2019年高三上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)理試題.doc

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2019年高三上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)理試題 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共10頁(yè)，滿分為150分。考試用時(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡和答卷密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上。 2、選擇題每小題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。 3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。 第一部分選擇題(共 40 分) 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．若，，，則（ ） A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5} 2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ） A. B. C.0 D.1 3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且9，3，成等比數(shù)列. 若=3，則= ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 5 4. 設(shè)是甲拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為（ ） A B C D 5. 已知變量x、y滿足條件則的最大值是( ) A.2 B.5 C.6 D.8 6. 下列各命題中正確的命題是 （ ） ①命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題； ② 命題“”的否定是“” ； ③“函數(shù)最小正周期為”是“”的必要不充分條件； ④“平面向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“” ． A．②③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 7. 把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ） A. B. C. D. 8.點(diǎn)為雙曲線：和圓：的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． 第二部分 非選擇題(共 110 分) 二、填空題：本大題共6小題,每小題5分,共30分。 9. 若向量, 滿足條件,則=______ 10. 在ABC中，，，面積為， 那么的長(zhǎng)度為________ 11. 右圖是求的值的程序框圖，則正整數(shù) __ 12．已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱, 又直線與圓相切,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ 第11題圖 13.已知函數(shù)，令， 則二項(xiàng)式，展開式中常數(shù)項(xiàng)是第 __________項(xiàng). 第14、15題為選做題，只能選做一題，全答的，只計(jì)前一題的得分． 14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）在極坐標(biāo)系中， 曲線與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 . 15．（幾何證明選講）如圖,是圓的直徑，直線與 第15題圖 圓相切于點(diǎn)，于點(diǎn)，若圓的面積為，， 則的長(zhǎng)為 ． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16．（本小題共12分）已知函數(shù)(R). （1）求的最小正周期和最大值； （2）若為銳角，且，求的值. 17.（本小題共12分）今有4種股票和3種基金，李先生欲購(gòu)買其中的任意3種產(chǎn)品. （1）求李先生所購(gòu)買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率； （2）記購(gòu)買的3種產(chǎn)品中，包含基金的種數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望. 18.（本小題共14分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，為中點(diǎn). （1）求證：； （2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由. （3）若AB＝2，求二面角的平面角 的余弦值。 19．（本小題共14分）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。 （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍。 20.（本小題共14分）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知，，若且橢圓的離心率，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值； （3）試問：的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是， 請(qǐng)說明理由. 21．（本小題共14分）已知數(shù)列中，，對(duì)于任意的，有, （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）數(shù)列滿足：， ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由。 xx學(xué)年度第一學(xué)期 班級(jí)：_______________姓名：_______________學(xué)號(hào)：_______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 高三級(jí)數(shù)學(xué)科（理科）期中考試答卷 成績(jī)： 注意事項(xiàng)：1、本答卷為第二部分非選擇題答題區(qū)?？忌仨氂煤谏舟E的鋼筆或簽字筆在各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上答題，超出指定區(qū)域的答案無效。 2、如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。 題號(hào) 選擇題 填空題 16 17 18 19 20 21 得分 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分. （一）必做題（9～13題） 9. ； 10. ； 11. ；12. . 13. _； （二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題） 14. ；15. . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟. 16. （本小題滿分12分） 解： 17. （本小題滿分12分） 解： 18. （本小題滿分14分） 解： O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 19. （本小題滿分14分） 解： 20. （本小題滿分14分） 解： 班級(jí)：_______________姓名：_______________學(xué)號(hào)：_______________ O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 線??????????????????????O 21. （本小題滿分14分） 解： xx學(xué)年度高三級(jí)第一學(xué)期 期中數(shù)學(xué)科（理數(shù)）考試答案 一、選擇題（每題5分，共40分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A C A D C 二、填空題（每題5分，共30分） 9． ; 10. 49 ; 11. 100 ; 12. ； 13. 5 14. 15. 1 三、解答題（寫出必要的文字說明，計(jì)算或證明過程。共80分） 16．（本小題共12分） 17．（本小題共12分） 解：（1）設(shè)事件A表示“李先生所購(gòu)買的3種產(chǎn)品中，恰好只含一種基金” …………1分 …………3分 答：李先生所購(gòu)買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率為…………4分 （2）…………5分 …………9分 …………12分 18．（本小題共14分） 解：（1）連結(jié)長(zhǎng)方體中，， 則…………1分 ∵ ∴…………2分 ∴面…………3分 又面 ∴…………4分 P Q （2）存在的中點(diǎn)P，使得， 證明：取的中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接 在中， 又 ∴ ∴四邊形PQDE為平行四邊形 ∴ 又 ∴ 此時(shí) ………8分 （3）法一：在平面上，過點(diǎn)作交于，連結(jié) ∵ ∴ ∴為二面角的平面角 在中， 又，則 在中， ∴ 即二面角的平面角的余弦值為. 法二：因?yàn)? 建立如圖所示坐標(biāo)系 ∵ ∴平面ABE的一個(gè)法向量 設(shè)平面的法向量為 由，得 取，則平面的一個(gè)法向量 ∴ 經(jīng)檢驗(yàn)，二面角B－AE－B所成平面角為銳角，其余弦值為 19．（本小題共14分） 解：（1）因?yàn)? …………2分 所以 ， 因此 …………4分 （2）由（1）知， …………5分 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， …………6分 所以的單調(diào)增區(qū)間是 的單調(diào)減區(qū)間是 …………8分 （3）由（2）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加， 且當(dāng)或時(shí)， 所以的極大值為，極小值為…………10分 因?yàn)? 所以在的三個(gè)單調(diào)區(qū)間 直線與的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) …………13分 因此，的取值范圍為 …………14分 20．（本小題共14分） 解：（1）∵ ……2分 ∴ ……………3分 ∴橢圓的方程為 ……………4分 （2）依題意，設(shè)的方程為 由 ………………5分 顯然 ………………6分 由已知得： 解得 ……………………8分 （3）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即， 由已知，得 又在橢圓上， 所以 ,三角形的面積為定值．………10分 ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)：設(shè)的方程為 必須 即 得到， ………………11分 ∵，∴ 代入整理得： …………………12分 …………13分 所以三角形的面積為定值． ……14分 21．（本小題共14分） 解：（1）取，則　∴（） ∴是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列 ∴　　　 …………4分 （2）∵ ① ∴ 　② ①-②得：∴ …………6分 當(dāng)時(shí)，　∴，滿足上式 ∴ …………8分 （3）　假設(shè)存在，使 ． ． ．　　 當(dāng)為正偶函數(shù)時(shí)，恒成立， ∴． ∴ …………11分 當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，恒成立． ∴ ∴．∴． 綜上可知，存在實(shí)數(shù)．使時(shí)，恒成立． …………14分