2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第28講 數(shù)列的概念與簡單表示法練習(xí) 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第28講 數(shù)列的概念與簡單表示法練習(xí) 新人教A版考情展望1.以數(shù)列的前n項(xiàng)為背景寫數(shù)列的通項(xiàng).2.考查由數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系求數(shù)列的某一項(xiàng).3.考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系或前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an.一、數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表達(dá)，這個公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和二、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an判斷數(shù)列遞增(減)的方法(1)作差比較法：若an1an0，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為常數(shù)列若an1an0，則數(shù)列an為遞減數(shù)列(2)作商比較法：不妨設(shè)an0.若1，則數(shù)列an為遞增數(shù)列若1，則數(shù)列an為常數(shù)列若1，則數(shù)列an為遞減數(shù)列三、數(shù)列的表示方法數(shù)列有三種表示方法，它們分別是列表法、圖象法和解析法四、an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an已知Sn求an的注意點(diǎn)利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，注意n2這一前提條件，易忽略驗(yàn)證n1致誤，當(dāng)n1時(shí)，a1若適合通項(xiàng)，則n1的情況應(yīng)并入n2時(shí)的通項(xiàng)；否則an應(yīng)利用分段函數(shù)的形式表示1已知數(shù)列an的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列an的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是()Aan1(1)n1 Ban2sin Can1cos n Dan【解析】根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)驗(yàn)證【答案】B2在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()A30 B31 C32 D33【解析】a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.【答案】B3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，則這個數(shù)列是()A遞增數(shù)列 B遞減數(shù)列C常數(shù)列 D擺動數(shù)列【解析】an0，1.an為遞增數(shù)列【答案】A4數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，a1S12；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1.an【答案】5(2011浙江高考)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k_.【解析】由題意可知即化簡得解得k1.又kN*，所以k4.【答案】46(xx課標(biāo)全國卷)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.【解析】當(dāng)n1時(shí)，S1a1，a11.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1an(anan1)，an2an1，即2，an是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，其公比為2，an1(2)n1，即an(2)n1.【答案】(2)n1考向一 083由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.【思路點(diǎn)撥】歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個方面著手：(1)觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系；(2)符號與絕對值分別考慮；(3)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形【嘗試解答】(1)符號可通過(1)n表示，后面的數(shù)的絕對值總比前面的數(shù)的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(2)數(shù)列變?yōu)?10.1)，(10.01)，(10.001)，an .(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24，易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)?，原?shù)列化為，an(1)n.規(guī)律方法11.求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個特征.,(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.2.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對于正負(fù)符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整.考向二 084由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.(1)在數(shù)列an中，a11，an1an2n；(2)在數(shù)列an中，an1an，a14；(3)在數(shù)列an中，a13，an12an1.【思路點(diǎn)撥】(1)求an1an，利用累加法求解(2)求，利用累乘法求解(3)利用(an11)2(an1)構(gòu)造等比數(shù)列求解【嘗試解答】(1)由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)個式子，累加即可得(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.當(dāng)n1時(shí)，a11也符合，所以an2n1(nN*)(2)由遞推關(guān)系an1an，a14，有，于是有3，將這(n1)個式子累乘，得.所以當(dāng)n2時(shí)，ana12n(n1)當(dāng)n1時(shí)，a14符合上式，所以an2n(n1)(nN*)(3)由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2為公比的等比數(shù)列所以bnb12n1(a11)2n12n1，所以anbn12n11(nN*)規(guī)律方法2遞推式的類型遞推式方法示例an1anf(n)疊加法a11，an1an2nf(n)疊乘法a11，2nan1panq (p0,1，q0)化為等比數(shù)列a11，an12an1an1panqpn1 (p0,1，q0)化為等差數(shù)列a11，an13an3n1考向三 085由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3nb.(b為常數(shù))【思路點(diǎn)撥】先分n1和n2兩類分別求an，再驗(yàn)證a1是否滿足an(n2)【嘗試解答】(1)a1S1231，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1S13b，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an23n1；當(dāng)b1時(shí)，an規(guī)律方法3已知Sn求an時(shí)的三個注意點(diǎn),(1)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論；特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫” .(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an對點(diǎn)訓(xùn)練若Sn滿足的條件變?yōu)槿缦滦问剑瑒t又如何求an?(1)Snn2n1；(2)log2(2Sn)n1.【解】(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n；當(dāng)n1時(shí)，a1S1321，故a13不滿足an2n.an(2)log2(2Sn)n1，2Sn2n1，即Sn2n12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n12)(2n2)2n，當(dāng)n1時(shí)，a1S1222221，故a12滿足an2n.an2n.易錯易誤之十明確數(shù)列中項(xiàng)的特征，慎用函數(shù)思想解題1個示范例1個防錯練(xx安陽模擬)已知數(shù)列an中，ann2kn(nN*)，且an單調(diào)遞增，則k的取值范圍是()A(，2B(，3)C(，2) D(，3【解析】ann2kn(nN*)，且an單調(diào)遞增，an1an0對nN*都成立，此處在求解時(shí)，常犯“an是關(guān)于n的二次函數(shù)，若an單調(diào)遞增，則必有1，k2”的錯誤.,出錯的原因是忽視了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性即自變量是正整數(shù).又an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k，所以由2n1k0，即k2n1恒成立可知k(2n1)min3.【防范措施】1.明確函數(shù)單調(diào)性與數(shù)列單調(diào)性的關(guān)系,(1)若數(shù)列所對應(yīng)的函數(shù)是單調(diào)的，則該數(shù)列一定單調(diào).(2)若數(shù)列是單調(diào)的，其對應(yīng)的函數(shù)未必單調(diào)，原因是數(shù)列是定義在nN*上的特殊函數(shù).2.數(shù)列單調(diào)性的判斷,一般通過比較an1與an的大小來判斷：,若an1an，則該數(shù)列為遞增數(shù)列；若an1an，則該數(shù)列為遞減數(shù)列.(xx濟(jì)南模擬)已知an是遞增數(shù)列，且對于任意的nN*，ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【解析】法一(定義法)因?yàn)閍n是遞增數(shù)列，故對任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因?yàn)閚1，故(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函數(shù)法)設(shè)f(n)ann2n，其對稱軸為n，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需滿足n即可，即3.【答案】(3，)