2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第9講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第9講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.以選擇、填空題的形式直接考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).2.考查以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì).3.以比較大小或探求對(duì)數(shù)函數(shù)值域的方式考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.4.與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合考查相應(yīng)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． 一、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 1．對(duì)數(shù)的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN. 2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) 性質(zhì) ①loga1＝0；②loga a＝1；③alogaN＝N. 換底公式 logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0) 運(yùn)算性質(zhì) 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). 二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖象 a＞1 0＜a＜1 性 質(zhì) 定義域：(0，＋∞) 值域：(－∞，＋∞) 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0) 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0; 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0. 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0. 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 迅速判斷底數(shù)大小關(guān)系的方法 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大． 三、反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 互為反函數(shù)的兩函數(shù)坐標(biāo)間的關(guān)系 若函數(shù)y＝f(x)圖象上有一點(diǎn)(a，b)，則(b，a)必在其反函數(shù)的圖象上，反之，若(b，a)在反函數(shù)圖象上，則(a，b)必在原函數(shù)圖象上． 1．2log510＋log50.25＝( ) A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】 2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2. 【答案】 C 2．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)等于( ) A. B．2x－2 C．logx D．log2x 【解析】 由題意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故選D. 【答案】 D 3．如果logx＜logy＜0，那么( ) A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【解析】 ∵y＝logx是(0，＋∞)上的減函數(shù)， ∴x＞y＞1. 【答案】 D 4．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________． 【解析】 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋? 令t＝2x＋1(t＞0)． 因?yàn)閥＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，t＝2x＋1在上為增函數(shù)，所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間為. 【答案】 5．(xx江西高考)函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域?yàn)? ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 【解析】 因?yàn)閥＝ln(1－x)，所以 解得0≤x<1. 【答案】 B 6．(xx福建高考)函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)的圖象大致是( ) 【解析】 f(x)＝ln(x2＋1)，x∈R，當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝ln 1＝0，即f(x)過(guò)點(diǎn)(0,0)，排除B，D. ∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選A. 【答案】 A 考向一 [025] 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 (1)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n； (2)計(jì)算； (3)計(jì)算(log32＋log92)(log43＋log83)． 【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)乘法公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算； (2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式或直接代入求解． 【嘗試解答】 (1)法一 ∵loga2＝m，loga3＝n， ∴am＝2，an＝3， ∴a2m＋n＝(am)2an＝223＝12. 法二 ∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝(am)2an＝(aloga2)2aloga3＝223＝12. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝＝1. (3)原式＝ ＝ ＝＝. 規(guī)律方法1 1.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此經(jīng)常用到換底公式及其推論；在對(duì)含字母的對(duì)數(shù)式化簡(jiǎn)時(shí)必須保證恒等變形. 2.ab＝N?b＝logaN(a＞0且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中要注意互化. 3.利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)計(jì)算100－＝________. (2)(xx青島模擬)設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝________. 【解析】 (1)原式＝(lg )＝－20. (2)∵2a＝5b＝m， ∴a＝log2m，b＝log5m， ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ∴m2＝10，∴m＝. 【答案】 (1)－20 (2) 考向二 [026] 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 (1)(xx濰坊質(zhì)檢)函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝log||x(ab≠0，|a|≠|(zhì)b|)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( ) (2)(xx鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是( ) A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) 【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)函數(shù)y＝ax2＋bx與x軸的交點(diǎn)確定||的范圍． (2)畫出f(x)的圖象，確定a，b，c的范圍． 【嘗試解答】 (1)令ax2＋bx＝0得x＝0或x＝－. 