i＋ j， b＝6 i＋2 j， c＝－ i－3 j，所以－ i－3 j＝ λ (－ i＋ j)＋ μ (6i＋2 j)，根據(jù)平面 向量基本定理得 λ ＝－2， μ ＝－ ，所以 ＝4. 12 λμ 【答案】4 119． （xx江西高考理）設(shè) e1， e2為單位向量，且 e1， e2的夾角為 ，若 π 3 a＝ e1＋3 e2， b＝2 e1，則向量 a 在 b 方向上的射影為________． 【解析】本題考查向量的數(shù)量積、向量的射影及模長(zhǎng)公式，意在考查考生的運(yùn)算能力．依 題意得| e1|＝| e2|＝1 且 e1e2＝ ， ab＝( e1＋3 e2)2e1＝2 e ＋6 e1e2＝2＋6 ＝5，| b|＝2，所以向量 a 在 b 12 21 12 方向上的射影為| a|cos〈 a， b〉＝ ＝ ＝ . ab|b| 2＋ 6122 52 【答案】 52 120． （xx山東高考理）已知向量 AB― →與 AC― →的夾角為 120，且 |AB― →|＝3，| AC― →|＝2.若 AP― →＝ λ AB― →＋ AC― →，且 AP― →⊥ BC― →，則實(shí)數(shù) λ 的值為________． 【解析】本題考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知 識(shí)． BC― →＝ AC― →－ AB― →，由于 AP― →⊥ BC― →，所以 AP― → BC― →＝0，即 (λAB ― →＋ AC― →)( AC― →－ AB― →)＝－ λAB 2― →＋ AC2― →＋( λ －1) AB― → AC― →＝－9 λ ＋4＋( λ －1)32 ＝0，解得 λ ＝ .(－ 12) 712 【答案】 712 121． （xx天津高考理）已知 a， b∈R，i 是虛數(shù)單位．若( a＋i)(1＋i)＝ bi，則 a＋ bi＝________. 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．因?yàn)?(a＋i)(1＋i)＝ a－1＋( a＋1)i＝ bi， a， b∈R，所以Error!解得Error!所以 a＋ bi＝ 1＋2i. 【答案】1＋2i 122． （xx北京高考文）設(shè)復(fù)數(shù) z＝1＋2i(i 是虛數(shù)單位)，則| z|＝________. 【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算．| z|＝ ＝ .12＋ 22 5 【答案】 5 123． （xx北京高考文）在 OA 為邊， OB 為對(duì)角線的矩形中， OA― →＝(－3,1)， OB― → ＝(－2， k)，則實(shí)數(shù) k＝________. 【解析】本題主要考查向量的減法運(yùn)算、向量垂直的充要條件． 因?yàn)?AB― →＝ OB― →－ OA― →＝(1， k－1)，且 OA― →⊥ AB― →，所以 OA― → AB― →＝0，即－31＋1( k－1)＝0，解得 k＝4. 【答案】4 124． （xx江蘇高考文）設(shè) z＝(2－i) 2(i 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) z 的模為________． 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力． |z|＝|(2－i) 2|＝|3－4i|＝5. 【答案】5 125． （xx江蘇高考文）設(shè) D， E 分別是△ ABC 的邊 AB， BC 上的點(diǎn)， AD＝ AB， BE＝ BC.若 12 23 DE― →＝ λ 1AB― →＋ λ 2AC― → ( λ 1， λ 2為實(shí)數(shù))，則 λ 1＋ λ 2的值為________． 【解析】本題考查向量的基本定理、向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力． DE― →＝ DB― →＋ BE― →＝ AB― →＋ BC― →＝ AB― →＋ (BA― →＋ AC― →)＝－ AB― →＋ 12 23 12 23 16 AC― →，所以 λ 1＝－ ， λ 2＝ ，即 λ 1＋ λ 2＝ . 23 16 23 12 【答案】 12 126． （xx安徽高考文）若非零向量 a， b 滿足| a|＝3| b|＝| a＋2 b|，則 a 與 b 夾角的余弦 值為________． 【解析】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和夾角等基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)運(yùn)算． 對(duì)向量的模同時(shí)平方可得，| a|2＝9| b|2＝| a＋2 b|2＝| a|2＋4| b|2＋4 ab，所以有 4ab＝－4| b|2，即 cos〈 a， b〉＝－ ＝－ . |b||a| 13 【答案】－ 13 127． （xx山東高考文）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 OA― →＝(－1， t)， OB― →＝(2,2)．若∠ ABO＝90，則實(shí)數(shù) t 的值為________． 【解析】本題主要考查平