（浙江專用）2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第八章 立體幾何與空間向量 8.7 立體幾何的綜合問題課件.ppt
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8.7立體幾何的綜合問題,,第八章立體幾何與空間向量,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎知識自主學習,題型分類深度剖析,課時作業(yè),1,基礎知識自主學習,PARTONE,,知識梳理,1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為,ZHISHISHULI,非零,,,,2.空間中平行、垂直關系的證明方法,(2)利用直線的方向向量和平面的法向量的關系.3.求兩條異面直線所成的角(1)用“平移法”作出異面直線所成角(或其補角).(2)用“向量法”求兩直線的方向向量所成的銳角.,4.求直線與平面所成的角(1)按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影)解三角形.(2)直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝_____.,5.求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__________.,(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝_______________，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).,|cos〈n1，n2〉|,,(6)若二面角α－a－β的兩個半平面α，β的法向量n1，n2所成角為θ，則二面角α－a－β的大小是π－θ.(),,,基礎自測,JICHUZICE,題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)(1)平面的單位法向量是唯一確定的.()(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.()(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(),,√,,,,,1,2,3,4,5,6,√,√,,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編2.[P104T2]設u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，當v＝(3，－2，2)時，α與β的位置關系為______；當v＝(4，－4，－10)時，α與β的位置關系為______.,解析當v＝(3，－2，2)時，uv＝(－2，2，5)(3，－2，2)＝0得α⊥β.當v＝(4，－4，－10)時，v＝－2u得α∥β.,α⊥β,α∥β,,1,2,3,4,5,6,3.[P111T3]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是______.,垂直,,1,2,3,4,5,6,∴ON與AM垂直.,,1,2,3,4,5,6,4.[P104T2]已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為___________.,∴兩平面所成二面角為45或180－45＝135.,45或135,,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾5.直線l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，則有A.l∥αB.l⊥αC.l與α斜交D.l?α或l∥α,解析由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B.,√,∵0≤θ≤90，∴θ＝30.,30,,1,2,3,4,5,6,2,題型分類深度剖析,PARTTWO,,題型一證明平行或垂直問題,,師生共研,A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C內(nèi),√,解析以點C1為坐標原點，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，,又C1D1⊥平面BB1C1C，,又MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.,2.(2010浙江)設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是A.若l⊥m，m?α，則l⊥αB.若l⊥α，l∥m，則m⊥αC.若l∥α，m?α，則l∥mD.若l∥α，m∥α，則l∥m,解析對于A，由l⊥m及m?α，可知l與α的位置關系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故A不正確.B正確.對于C，由l∥α，m?α知，l與m的位置關系為平行或異面，故C不正確.對于D，由l∥α，m∥α知，l與m的位置關系為平行、異面或相交，故D不正確.,√,3.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2.求證：MN∥平面BDE.,由題意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).,設n＝(x，y，z)為平面BDE的一個法向量，,因為MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE.,4.如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：,(1)PA⊥BD；,證明取BC的中點O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.,(2)平面PAD⊥平面PAB.,又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.,(1)證明平行或垂直問題要以兩條直線的平行或垂直為基礎，靈活轉(zhuǎn)化線線、線面、面面的關系.(2)利用向量法證明平行、垂直問題時，要充分應用直線的方向向量和平面的法向量，將空間線面關系轉(zhuǎn)化為向量的關系.,,題型二空間角的計算,命題點1求直線和平面所成的角,(1)求AC的長；,,多維探究,∴AD2＝AB2＋BD2，即AB⊥BD.又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面CBD，∴AB⊥BC，,(2)點E是線段AD的中點，求直線BE與平面ACD所成角的正弦值.,解方法一由(1)可知AB⊥平面CBD，如圖，過點B作BG⊥DC的延長線于點G，連接AG，則有CD⊥平面ABG，∴平面AGD⊥平面ABG，過點B作BH⊥AG于點H，平面AGD∩平面ABG＝AG，∴BH⊥平面AGD，連接HE，則∠BEH為直線BE與平面ACD所成的角.,方法二在平面BCD上作BF⊥BC，分別以B為原點，BC，BF，BA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，,設平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，,設直線BE與平面ACD所成的角為θ，,命題點2求二面角例2(2018浙江名校(諸暨中學)交流卷四)如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為AB的中點，AA1，BB1分別垂直平面ABC于點A，B，AA1＝AB，BB1＝MN⊥A1B1，垂足為N.,(1)求證：CN⊥A1B1；,證明因為AA1，BB1分別垂直平面ABC于點A，B，所以平面AA1B1B⊥平面ABC，又M為AB的中點，所以CM⊥AB，于是CM⊥平面A1ABB1，所以CM⊥A1B1.