對(duì)于A、B項(xiàng)，由拋物線知，0＜＜1，此時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象不合要求，故A、B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，由拋物線知＞1，此時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)圖象不合要求，故C不正確；對(duì)于D項(xiàng)，由拋物線知0＜＜1，此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象符合要求，故選D. (2)作出f(x)的大致圖象．不妨設(shè)a＜b＜c，因?yàn)閍、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函數(shù)的圖象可知10＜c＜12， 且|lg a|＝|lg b|，因?yàn)閍≠b， 所以lg a＝－lg b，可得ab＝1， 所以abc＝c∈(10,12)，故選C. 【答案】 (1)D (2)C 規(guī)律方法2 1.解答本例(1)時(shí)，可假設(shè)一個(gè)圖象正確，然后看另一個(gè)圖象是否符合要求；對(duì)于本例(2)根據(jù)|lg a|＝|lg b|得到ab＝1是解題的關(guān)鍵． 2．對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換能作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合求解． 3．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解，常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直線y＝a(a＜0)與這三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是( ) A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1 (2)函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________． 【解析】 (1)在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖象及直線y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故選A. (2)作出函數(shù)y＝log2x的圖象，將其關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y＝log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖象(如圖所示)．由圖知，函數(shù)y＝log2|x＋1|的遞減區(qū)間為(－∞，－1)，遞增區(qū)間為(－1，＋∞)． 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1) (－1，＋∞) 考向三 [027] 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 (1)(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則( ) A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c (2)(xx臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)． ①求函數(shù)f(x)的定義域； ②若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求實(shí)數(shù)a的值． 【思路點(diǎn)撥】 (1)先結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小． (2)①利用真數(shù)大于0求函數(shù)定義域；②先對(duì)f(x)化簡(jiǎn)，再研究真數(shù)的范圍，最后借助0＜a＜1的單調(diào)性求a的值． 【嘗試解答】 (1)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32， b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52， c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72， ∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故選D. 【答案】 D (2)①要使函數(shù)有意義：則有，解之得－3＜x＜1 所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3＜x＜1}． ②函數(shù)可化為f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]． ∵－3＜x＜1，∴0＜－(x＋1)2＋4≤4 ∵0＜a＜1，∴l(xiāng)oga[－(x＋1)2＋4]≥loga4， 即f(x)min＝loga4 由loga4＝－4，得a－4＝4，∴a＝4－＝. 故實(shí)數(shù)a的值為. 規(guī)律方法3 1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對(duì)數(shù)值大?。?1)同底數(shù)(或能化為同底的)可利用函數(shù)單調(diào)性處理； (2)底數(shù)不同，真數(shù)相同的對(duì)數(shù)值的比較，可利用函數(shù)圖象或比較其倒數(shù)大小來(lái)進(jìn)行. (3)既不同底數(shù)，又不同真數(shù)的對(duì)數(shù)值的比較，先引入中間量(如－1，0，1等)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較. 2.利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)研究對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)，要注意三點(diǎn)，一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)? ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) (2)已知函數(shù)f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在區(qū)間[1,2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】 (1)設(shè)y＝f(x)，t＝3x＋1， 則y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t＞1知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)． 【答案】 A (2)當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是減函數(shù)， 由f(x)＞1恒成立， 則f(x)min＝loga(8－2a)＞1， 解之得1＜a＜. 若0＜a＜1時(shí)，f(x)在x∈[1,2]上是增函數(shù)， 由f(x)＞1恒成立， 則f(x)min＝loga(8－a)＞1， 且8－2a＞0， ∴a＞4，且a＜4，故不存在． 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 思想方法之六 用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍 由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象受底數(shù)a的變化而成有規(guī)律變化，因此對(duì)于較復(fù)雜的指數(shù)或?qū)?shù)不等式有解(或恒成立)問(wèn)題，可借助函數(shù)圖象解決，具體操作如下： (1)對(duì)不等式變形，使不等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)兩函數(shù)f(x)，g(x)； (2)在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)y＝f(x)及y＝g(x)的圖象； (3)比較當(dāng)x在某一范圍內(nèi)取值時(shí)圖象的上下位置及交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定參數(shù)的取值或解的情況． ——— [1個(gè)示范例] ——— [1個(gè)對(duì)點(diǎn)練] ——— (xx課標(biāo)全國(guó)卷)當(dāng)0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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