高中數(shù)學(xué) 第二章 第四節(jié) 漸開(kāi)線與擺線 2.4.1漸開(kāi)線與擺線（第四節(jié)）課件 新人教版選修4-4.ppt

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漸開(kāi)線與擺線,問(wèn)題提出,,,,,1.直線的“點(diǎn)角式”參數(shù)方程是什么？其中參數(shù)t具有什么幾何意義？,,（t為參數(shù)）,t表示點(diǎn)M0(x0，y0)到點(diǎn)M(x，y)的有向距離.,2.用參數(shù)法求軌跡方程的基本思路是什么？,→建立直角坐標(biāo)系,→設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),→選取參數(shù),→建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,→小結(jié).,3.用參數(shù)法求軌跡方程是一種重要的解題方法，其中合理選取參數(shù)是解題的關(guān)鍵，建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系是解題的主要工作.對(duì)于某些非圓錐曲線的參數(shù)方程，也可以利用上述思路求解.,探究（一）：漸開(kāi)線及其參數(shù)方程,,,思考1：把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，并保持繩子與圓相切而逐漸展開(kāi)，你能想象出鉛筆會(huì)畫(huà)出一條什么形狀的曲線嗎？,,呈螺旋狀逐漸離開(kāi)圓盤(pán),思考2：上述曲線叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓.設(shè)開(kāi)始時(shí)繩子的外端位于點(diǎn)A，當(dāng)外端展開(kāi)到點(diǎn)M時(shí)，繩子與基圓的切點(diǎn)為B，那么動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何條件是什么？,,切線BM的長(zhǎng)等于的長(zhǎng).,思考3：若在平面直角坐標(biāo)系中研究圓的漸開(kāi)線方程，應(yīng)如何建立坐標(biāo)系？,基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸.,思考4：求漸開(kāi)線的普通方程是很困難的，若求漸開(kāi)線的參數(shù)方程，則參數(shù)如何選?。?,以O(shè)A為始邊，OB為終邊所成的角φ為參數(shù).,思考5：設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)M由角φ惟一確定，在下圖中如何求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程？,,（φ為參數(shù)）,思考6：設(shè)向量e1是與同方向的單位向量，向量e2是與同方向的單位向量，則向量e1，e2的坐標(biāo)分別是什么？,e1＝(cosφ，sinφ),e2＝(sinφ，－cosφ),思考7：根據(jù)數(shù)乘向量的概念，向量與e2有何等量關(guān)系？,思考8：將＝(rφ)e2轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系可得什么結(jié)論？,（φ為參數(shù)）,探究（二）：擺線及其參數(shù)方程,思考1：在自行車(chē)輪子上噴一個(gè)白色印記，當(dāng)自行車(chē)在筆直的道路上行駛時(shí)，你能想象出白色印記會(huì)畫(huà)出一條什么形狀的曲線嗎？,呈周期性變化的一些弧線.,思考2：上述白色印記畫(huà)出的曲線叫做平擺線，簡(jiǎn)稱(chēng)擺線，又叫旋輪線.用軌跡的觀點(diǎn)如何描述擺線？,當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一定點(diǎn)的軌跡叫做擺線.,思考3：設(shè)B為圓心，圓周上的定點(diǎn)為M，開(kāi)始時(shí)位于點(diǎn)O處，圓在直線上滾動(dòng)到某一時(shí)刻與直線相切于點(diǎn)A，那么動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何條件是什么？,,線段OA的長(zhǎng)等于的長(zhǎng).,思考4：若在平面直角坐標(biāo)系中研究擺線的方程，應(yīng)如何建立坐標(biāo)系？,取定點(diǎn)M滾動(dòng)時(shí)的初始位置O為原點(diǎn)，定直線OA為x軸.,思考5：求擺線的普通方程也是很困難的，若求擺線的參數(shù)方程，則參數(shù)如何選?。?以BM為始邊，BA為終邊所成的角φ為參數(shù).,思考6：設(shè)圓半徑為r，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則點(diǎn)M由角φ惟一確定，在下圖中如何求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程？,（φ為參數(shù)）,思考7：在擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的取值范圍是什么？擺線一個(gè)拱的高度與寬度分別為多少？,φ∈[0，＋∞），拱高是2r，拱寬是2πr.,理論遷移,例1在半徑為1的圓的漸開(kāi)線中，若點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).,,例2已知一個(gè)圓的擺線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)A(2，0)，當(dāng)圓半徑最大時(shí)，求該擺線的參數(shù)方程和對(duì)應(yīng)的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程.,,,小結(jié)作業(yè),1.漸開(kāi)線與擺線在機(jī)械工業(yè)，產(chǎn)品工藝中常作為輪廓線，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.,2.漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程都以旋轉(zhuǎn)角為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)M與參數(shù)φ是一一對(duì)應(yīng)的.,3.漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程都由圓半徑所惟一確定，并且它們都不能化為普通方程.,