中考數學《二次函數復習》復習教案.doc

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中考數學《二次函數復習》復習教案 　　二次函數是一類十分重要的最基本的初等函數，也是初中數學的主要內容之一，它在中學數學中起著承上啟下的作用，它與一元二次方程、一元二次不等式知識的綜合運用，是初中代數的重點和難點之一．另外，二次函數在工程技術、商業(yè)、金融以及日常生活中都有著廣泛的應用．通過對二次函數的學習，使我們能進一步理解函數思想和函數方法，提高分析問題、解決問題的能力．正確掌握二次函數的基本性質是學好二次函數的關鍵． 　　1．二次函數的圖像及其性質 　　例1 (1)設拋物線y=2x2，把它向右平移p個單位，或向下移q個單位，都能使得拋物線與直線y=x-4恰好有一個交點，求p，q的值． 　　(2)把拋物線y=2x2向左平移p個單位，向上平移q個單位，則得到的拋物線經過點(1，3)與(4，9)，求p，q的值． 　　(3)把拋物線y=ax2＋bx＋c向左平移三個單位，向下平移兩個單位析式． 　　解 (1)拋物線y=2x2向右平移p個單位后，得到的拋物線為y=2(x-p)2．于是方程 2(x-p)2=x-4 有兩個相同的根，即方程 2x2-(4p+1)x+2p2＋4=0 的判別式 △=(4p+1)2-42(2p2＋4)=0， 　　拋物線y=2x2向下平移q個單位，得到拋物線y=2x2-q．于是方程2x2-q=x-4 有兩個相同的根，即 △=1-42(4-q)=0， 　　(2)把y=2x2向左平移p個單位，向上平移q個單位，得到的拋物線為y=2(x+p)2＋q．于是，由題設得 解得p=-2，q=1，即拋物線向左平移了兩個單位，向上平移了一個單位． 　　　 　　　　 解得h=3，k=2．原二次函數為 　 　　說明 將拋物線y=ax2＋bx＋c向右平移p個單位，得到的拋物線是y=a(x-p)2＋b(x-p)＋c；向左平移p個單位，得到的拋物線是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q個單位，得到y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移q個單位，得到y=ax2＋bx＋c-q． 　　例2 已知拋物線y=ax2＋bx＋c的一段圖像如圖3－7所示． 　 　　(1)確定a，b，c的符號； 　　(2)求a＋b＋c的取值范圍． 　　解 (1)由于拋物線開口向上，所以a＞0．又拋物線經過點(0，-1)， 合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0． 　　(2)記f(x)=ax2＋bx＋c．由圖像及(1)知 　 所以 a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)， -2＜a＋b＋c＜0． 　　例3 已知拋物線y=ax2-(a＋c)x+c(其中a≠c)不經過第二象限． 　　(1)判斷這條拋物線的頂點A(x0，y0)所在的象限，并說明理由； 　　(2)若經過這條拋物線頂點A(x0，y0)的直線y=-x+k與拋物線的另一 　　解 (1)因為若a＞0，則拋物線開口向上，于是拋物線一定經過第二象限，所以當拋物線y=ax2-(a＋c)x+c的圖像不經過第二象限時，必有a＜0．又當x=0時，y=c，即拋物線與y軸的交點為(0，c)．因為拋物線不經過第二象限，所以c≤0．于是 所以頂點A(x0，y0)在第一象限． 　　　 　　　　　　　　　　　 B在直線y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k= -1．又由于直線y=-x-1經過 -2x2+2x．　 　　2．求二次函數的解析式 　　求二次函數y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三個獨立的條件確定三個系數a，b，c．一般地有如下幾種情況： 　　(1)已知拋物線經過三點，此時可把三點坐標代入解析式，得到關于a，b，c的三元一次方程組，解方程組可得系數a，b，c．或者已知拋物線經過兩點，這時把兩點坐標代入解析式，得兩個方程，再利用其他條件可確定a，b，c．或者已知拋物線經過某一點，這時把這點坐標代入解析式，再結合其他條件確定a，b，c． 　　