又因為MN⊥A1B1，CM∩MN＝M，所以A1B1⊥平面CMN，又CN?平面CMN，所以A1B1⊥CN.,(2)求平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值.,解方法一如圖，延長AB，A1B1相交于點D，連接CD，則CD為所求二面角的棱.,于是BD＝BC＝BA，于是∠ACD＝90，即CD⊥CA.又因為CD⊥AA1，CA∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1C，所以CD⊥CA1.于是∠A1CA即為所求二面角的平面角.在Rt△A1AC中，AA1＝AB＝AC，所以∠A1CA＝45，所以tan∠A1CA＝1.綜上，平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值為1.,方法二如圖，以M為原點，MA為x軸，MC為y軸建立空間直角坐標系，設AB＝2.,設平面A1B1C的法向量為n1＝(x，y，z).,設所求二面角的大小為θ，又平面ABC的一個法向量為n2＝(0，0，1).,(1)利用定義法計算空間角的三步曲：一作二證三計算.(2)利用向量法求角時，可利用基底法或建立空間直角坐標系，要注意兩個向量的夾角和所求角的關系.,(1)證明：AE⊥MB；,證明方法一在梯形ABCD中，連接BD交AE于點N，,∴BC2＋BD2＝CD2，故BC⊥BD.又BC∥AE，∴AE⊥BD，從而AE⊥BN，AE⊥MN，且BN∩MN＝N，∴AE⊥平面MNB，又MB?平面MNB，∴AE⊥MB.,得ME2＋CE2＝MC2，故CE⊥ME.又CE⊥BE，且ME∩BE＝E，∴CE⊥平面BEM.∵MB?平面BEM，∴CE⊥MB，又AB∥CE，∴AB⊥MB.,又AB∩BE＝B，∴MB⊥平面ABE，又AE?平面ABE，∴AE⊥MB.,(2)求直線CM與平面AME所成角的正弦值.,解方法一設直線MC與平面AME所成角為θ，,∵AE∥BC，∴點C到平面AME的距離即為點B到平面AME的距離.,方法二∵MB⊥平面ABCE，∴建立空間直角坐標系如圖所示，,設平面AME的法向量為m＝(x，y，z)，,設直線CM與平面AME所成角為θ，,思維點撥本題主要考查線線平行的證明，線面角的正弦值的求法以及空間中線線、線面、面面間的位置關系等，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查的數(shù)學核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算.,例(15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PCD為正三角形且二面角P—CD—A的大小為60.(1)設側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為m，求證：m∥BC；(2)設直線AB與側(cè)面PBC所成的角為θ，求sinθ的值.,,答題模板,DATIMUBAN,,,,利用空間向量求空間角,規(guī)范解答(1)證明因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥側(cè)面PAD.又側(cè)面PAD∩側(cè)面PBC＝m，所以m∥BC.[5分](2)解方法一取CD的中點M，AB的中點N，連接PM，MN，則PM⊥CD，MN⊥CD.所以∠PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而∠PMN＝60.作PO⊥MN于點O，則PO⊥底面ABCD.,以O為原點，ON所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，,設n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，,取n＝(0，3，2).,方法二如圖，取CD的中點M，AB的中點N，連接PM，MN，則PM⊥CD，MN⊥CD，所以∠PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而∠PMN＝60.作PO⊥MN于點O，則PO⊥底面ABCD.,作OE∥AB交BC于點E，連接PE.因為BC⊥PO，BC⊥OE，OP∩OE＝O，所以BC⊥平面POE.從而平面POE⊥平面PBC.,所以∠PEO就是直線OE即直線AB與平面PBC所成的角.所以∠PEO＝θ.,答題模板利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標系，確定點的坐標；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標；第三步：計算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求角.,3,課時作業(yè),PARTTHREE,,基礎保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則A.l∥αB.l⊥αC.l?α或l∥αD.l與α斜交,解析∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，∴an＝0，即a⊥n，∴l(xiāng)∥α或l?α.,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如圖，在空間直角坐標系中，有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設CA＝2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,∴n1＝(1，2，2).∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0，0，1)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018金華模擬)如圖，平面α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距離分別是a和b，AB與α，β所成的角分別是θ和φ，線段AB在α，β內(nèi)的射影長分別是m和n，若a>b，則A.θ>φ，m>nB.θ>φ，mn,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝AA1＝2，則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，,設異面直線AB1和A1C所成的角為θ，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018寧波十校高三適應性考試)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點P是棱AB上的動點(P點可以運動到端點A和B)，設在運動過程中，平面PDB1與平面ADD1A1所成的最小角為α，則cosα等于,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，AP＝a(0≤a≤1)，則易得D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)，,設平面PDB1的法向量為n＝(x，y，z)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令x＝a，得平面PDB1的一個法向量為n＝(a，－1，－a＋1)，易得平面ADD1A1的一個法向量為m＝(0，1，0)，由圖易得平面PDB1與平面ADD1A1所成的二面角為銳角，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，AB＝AC＝1，PA＝2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為______.