2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.7 雙　曲　線練習(xí).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.7 雙曲線練習(xí)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(xx沈陽模擬)設(shè)P是雙曲線=1上一點(diǎn),F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點(diǎn),若|PF1|=9,則|PF2|等于()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不對【解析】選B.由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但應(yīng)注意雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為c-a=6-4=21,所以|PF2|=17.【誤區(qū)警示】本題極易忽視雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為21,從而誤選C.2.(xx天水模擬)若雙曲線=1的左焦點(diǎn)與拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)重合,則m的值為()A.3B.4C.5D.6【解析】選A.因?yàn)殡p曲線=1的左焦點(diǎn)與拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)重合,所以m+m-2=4,即m=3.【加固訓(xùn)練】與橢圓C:=1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(1,)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】選C.橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(m0,n0),則解得m=n=2,故選C.3.(xx沈陽模擬)已知雙曲線=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M在雙曲線的左支上,且|MF2|=7|MF1|,則此雙曲線離心率的最大值為()A.B.C.2D.【解析】選A.因?yàn)閨MF2|=7|MF1|,所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,即2a=6|MF1|6(c-a),故8a6c,即e=4.(xx貴陽模擬)已知雙曲線=1(a0)的兩條漸近線與以橢圓=1的左焦點(diǎn)為圓心,半徑為的圓相切,則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.【解析】選A.雙曲線=1(a0)的漸近線方程為y=;橢圓=1的左焦點(diǎn)為(-4,0),因?yàn)闈u近線與以橢圓=1的左焦點(diǎn)為圓心、半徑為的圓相切,所以=,解得a=4,所以雙曲線的離心率為.5.(xx武漢模擬)P是雙曲線=1(a0,b0)上的點(diǎn),F1,F2是其焦點(diǎn),雙曲線的離心率是,且F1PF2=90,若F1PF2的面積是9,則a+b的值等于()A.5B.6C.7D.8【解析】選C.因?yàn)閑=所以可設(shè)a=4k,b=3k,c=5k,其中k0.由|PF1|2+|PF2|2=100k2,|PF1|PF2|=9,(|PF1|-|PF2|)2=100k2-36=64k2,解得k=1或k=-1(舍去),所以a+b=4k+3k=7.故選C.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(xx成都模擬)已知圓x2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點(diǎn)A,B都在某雙曲線上,且A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】易知圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),(0,-3),因?yàn)閳Ax2+y2-4x-9=0與y軸的兩個交點(diǎn)A,B都在某雙曲線上,所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且a=3,又A,B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分,所以c=9,所以b2=72,所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.答案: =17.(xx安陽模擬)若點(diǎn)P在曲線C1: =1上,點(diǎn)Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點(diǎn)R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是.【解析】曲線C2是以曲線C1的右焦點(diǎn)F2為圓心,1為半徑的圓,則|PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1,此時點(diǎn)P在雙曲線左支上;曲線C3是以曲線C1的左焦點(diǎn)F1為圓心,1為半徑的圓,則|PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1.故(|PQ|-|PR|)max=(|PF2|+1)-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=10.答案:10【方法技巧】與雙曲線有關(guān)的最值問題的求法與雙曲線有關(guān)的最值問題,經(jīng)常借助于雙曲線的定義,將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為線段之和求最值,然后再借助于平面幾何的性質(zhì)求解.8.過已知雙曲線=1(b0)的左焦點(diǎn)F1作O:x2+y2=4的兩條切線,記切點(diǎn)為A,B,雙曲線的左頂點(diǎn)為C,若ACB=120,則雙曲線的離心率為.【解析】如圖,因?yàn)镺CA=60,|OC|=|OA|=2,所以AOC=60,AF1C=30,所以e=2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.過雙曲線=1的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為30的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1為左焦點(diǎn).(1)求|AB|.(2)求AOB的面積.【解析】(1)由雙曲線的方程得a=,b=,所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).直線AB的方程為y=(x-3).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x1-x2|(2)直線AB的方程變形為x-3y-3=0.所以原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=所以SAOB=|AB|d=10.已知橢圓C1的方程為+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).(1)求雙曲線C2的方程.(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B,且2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.【解析】(1)設(shè)雙曲線C2的方程為=1(a0,b0),則a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程為-y2=1.(2)將y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn),得所以k2且k22,得2,解得k23,由得,k20,b0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M,若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是()【解析】選B.由可解得即Q.由,可解得即P設(shè)PQ的中點(diǎn)為N,則N而M(3c,0).所以kMN=-1,即整理得2c3=3a2c,即e2=解得e=【一題多解】本題還可以用如下方法求解:直線BF1的方程為y=x+b,由得P由得Q.從而N點(diǎn)坐標(biāo)為,則直線MN的方程為從而得M又M(3c,0),則c+=3c,得a2=2b2,得e=【加固訓(xùn)練】已知雙曲線mx2-ny2=1(m0,n0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()【解析】選B.由已知雙曲線的離心率為2,得:=2,解得:m=3n,又m0,n0,所以mn,即故由橢圓mx2+ny2=1得所以所求橢圓的離心率為:e=2.(5分)設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O,若有且只有一對相交于點(diǎn)O,所成的角為60的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.(,2B.,2)C.(,+)D.,+)【解析】選A.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率必須滿足所以即有又雙曲線的離心率為所以0,b0).則:(1)當(dāng)ab0時,雙曲線的離心率滿足1e0時,e=(亦稱為等軸雙曲線).(3)當(dāng)ba0時,e.3.(5分)(xx蘇州模擬)已知P為雙曲線C: =1上的點(diǎn),點(diǎn)M滿足|=1,且=0,則當(dāng)|取得最小值時的點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M滿足|=1,所以點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的單位圓.不妨設(shè)P為雙曲線右支上的任一點(diǎn),因?yàn)?0,所以O(shè)MPM,所以O(shè)PM為直角三角形,且OMP=90,|OP|為該直角三角形的斜邊長;因?yàn)镻為雙曲線C: =1上的點(diǎn),在RtOPM中,要使直角邊|最小,則只需|OP|最小,因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P為雙曲線C的右支與x軸的交點(diǎn)時,|OP|最小,此時P(3,0),所以此時點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為答案: 4.(12分)設(shè)A,B分別為雙曲線=1(a0,b0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長為4,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程.(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使+=t,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)由題意知a=所以一條漸近線為y=x.即bx-2y=0.所以所以b2=3,所以雙曲線的方程為=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12.所以所以t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.【解析】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn),故解得k的取值范圍是-2k-.(2)設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則由式得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0).則由FAFB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=代入式化簡得5k2+2k-6=0.解得k=或k=(舍去),可知存在k=使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F.【加固訓(xùn)練】雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點(diǎn).已知|,|,|成等差數(shù)列,且與同向.(1)求雙曲線的離心率.(2)設(shè)直線AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.【解析】(1)設(shè)|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tanAOF=,tanAOB=tan2AOF=由倍角公式,得則離心率e=(2)不妨設(shè)過F與l1垂直的直線方程為y=- (x-c),與雙曲線方程=1聯(lián)立,將a=2b,c=b代入,化簡有解得b=3,故所求的雙曲線方程為=1.