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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 解三角形課時(shí)檢測
第1講 正弦定理和余弦定理
1．(xx年上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B
b，則∠B＝( )
A. B. C. D.
4. (xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝( )
A. B.
C. D.
5．(xx年重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，則sinB＝________.
6．(xx年陜西)在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a＝2，B＝，c＝2 ，則b＝________.
7．(xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，則下列命題正確的是________．
①若ab>c2，則C<；
②若a＋b>2c，則C<；
③若a3＋b3＝c3，則C<；
④若(a＋b)c<2ab，則C>；
⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，則C>.
8．(xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.
(1)求角A的大??；
(2)若b＝2，c＝1，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的長．
9．(xx年大綱)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊a，b，c滿足2b2＝3ac，求A的大?。?
10．(xx年浙江)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2asinB＝b.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面積．
第2講 解三角形應(yīng)用舉例
1．某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為( )
A. B．2
C．2 或 D．3
2．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東40的方向，則燈塔A與燈塔B的距離為( )km.( )
A．a(chǎn) B.a C．2a D.a
3．(xx年湖南)在△ABC中，若AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于( )
A. B.
C. D.
4．如圖K721，一艘海輪從A處出發(fā)，以40海里/時(shí)的速度沿東偏南50方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是( )
圖K721
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
5．有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為( )
A．1 B．2sin10
C．2cos10 D．cos20
6．(xx年四川)如圖K722，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連接EC，ED，則sin∠CED＝( )
圖K722
A. B. C. D.
7．(xx年湖北)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC＝( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
8．(xx年福建)已知△ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________．
9．如圖K723，甲船以30 海里/時(shí)的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里；當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時(shí)兩船相距10 海里．問：乙船的速度是多少海里/時(shí)？
圖K723
10．(xx年重慶)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2＝b2＋c2＋ab.
(1)求A；
(2)設(shè)a＝，S為△ABC的面積，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的值．
第七章 解三角形
第1講 正弦定理和余弦定理
1．A 解析：由正弦定理，得a2＋b2b，A>B, 所以B＝.
4．B 解析：b＋c＝2a，＝＝，a＝b，c＝b，
cosC＝＝＝＝－，C＝π.
5. 解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－212＝4，則c＝2，即B＝C，故sinB＝＝.
6．2 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝4，∴b＝2.
7．①②③ 解析：①ab>c2?cosC＝>＝?C<.
②a＋b>2c?cosC＝＝>≥?C<.
③當(dāng)C≥時(shí)，c2≥a2＋b2?c3≥a2c＋b2c>a3＋b3與a3＋b3＝c3矛盾．
④取a＝b＝2，c＝1滿足(a＋b)c<2ab，得C<.
⑤取a＝b＝2，c＝1滿足(a2＋b2)c2<2a2b2，得C<.
8．解：(1)A＋C＝π－B，A，B∈(0，π)?sin(A＋C)＝sinB>0，
2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB?cosA＝?A＝.
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA?a＝?b2＝a2＋c2?B＝.
在Rt△ABD中，AD＝＝＝.
9．解：由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，故3B＝π?B＝，且C＝－A.
∵2b2＝3ac，∴2sin2B＝3sinAsinC?2sin2＝3sinsinA.
∴2＝3sinA?cosAsinA＋sin2A＝1?sin2A＋＝1?sin＝，
由00，∴c＝3.
設(shè)BC邊上的高為h，由三角形的面積公式得
S△ABC＝ABBCsinB＝BCh.
即32sin60＝2h，解得h＝.
4．A 解析：在△ABC中，∠BAC＝30，∠ABC＝105，AB＝20，∠ACB＝45.
由正弦定理，得＝，解得BC＝10 .故選A.
5．C 解析：如圖D62，BD＝1，∠DBC＝20，∠DAC＝10.
圖D62
在△ABD中，由正弦定理，得＝.
解得AD＝2cos10.
6．B 解析：EB＝EA＋AB＝2，
EC＝＝＝，
∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝.
由正弦定理，得＝
則sin∠CED＝sin135＝.
7．D 解析：∵a，b，c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C，可得a>b>c，∴a＝c＋2，b＝c＋1. ①
又∵3b＝20acosA.∴cosA＝. ②
由余弦定理，得cosA＝.?、?
由②③，得＝，?、?
聯(lián)立①④，得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)．
∴由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故選D.
8．－ 解析：設(shè)最小邊長為a，則另兩邊長為a,2a.
故最大角的余弦cosα＝＝－.
9．解：如圖D63，連接A1B2，A2B2＝10 ，
圖D63
A1A2＝30 ＝10 ，∴A1A2＝A2B2.
又∠A1A2B2＝180－120＝60，
∴A1B2＝A1A2＝10 .A1B1＝20，
∠B1A1B2＝105－60＝45.
在△A1B2B1中，由余弦定理，得
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos45
＝202＋(10 )2－22010 ＝200，
∴B1B2＝10 .
因此，乙船的速度為60＝30 (海里/時(shí))．
10．解：(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－，
∵A為三角形的內(nèi)角，∴A＝.
(2)由(1)得sinA＝，
由正弦定理，得b＝，csinA＝asinC及a＝，
∴S＝bcsinA＝asinC＝3sinBsinC，
則S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)，
則當(dāng)B－C＝0，即當(dāng)B＝C＝＝時(shí)，S＋3cosBcosC取最大值為3.
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