2019-2020年高三數學總復習分類匯編 第三期 G單元 立體幾何.doc

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2019-2020年高三數學總復習分類匯編 第三期 G單元 立體幾何 目錄 G單元 立體幾何 1 G1 空間幾何體的結構 2 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 2 G3 平面的基本性質、空間兩條直線 2 G4 空間中的平行關系 2 G5 空間中的垂直關系 2 G6 三垂線定理 2 G7 棱柱與棱錐 2 G8 多面體與球 2 G9　空間向量及運算 2 G10 空間向量解決線面位置關系 2 G11 空間角與距離的求法 2 G12 單元綜合 2 G1 空間幾何體的結構 【數學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】11.已知四面體中, ，，, 平面PBC,則四面體的內切球半徑與外接球半徑的比 A. B. C. D. （ ） 【知識點】空間幾何體的結構G1 【答案解析】C 設內切球的半徑為r則=+++求出r.把三棱錐補成一個三棱柱，根據勾股定理求出外接球的半徑R，然后求出內切球半徑與外接球半徑的比為。 【思路點撥】利用分割法求出內切球的半徑，根據勾股定理求出外接球的半徑，再求出比值。 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 【數學（理）卷xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（xx10）】5．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） 第5題 A．　　　　B.　　　C. 　　　 D. 【知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】C 解析：由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，而得到的幾何體． 原正三棱錐的底面邊長為2，高為2，體積V1=Sh=2=2． 截去的三棱錐的高為1，體積V2=1= 故所求體積為V=V1﹣V2=，故選A． 【思路點撥】由三視圖可知該幾何體，是過一正三棱柱的上底面一邊作截面，截去的部分為三棱錐，利用間接法求出其體積． 【數學理卷xx屆黑龍江省雙鴨山一中高三上學期期中考試（xx11） 】6.若某多面體的三視圖(單位：cm), 如圖所示， 其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形，則 此多面體的表面積是（ ） A. B. C. 15 D. 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】B 由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，側棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形．在等腰三角形ABC中，CD⊥AB，CD=4，AB=6，∴AC=BC= =5． ∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥CD． ∴S表面積=254+64+64=32+12． 故答案為B． 【思路點撥】由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，側棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形．據此即可計算出答案． 【數學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】5．一個棱錐的三視圖如圖（單位為cm），則該棱錐的全面積是 ( ) A、4+2 B、4+ C、4+2 D、4+ 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】A 由三視圖可知：原幾何體是一個如圖所示的三棱錐，點O為邊AC的中點，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2． 可求得S△PAC=22=2， S△ABC=22=2． ∵PO⊥AC，∴在Rt△POA中，由勾股定理得PA==． 同理AB=BC=PC=PA=．由PO⊥底面ABC，得PO⊥OB， 在Rt△POB中，由勾股定理得PB==2． 由于△PAB是一個腰長為，底邊長為2 的等腰三角形，可求得底邊上的高h==． ∴S△PAB=2=．同理S△PBC=．故該棱錐的全面積=2+2++=4+2． 故答案為4+2． 【思路點撥】由三視圖可知：原幾何體是一個如圖所示的三棱錐，點O為邊AC的中點，且PO⊥底面ABC，OB⊥AC，PO=AC=OB=2．據此可計算出該棱錐的全面積． 【數學理卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（xx10）word版】3、如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ） A、54 B、27 C、18 D、9 【知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】C 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐， ∵底面長和寬分別為3和6，∴其底面面積S=36=18，又∵棱錐的高h=3， 故該幾何體的體積V=Sh=318=18．故選：C 【思路點撥】由已知的三視圖可得：該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，分別求出底面面積和高，代入錐體體積公式，可得答案． 【數學理卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】3．一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為（ ▲ ）。 A． B． C． D． 【知識點】三視圖，球體表面積G2，G8 【答案解析】B 解析：由三視圖可知，此幾何體是四棱錐，是由正方體下底面四個頂點和上底面一個頂點構成。此幾何體的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線是球的直徑，所以半徑R=，球的表面積 。 【思路點撥】由三視圖確定幾何體，應先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關系），再利用三視圖與原幾何體的數據對應關系進行解答.一般情況下，錐體或柱體都可以通過長方體和正方體取點得到。 【數學理卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11） 】3.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3， 則正視圖中的的值是（ ） A.2 B. C. D.3 【知識點】簡單空間圖形的三視圖．G2 【答案解析】D 解析：根據三視圖判斷幾何體為四棱錐，其直觀圖是： ，．故選D． 【思路點撥】根據三視圖判斷幾何體為四棱錐，再利用體積公式求高x即可． 【數學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】9．