(2)已知拋物線的頂點坐標為(h，k)，這時拋物線可設為 y＝a(x-h)2＋k， 再結合其他條件求出a． 　　(3)已知拋物線與x軸相交于兩點(x1，0)，(x2，0)，此時的拋物線可設為 y=a(x-x1)(x-x2)， 再結合其他條件求出a． 　　例4 設二次函數f(x)=ax2＋bx＋c滿足條件：f(0)=2，f(1)=-1， 　　解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得 即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函數是 y＝ax2-(a＋3)x＋2． 　　由于二次函數的圖像在x軸上所截得的線段長，就是方程ax2-(a＋3)x＋2=0兩根差的絕對值，而這二次方程的兩根為 于是 　 　 　　因此所求的二次函數表達式為 　　例5 設二次函數f(x)=ax2＋bx+c，當x=3時取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長為4，求a，b，c的值． 　　分析 當x=3時，取得最大值10的二次函數可寫成f(x)＝a(x-3)2＋10，且a＜0． 　　解 因為拋物線的對稱軸是x=3，又因為圖像在x軸上截得的線段長是4，所以由對稱性，圖像與x軸交點的橫坐標分別是1，5．因此，二次函數又可寫成 f(x)=a(x-1)(x-5) 的形式，從而 a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5)， 所以 　　 　　 　　例6 如圖3－8，已知二次函數y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的圖像與x軸、y軸都只有一個公共點，分別為點A，B，且AB=2，b＋2ac=0． 　　(1)求二次函數的解析式； 　　(2)若一次函數y=x＋k的圖像過點A，并和二次函數的圖像相交于另一點C，求△ABC的面積． 　　解 (1)因二次函數的圖像與x軸只有一個公共點，故b2-4ac＝0，而b+2ac=0，所以 b2＋2b=0， b=-2(因為b＜0)． 點B的坐標為(0，c)，AB=2，由勾股定理得 所以 1＋a2c2=4a2． 因為ac=1，所以 4a2=2， 　 　 　　 　 練習六 　　1．填空： 　　(1)將拋物線y=2(x-1)2+2向右平移一個單位，再向上平移三個單位，得到的圖像的解析式為______． 　　(2)已知y=x2＋px＋q的圖像與x軸只有一個公共點(-1，0)，則(p，q)=____． 　　(3)已知二次函數y=a(x-h)2＋k的圖像經過原點，最小值為-8，且形 　　(4)二次函數y=ax2＋bx＋c的圖像過點A(-1，0)，B(-3，2)，且它與x軸的兩個交點間的距離為4，則它的解析式為________． 　　(5)已知二次函數y=x2-4x＋m＋8的圖像與一次函數y=kx+1的圖像相交于點(3，4)，則m=___，k=_____． 　　(6)關于自變量x的二次函數y=-x2＋(2m＋2)x-(m2+4m-3)中，m是不小于零的整數，它的圖像與x軸交于點A和點B，點A在原點左邊，點B在原點右邊，則這個二次函數的解析式為____． 　　2．設拋物線y=x2＋2ax＋b與x軸有兩個不同交點． 　　(1)把它沿y軸平移，使所得到的拋物線在x軸上截得的線段的長度是原來的2倍，求所得到的拋物線； 　　(2)通過(1)中所得曲線與x軸的兩個交點，及原來的拋物線的頂點，作一條新的拋物線，求它的解析式． 　　3．已知拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，頂點為C． 　　 　　(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b2-4ac的值； 　　(3)若b2-4ac=12，試判斷△ABC的形狀． 　　4．有兩個關于x的二次函數C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．當把C1沿x軸向左平移一個單位后，所得拋物線的頂點恰與C2的頂點關于x軸對稱，求a，b． 　　5．已知二次函數y＝x2-2bx+b2+c的圖像與直線y=1-x只有一個公共點，并且頂點在二次函數y=ax2(a≠0)的圖像上，求a的取值范圍 7 / 7