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由AB＝AC＝1，PA＝2，,設平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取z＝1，則n＝(2，0，1)，設直線PA與平面DEF所成的角為θ，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF將正方形折成一個二面角后，AE∶ED∶AD＝則AF與CE所成角的余弦值為____.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,∴AE⊥ED，即AE，DE，EF兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝EF＝CD＝2，則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，0)，C(0，2，1)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_____.,60,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B點為坐標原點，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.設AB＝BC＝AA1＝2，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，,∵異面直線所成角的范圍是(0，90]，∴EF和BC1所成的角為60.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為______.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一延長FE，CB相交于點G，連接AG，如圖所示.設正方體的棱長為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點H，連接EH，則∠EHB為所求銳二面角的平面角.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設DA＝1，,設平面AEF的法向量為n＝(x，y，z)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y＝1，z＝－3，x＝－1，則n＝(－1，1，－3)，取平面ABC的法向量為m＝(0，0，－1)，設平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為θ，,證明由題易知∠ADE＝∠ABC＝60，AD＝CD，E是CD的中點，∴AE⊥CD.又AB∥CD，∴AE⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018嘉興基礎測試)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，E為CD的中點，∠ABC＝60.(1)求證：AE⊥平面PAB；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一連接PE，過點A作AH⊥PE于點H(圖略).∵CD⊥EA，CD⊥PA，EA∩PA＝A，∴CD⊥平面PAE，∴CD⊥AH.又AH⊥PE，CD∩PE＝E，CD，PE?平面PCD，∴AH⊥平面PCD.∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成的角.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二以A為坐標原點，AB，AE，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，,設平面PCD的法向量為n＝(x，y，z)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設直線AE與平面PCD所成的角為θ，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形PDCE為直角梯形，PD∥CE，∠PDC＝90，平面ABCD⊥平面PDCE，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)若PE和DC的延長線交于點F，求證：BF∥平面PAC；,證明∵在梯形PDCE中，PD＝2EC，∴C為DF的中點，∴CF＝CD＝AB，又AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形，∴BF∥AC，又AC?平面PAC，BF?平面PAC，∴BF∥平面PAC.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若Q為EC邊上的動點，求直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一設點Q在平面PBD上的射影為O，連接OQ，OB(圖略)，則∠QBO為直線BQ與平面PDB所成的角.∵EC∥PD，EC?平面PBD，∴EC∥平面PBD.∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PDCE，平面ABCD∩平面PDCE＝CD，PD⊥DC，PD?平面PDCE，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,∵EC∥平面PBD，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二∵平面ABCD⊥平面PDCE，平面ABCD∩平面PDCE＝CD，PD⊥DC，PD?平面PDCE，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DA.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設Q(0，2，t)(0≤t≤1)，,技能提升練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019金華模擬)已知點P是正方體ABCD—A1B1C1D1表面上一動點，且滿足PA＝2PB，設PD1與平面ABCD所成的角為θ，則θ的最大值為,√,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B為坐標原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，P(x，y，z)，則A(0，2，0)，因為PA＝2PB，,即為如圖的、、，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則PD1與底面ABCD的交點R到點D的距離最短，從而點P在上，且在QD上，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)，若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為__________.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令D(0，b，0)，F(xiàn)(a，0，0)，0
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