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是(　　)． A．12π　　　 B．24π　　　 C．32π　　　 D．48π 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】D 由三視圖可知該幾何體是有一條側棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為4， 該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的直徑為4=4， 即球的半徑為2，所以該球的表面積是4π(2)2=48π．故選D． 【思路點撥】該幾何體的直觀圖如圖所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐．其中底面ABCD是邊長為4的正方形，高為CC1=4，故可求結論． 【數學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】7. 某幾何體的三視圖如右圖所示，則其體積為 (　　) A． B. C． D． 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】B 解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑1，高2的半圓錐，所以其體積為，故選B. 【思路點撥】由幾何體的三視圖，分析此幾何體的結構，從而求得此幾何體的體積. 【數學文卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（xx10）】5、如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 3 3 3 6 正視圖 側視圖 俯視圖 A、54 B、27 C、18 D、9 【知識點】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】C 解析：由三視圖知該幾何體是底面是長6寬3的矩形，高3的四棱錐，所以此幾何體的體積為，故選C. 【思路點撥】由三視圖得該幾何體的結構，從而求得該幾何體的體積. 【數學文卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】2．一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為（ ▲ ）。 左視圖 主視圖 俯視圖 （第2題圖） A． B． C． D． 【知識點】三視圖，三棱錐外接球，球的表面積公式G2 G8 【答案解析】B解析：由三視圖可知其直觀圖為底面是正方形的側棱垂直底面的四棱錐，求其外接球半徑，可采用補圖成為一個邊長為2的正方體的外接球的半徑，半徑為，所以外接球的表面積，故選擇B. 【思路點撥】先由三視圖分析原幾何體的特征（注意物體的位置的放置與三視圖的關系），再利用三視圖與原幾何體的數據對應關系，確定直觀圖，該幾何體的外接球采用補圖成為長方體求解外接球半徑.. 【數學文卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11）】12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為____________ 【知識點】由三視圖求面積、體積．G2 【答案解析】 解析：由題意可知幾何體是底面是底面為2的等邊三角形，高為3的直三棱柱，所以幾何體的體積為：．故答案為：． 【思路點撥】通過三視圖復原的幾何體的形狀，結合三視圖的數據求出幾何體的體積即可． 【數學文卷xx屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試（xx10）】16、一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積與其外接球面積之比為 ． 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】 由三視圖知，幾何體是一個組合體，是由兩個完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長是1的正方形，四棱錐的高是，斜高為， 這個幾何體的表面積為81=2 ∴根據幾何體和球的對稱性知，幾何體的外接球的直徑是四棱錐底面的對角線是， ∴外接球的表面積是4π（）2=2π則這個幾何體的表面積與其外接球面積之比為=故答案為：． 【思路點撥】幾何體是一個組合體，是由兩個完全相同的四棱錐底面重合組成，四棱錐的底面是邊長是1的正方形，四棱錐的高是 ，根據求和幾何體的對稱性得到幾何體的外接球的直徑是 ，求出表面積及球的表面積即可得出比值． 【數學文卷xx屆云南省玉溪一中高三上學期期中考試（xx10）】9、一個棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為（ ） A． B． C．1 D． 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】A 由已知三視圖我們可得：棱錐以俯視圖為底面，以主視圖高為高，故h=1， S底面= （1+2）1= ，故V= S底面h=，故答案為：A 【思路點撥】根據已知三視圖，我們結合棱錐的結構特征易判斷出幾何體為四錐錐，結合三視圖中標識的數據,我們易求出棱錐的底面面積及棱錐的高，代入棱錐體積公式即可得到答案． G3 平面的基本性質、空間兩條直線 【數學理卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】4．給定下列兩個關于異面直線的命題：那么（ ▲ ）。 命題（1）：若平面上的直線與平面上的直線為異面直線，直線是與的交線，那么至多與中的一條相交； 命題（2）：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。 A．命題（1）正確，命題（2）不正確 B．命題（2）正確，命題（1）不正確 C．兩個命題都正確 D．兩個命題都不正確 【知識點】空間直線與平面 G3 【答案解析】D解析：命題（1）中，至少與中的一條相交；命題（2）中的異面直線是存在的，所以兩個命題都不對。 【思路點撥】熟悉異面直線的畫法，理解異面直線的定義是求解此題的關鍵。 【數學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】6．對于任意的直線l與平面α，在平面α內必有直線m，使m與l(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．互為異面直線 【知識點】空間直線位置關系情況分析. G3 【答案解析】C 解析：當直線l與平面α相交時A不成立；當直線l與平面α平行時B不成立；當直線l在平面α內時D不成立.故選D. 【思路點撥】采用排除法確定結論. G4 空間中的平行關系 【數學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】2.已知平面,則下列命題中正確的是 ( ) A． B． C． D． 【知識點】空間中的平行關系 空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】D A選項中b可能跟斜交，B選項中可能與垂直，C選項中a可能與b不垂直，故D選項正確，故選D. 【思路點撥】根據平面與直線的位置關系求結果。 