2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來解決問題，它涉及三大題型高、中、低檔試題都有出現(xiàn)近幾年來代數(shù)壓軸題多為考查應(yīng)用函數(shù)思想解題的能力函數(shù)與方程思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面：(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要(3)解析幾何中的許多問題需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切1運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問題此類問題是多元問題中的常見題型，通常有兩種處理思路：一是分離變量構(gòu)造函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決【例1】(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)exax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線yf(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex；(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有xcex.【解】(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln 2時(shí)，f(x)有極小值，且極小值為f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)無極大值(2)令g(x)exx2，則g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即g(x)0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)10，所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)0，即x2ex.(3)對(duì)任意給定的正數(shù)c，取x0，由(2)知，當(dāng)x0時(shí)，x2ex.所以當(dāng)xx0時(shí)，exx2x，即xcex.因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，恒有xcex.2運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)(方程)化法類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟是：第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)化問題形式第三步：研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合解決問題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究第四步：回歸問題結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問題【例2】已知Sn1(nN*)，設(shè)f(n)S2n1Sn1，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立【解】由f(n)S2n1Sn1，得f(n)，f(n1).f(n1)f(n)0.f(n)f(n1)f(3)f(2)(nN*，n2)f(n)minf(2).要使對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，原不等式恒成立，只需不等式logm(m1)2log(m1)m2成立設(shè)ylogm(m1)2，則y0.于是解得0y且m2.實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，)3運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決幾何問題在立體幾何和解析幾何中有許多問題需要運(yùn)用到方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決特別是在解析幾何中涉及到范圍或最值問題時(shí)可用如下思路去完成：第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換第四步：下結(jié)論將上述等量代換式代入0或0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍第五步：回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí)，無論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約，這是求解這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)【例3】(xx四川高考)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；()設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.()證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；()當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)()【解】由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.()()【證明】由()可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.()【解】由()可得，|TF|，|PQ|所以.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1)二、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來：研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域(最值)及求變量的取值范圍等對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效從今年的高考題來看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)定形”在今后的高考中將會(huì)有所加強(qiáng)，應(yīng)引起重視，復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來精確確定圖形間的位置關(guān)系1應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化(1)集合的運(yùn)算及韋恩圖；(2)函數(shù)及其圖象；(3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對(duì)于研究距離、角或面積的問題，直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；(6)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn))，做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決討論方程內(nèi)解或圖象的交點(diǎn)問題用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角函數(shù)等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)【例4】(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【解】原問題等價(jià)于方程f(x)a|x1|恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根解法一：分別畫出函數(shù)yf(x)與ya|x1|的圖象(1)由x23xa(x1)得，x2(3a)xa0，(3a)24a，由0得a9或a1(舍)，此時(shí)a9，(2)由x23xa(1x)，得x2(3a)xa0，由0得a1或a9(舍)，結(jié)合圖象知0a1，由(1)(2)知0a9，a(0,1)(9，)解法二：分離參數(shù)法a，由平移和對(duì)稱知畫出函數(shù)y的圖象，由圖知a(0,1)(9，)【答案】(0,1)(9，)3運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)最后問題“形”可以使某些抽象問題具體化，而數(shù)”可以使思維精確化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在某些求最值問題中，可以收到意想不到的效果(1)把代數(shù)式進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義構(gòu)圖形，例如看作直線的斜率，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)的連線的斜率，特別適用于一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域內(nèi))的形式：或(am)2(bn)2：看作是兩點(diǎn)(a，b)和(m，n)間的距離或距離的平方(2)其他具有幾何意義的概念都可以利用相關(guān)的幾何圖形直觀進(jìn)行分析判斷，例如：向量的問題，可以考慮用向量的圖形大小與方向及向量運(yùn)算的幾何意義構(gòu)造圖形直觀解題；復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形【例5】(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組求函數(shù)z的值域；求w的最值(2)用mina，b，c表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)f(x)min2x，x2,10x(x0)，則f(x)的最大值為()A4B5C6D7【解析】(1)由解析幾何知識(shí)可知，所給的不等式組表示圓x2y24的右半圓域(含邊界)，z可改寫為y3z(x1)，把z看作參數(shù)，則此方程表示過定點(diǎn)P(1，3)，斜率為z的直線系所求問題的幾何意義是：求過半圓域x2y24(x0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(1，3)的直線斜率的最大、最小值由圖顯見，過點(diǎn)P和點(diǎn)A(0,2)的直線斜率最大，zmax5.過點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過B點(diǎn)的切線方程為axby4.又B在半圓周上，P在切線上，則有又a0，解得，因此zmin.綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?所求問題的幾何意義是：求半圓域x2y24(x0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)到P(1，3)的距離的最大值與最小值，由數(shù)形結(jié)合可知wmax|PO|r2，wmin|PC|，即最大值為2，最小值為.(2)f(x)min2x，x2,10x(x0)的圖象如圖令x210x，解得x4.當(dāng)x4時(shí)，f(x)取最大值，f(4)426.故選C.【答案】C4運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何中的問題在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析(或僅對(duì)幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時(shí)候是很難行得通的例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化【例6】已知P是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值【解】根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4y80向左上方或向右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，RtPAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即CP垂直于直線3x4y80時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|PC|3，從而|PA|2.(S四邊形PACB)min2|PA|AC|2.