【數學理卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（xx10）word版】18、（本小題滿分12分）如圖，四面體A-BCD中，AD⊥面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=，M是AD的中點，P是△BMD的外心，點Q在線段AC上，且。 （Ⅰ）證明：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）若二面角C-BM-D的大小為60，求四面體A-BCD的體積。 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．G4 G7 【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD ∵△BDM中，O、P分別為BD、BM的中點 ∴OP∥DM，且OP=DM，結合M為AD中點得：OP∥AD且OP=AD ∴OP∥QF且OP=QF，可得四邊形OPQF是平行四邊形 ∴PQ∥OF ∵PQ?平面BCD且OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD； （Ⅱ）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH ∵AD⊥平面BCD，CG?平面BCD，∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD內的相交直線 ∴CG⊥平面ABD，結合BM?平面ABD，得CG⊥BM ∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH內的相交直線 ∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH 因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60 設∠BDC=θ，可得 Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=2sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θ Rt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG=== ∴tanθ=，可得θ=60，即∠BDC=60， ∵BD=2， ∴CD=， ∴S△BCD==， ∴VA﹣BCD==． 【思路點撥】（Ⅰ）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3CF，連接OP、OF、FQ．根據平行線分線段成比例定理結合三角形的中位線定理證出四邊形OPQF是平行四邊形，從而PQ∥OF，再由線面平行判定定理，證出PQ∥平面BCD；（Ⅱ）過點C作CG⊥BD，垂足為G，過G作GH⊥BM于H，連接CH．根據線面垂直的判定與性質證出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60．設∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG關于θ的表達式，最后在Rt△CHG中，根據正切的定義得出tan∠CHG，從而得到tanθ，由此可得∠BDC，進而可求四面體A﹣BCD的體積． 【數學理卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】20．（本小題滿分15分） （第20題圖） 如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，、分別是、的中點，點在直線上，且滿足。 （1）證明：； （2）若平面與平面所成的角為，試確定點的位置。 【知識點】空間平行、垂直關系，以及線面所成的角G4,G5,G10 【答案解析】（1）略。（2）點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （1） 證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A－xyz． 則P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，）， （2分） 從而＝（－λ，，－1），＝（0,1，）， （2分） ＝（－λ)0＋1－1＝0，所以PN⊥AM; （3分） （2）平面ABC的一個法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分） 設平面PMN的一個法向量為m＝（x，y，z）， 由（1）得＝（λ，－1，）． （2分） 由 （1分） 解得． （1分） ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45， ∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝， （1分） 解得λ＝－． 故點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （2分） 【思路點撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單，首先建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，要求PN⊥AM，只需求=0即可；對于面面角，就求出兩個面的法向量，根據這兩個法向量的夾角可以確定參數的值，從而求出P點的位置。 【數學理卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11） 】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點． P B E C D F A （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若,求二面角的余弦 值． 【知識點】與二面角有關的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關系．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形． 因為為的中點，所以． 又，因此． 因為平面，平面，所以． 而平面，平面且， 所以平面．又平面， 所以． （7分） （Ⅱ）解法一：因為平面，平面， 所以平面平面． P 過作于，則平面， 過作于，連接， 則為二面角的平面角， S F A D O C E B 在中，，， 又是的中點，在中，， 又， 在中，， 即所求二面角的余弦值為． （14分） 解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以 P B E C D F A y z x ， ， 所以． 設平面的一法向量為， 則因此 取，則， 因為，，， 所以平面， 故為平面的一法向量． 又， 所以． 因為二面角為銳角， 所以所求二面角的余弦值為． 【思路點撥】（Ⅰ）由已知條件推導出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．（Ⅱ）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 【數學理卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11） 】4.設是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是（ ） A.若,,,則 B.若,,,則 C.若,,則 D.若,,,則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系．G4 G5 【答案解析】D 解析：若,,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確； 若,,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確； 若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確； 若,,，則m與n相交、平行或異面，故D錯誤． 故選：D． 【思路點撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解． 【數學理卷xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯考（xx10）】18.（本小題滿分14分） B1 C1 A1 B C D 如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3， D為AC的中點. (1)求證：AB1//面BDC1； (2）求二面角C1—BD—C的余弦值； (3）在側棱AA1上是否存在點P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結論. 【知識點】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11 【答案解析】略 解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點. 又D是AC的中點，∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分 （II）解：如圖，建立空間直角坐標系，則 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）……………………5分 設=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個法向量，則 即.…………………………………………6分 易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………………………………………9分 （III）假設側棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設不成立. ∴側棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1.……………………………14分 【思路點撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進行說明. 【數學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（xx11）】7．設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 A．若,,則 B．若∥,,則∥ C．若,,則 D．若,∥,∥,則 【知識點】空間中的平行關系 空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】D 選項A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯誤；選項B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯誤； 選項C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯誤； 選項D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D 【思路點撥】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β． 【數學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】21．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥ CD， AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD. E和F分別是CD和PC的中點． 求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 【知識點】空間中的平行關系空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】(1)略(2)略(3)略 (1)因為平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.所以PA⊥底面ABCD. (2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形．所以BE∥AD. 又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因為AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD. 又E，F分別是CD和CP的中點， 所以EF∥PD，故CD⊥EF.CD?平面PCD， 由EF，BE在平面BEF內，且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD. 【思路點撥】利用線線平行證明線面平行利用線面垂直證明面面垂直。 【數學文卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】3．設m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是(　　)． A．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n C．m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥β D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β 【知識點】空間中的平行關系 空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】B 對于A，若m∥α，n∥β且α∥β，說明m、n是分別在平行平面內的直線，它們的位置關系應該是平行或異面，故A錯；對于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過平移使得m與n相交，且設m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因為α⊥β，所以m與n所成的角為90，故命題B正確．對于C，根據面面垂直的性質，可知m⊥α，n?β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正確； 對于D，若“m?α，n?α，m∥β，n∥β”，則“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故選B． 【思路點撥】對于A、由面面平行的判定定理，得A是假命題對于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m與n不平行，借助于直線平移先得到一個與m或n都平行的平面，則所得平面與α、β都相交，根據m與n所成角與二面角平面角互補的結論．對于C、通過直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的性質定理，判斷正誤即可；對于D、利用平面與平面平行的判定定理推出結果即可． 【數學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】19.（本題滿分12分） 如圖，在正三棱柱中，點D在邊BC上，AD⊥C1D. (1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)設E是B1C1上的一點，當的值為多少時，A1E∥平面ADC1？ 請給出證明． 【知識點】面面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當的值為1時，A1E∥平面ADC1， 證明：見解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點， 當,即E為得中點時，平面. 證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點，所以 又,, 四邊形為平行四邊形， 而平面,平面, 故平面. 【思路點撥】（1）根據面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點，所以E為得中點時，有 ，進而得A1E∥平面ADC1. 【數學文卷xx屆湖南省師大附中高三上學期第二次月考（xx10）】18、（本小題滿分12分） 如圖，直三棱柱中，AC=BC=1，∠ACB=,點D為AB中點. (1) 求證：面； (2) 若,求二面角的平面角的大小. 【知識點】線面平行的判定；二面角大小的求法. G4 G11 【答案解析】(1)證明：見解析；（2）. 解析：(1)證明：連接與交于E，連接ED，則E為中點，又點D是AB中點，則,-------3分 而DE平面,平面,則有平面；-----6分 (2)因為二面角的平面角與二面角的平面角互補，又因為 ，則平面，所以, 則為二面角的平面角，-------9分 在中，, 故,即二面角的平面角大小為-------11分 所以二面角的平面角的大小為.-------12分 【思路點撥】(1)只需 在平面內找到直線與直線平行，為此連接與交于E，連接ED，證明即可；（2）由圖知二面角的平面角與二面角的平面角互補，所以先求二面角的平面角大小，可證為二面角的平面角，易求，所以所求二面角大小為. 【數學文卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】6．設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面．下列命題中，正確的是（ ▲ ）。 A．若與所成的角相等，則　 B．若，，則 C．若，，則　　 D．若，，則 【知識點】空間中直線與平面的位置關系G4 G5 【答案解析】C解析：A.兩條直線的位置關系不能確定，所以錯誤；B. 與平面的關系都有可能，所以錯誤；C.當一條直線與一個平面垂直，與另一個平面平行時，則兩個平面垂直，所以正確；D.兩條直線分別于兩個平面平行，則兩條直線沒有關系，所以錯誤；故選擇C. 【思路點撥】根據空間中平面與直線的位置關系，對錯誤的結論能找到反例即可. 【數學文卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△ 為正三角形，，為的中點． (1)求證:直線∥平面； (2)求證:平面⊥平面； (3)求三棱錐的體積． 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析； (2) 見解析；(3) 9 解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．…………1分 ∵D為AC中點，得DO為中位線，∴．…………………………2分 ∴直線AB1∥平面BC1D ………………………4分 （2）證明：∵底面，∴ ……………………………………5分 ∵底面正三角形，D是AC的中點 ∴BD⊥AC ………………………………6分 ∵，∴BD⊥平面ACC1A1 ……………………………………7分 , …………………8分 （3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60=3 ∴ == ………………………………10分 又是底面BCD上的高 ………………………………11分 ∴=??6=9 ………………………13分 【思路點撥】（1）連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．可得DO為△AB1C中位線，A1B∥OD，結合線面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D； （2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中線BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，證出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等體積轉換，即可求三棱錐C﹣BC1D的體積． 【數學文卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11）】4.設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（ ） A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系．G4 G5 【答案解析】C 解析：A：若，則l∥β或者l?β，所以A錯誤． B：若，則或者，所以B錯誤． C：根據線面垂直的定義可得：若，則是正確的，所以C正確． D：若，則或者l∥β或者l與β相交，所以D錯誤． 故選C． 【思路點撥】A：由題意可得l∥β或者l?β．B：由題意可得：或者．C：根據線面垂直的定義可得：若，則是正確的，．D：若，則或者l∥β或者l與β相交． 【數學文卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（xx11）】6.關于直線，及平面α，β,下列命題中正確的是（ ） A.若l∥α，αβ=m，則l∥m B.若∥α，m∥α，則∥m C.若l⊥α，l∥β，則α⊥β D.若l∥α，m⊥l，則m⊥α 【知識點】空間中的平行關系 空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】D A．若l∥α，α∩β=m，．則l，m平行或異面，只有l(wèi)?β，才有l(wèi)∥m．故A錯；B．若l∥α，m∥α，則由線面平行的性質可得l，m平行、相交、異面，故B錯； C．若l⊥α，l∥β，則由線面平行的性質定理，l?γ，γ∩β=m，則l∥m，又l⊥α，故m⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C正確； D．若l∥α，m⊥l，則m與α平行、相交或在平面內，故D錯．故選C． 【思路點撥】由線面平行的性質定理可判斷A；又線面平行的性質定理和面面垂直的判定定理即可判斷C；由線面平行的性質定理可判斷B；由線面平行的性質定理可判斷D G5 空間中的垂直關系 【數學（理）卷xx屆重慶市重慶一中高三上學期第二次月考（xx10）】19.（本題滿分13分） 如圖，在多面體中，四邊形是正方形，. (1)求證：； (2)求二面角的余弦值． 【知識點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．G5 G11 【答案解析】(1)見解析； (2) 解析：(1)作BC的中點E，連接 且，四邊形是平行四邊形， ，則//面 同理，面面 面，面………………………………………6分 (2)四邊形為正方形, , ， 由勾股定理可得：， ， 同理可得 ,以A 為原點如圖建系。 則 設面的法向量為，則 ，令，則 設面的法向量為，則 則，令，則 所以 所以 ………………………………………13分 【思路點撥】(1) 取BC中點E，連結AE，C1E，B1E，由已知得四邊形CEB1C1是平行四邊形，AEC1A1是平行四邊形，由此能證明AB1∥面A1C1C． (2)由已知得A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，A1A⊥AC，從而A1A⊥面ABC，以A為原點，以AC為x軸建立坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大小． 【數學理卷xx屆遼寧師大附中高三上學期期中考試（xx11）】9 .已知點分別是正方體的棱的中點，點分別是線段與上的點，則與平面垂直的直線有 條。 （　?。? A．0 B．1 C．2 D．無數個 【知識點】空間中的垂直關系G5 【答案解析】B 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以C為原點建立空間直角坐標系， 則D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1）， =（2，2，-1），設，則M（2-λ，2λ，2-2λ）， 設，則N（2t，2t，2-t）， ∴=（2t-2+λ，2t-2λ，2λ-t）， ∵直線MN與平面ABCD垂直，∴，解得λ=t=， ∵方程組只有唯一的一組解，∴與平面ABCD垂直的直線MN有1條．故選：B． 【思路點撥】設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以C為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求出與平面ABCD垂直的直線MN只有1條． 【數學理卷xx屆浙江省重點中學協作體高三第一次適應性測試（xx11）word版】20．（本小題滿分15分） （第20題圖） 如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，、分別是、的中點，點在直線上，且滿足。 （1）證明：； （2）若平面與平面所成的角為，試確定點的位置。 【知識點】空間平行、垂直關系，以及線面所成的角G4,G5,G10 【答案解析】（1）略。（2）點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （2） 證明：如圖，以AB，AC，AA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A－xyz． 則P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，）， （2分） 從而＝（－λ，，－1），＝（0,1，）， （2分） ＝（－λ)0＋1－1＝0，所以PN⊥AM; （3分） （2）平面ABC的一個法向量為n＝＝（0,0,1）．（1分） 設平面PMN的一個法向量為m＝（x，y，z）， 由（1）得＝（λ，－1，）． （2分） 由 （1分） 解得． （1分） ∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45， ∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝， （1分） 解得λ＝－． 故點P在B1A1的延長線上，且|A1P|＝． （2分） 【思路點撥】立體幾何問題一般采用空間向量解比較簡單，首先建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，要求PN⊥AM，只需求=0即可；對于面面角，就求出兩個面的法向量，根據這兩個法向量的夾角可以確定參數的值，從而求出P點的位置。 【數學理卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11） 】20.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點． P B E C D F A （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若,求二面角的余弦 值． 【知識點】與二面角有關的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關系．G4 G5 【答案解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形． 因為為的中點，所以． 又，因此． 因為平面，平面，所以． 而平面，平面且， 所以平面．又平面， 所以． （7分） （Ⅱ）解法一：因為平面，平面， 所以平面平面． P 過作于，則平面， 過作于，連接， 則為二面角的平面角， S F A D O C E B 在中，，， 又是的中點，在中，， 又， 在中，， 即所求二面角的余弦值為． （14分） 解法二：由（Ⅰ）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以 P B E C D F A y z x ， ， 所以． 設平面的一法向量為， 則因此 取，則， 因為，，， 所以平面， 故為平面的一法向量． 又， 所以． 因為二面角為銳角， 所以所求二面角的余弦值為． 【思路點撥】（Ⅰ）由已知條件推導出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能證明AE⊥平面PAD，從而得到AE⊥PD．（Ⅱ）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 【數學理卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11） 】4.設是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面,下列命題中錯誤的是（ ） A.若,,,則 B.若,,,則 C.若,,則 D.若,,,則 【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系．G4 G5 【答案解析】D 解析：若,,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確； 若,,，則由直線與平面平行的判定定理得，故B正確； 若,，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確； 若,,，則m與n相交、平行或異面，故D錯誤． 故選：D． 【思路點撥】利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解． 【數學理卷xx屆廣東省陽東一中、廣雅中學高三第一次聯考（xx10）】18.（本小題滿分14分） B1 C1 A1 B C D 如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3， D為AC的中點. (1)求證：AB1//面BDC1； (2）求二面角C1—BD—C的余弦值； (3）在側棱AA1上是否存在點P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結論. 【知識點】直線與平面平行；二面角；直線與平面垂直.G4,G5,G11 【答案解析】略 解析：解：（I）證明：連接B1C，與BC1相交于O，連接OD ∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點. 又D是AC的中點，∴OD//AB1.………………………2分 ∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.………4分 （II）解：如圖，建立空間直角坐標系，則 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）……………………5分 設=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個法向量，則 即.…………………………………………6分 易知=(0，3，0)是面ABC的一個法向量. .……………………………8分 ∴二面角C1—BD—C的余弦值為.…………………………………………9分 （III）假設側棱AA1上存在一點P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.則∴方程組無解.∴假設不成立. ∴側棱AA1上不存在點P，使CP⊥面BDC1.……………………………14分 【思路點撥】由條件可證明直線與平面平行，再建立空間坐標系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量進行說明. 【數學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（xx11）】19．(本小題滿分12分)如圖在圓錐中，已知，⊙O的直徑,是弧A B P O D C 的中點，為的中點． （Ⅰ）證明：平面平面; （Ⅱ）求二面角的余弦值． 【知識點】空間中的垂直關系G5 【答案解析】（Ⅰ）略（Ⅱ） （Ⅰ）連接OC，∵OA=OC，D是AC的中點 ∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O∴AC⊥PO ∵OD、PO是平面POD內的兩條相交直線 ∴AC⊥平面POD，而AC?平面PAC ∴平面POD⊥平面PAC （Ⅱ）在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC所以OH⊥平面PAC， 又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO 在平面PAO中，過O作OG⊥PA于G，連接GH，則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG．故∠OGH為二面角B-PA-C的平面角,在Rt△ODA中，OD=OA?sin45= 在Rt△ODP中，OH= = = 在Rt△OPA中，OG= = = 在Rt△OGH中，sin∠OGH= = 所以cos∠OGH= ==故二面角B-PA-C的余弦值為 【思路點撥】（Ⅰ）連接OC，先根據△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結合PO⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC； （Ⅱ）過O分別作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再連接GH，根據三垂線定理證明∠OGH為二面角B-PA-C的平面角，最后分別在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中計算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值． 【數學理卷xx屆吉林省實驗中學高三上學期第三次質量檢測（xx11）】7．設是兩條不同的直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 A．若,,則 B．若∥,,則∥ C．若,,則 D．若,∥,∥,則 【知識點】空間中的平行關系 空間中的垂直關系G4 G5 【答案解析】D 選項A，若α⊥β，m?α，n?β，則可能m⊥n，m∥n，或m，n異面，故A錯誤；選項B，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n，或m，n異面，故B錯誤； 選項C，若m⊥n，m?α，n?β，則α與β可能相交，也可能平行，故C錯誤； 選項D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正確．故選D 【思路點撥】由α⊥β，m?α，n?β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n異面；由α∥β，m?α，n?β，可得m∥n，或m，n異面；由m⊥n，m?α，n?β，可得α與β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β可得α⊥β． 【數學文卷xx屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（xx11）】19.（本題滿分12分） 如圖，在正三棱柱中，點D在邊BC上，AD⊥C1D. (1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)設E是B1C1上的一點，當的值為多少時，A1E∥平面ADC1？ 請給出證明． 【知識點】面面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明：見解析；（2）當的值為1時，A1E∥平面ADC1， 證明：見解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點， 當,即E為得中點時，平面. 證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點，所以 又,, 四邊形為平行四邊形， 而平面,平面, 故平面. 【思路點撥】（1）根據面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點，所以E為得中點時，有 ，進而得A1E∥平面ADC1. 【數學文卷xx屆浙江省溫州十校（溫州中學等）高三上學期期中聯考（xx11）】20.(本小題滿分14分)）如圖，在三棱柱中，⊥底面，且△ 為正三角形，，為的中點． (1)求證:直線∥平面； (2)求證:平面⊥平面； (3)求三棱錐的體積． 【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．G4 G5 G7 【答案解析】(1)見解析； (2) 見解析；(3) 9 解析：（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．…………1分 ∵D為AC中點，得DO為中位線，∴．…………………………2分 ∴直線AB1∥平面BC1D ………………………4分 （2）證明：∵底面，∴ ……………………………………5分 ∵底面正三角形，D是AC的中點 ∴BD⊥AC …………………………