許昌市禹州市2015-2016年八年級(jí)上期中數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年河南省許昌市禹州市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：（每小題3分，共24分） 1．在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是( ) A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm 2．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是( ) A．等邊三角形 B．正方形 C．平行四邊形 D．梯形 3．如圖，已知∠B=∠C，則( ) A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．無(wú)法確定∠1和∠2的大小關(guān)系 4．下列四個(gè)圖形中，全等的圖形是( ) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 5．如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A．EC=BD B．EF∥AB C．DF=BD D．AC∥FD 6．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是( ) A． B． C． D． 7．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90，AD=3，BC=5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為( ) A．7.5 B．8 C．15 D．無(wú)法確定 8．如圖，已知：∠MON=30，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為( ) A．6 B．12 C．32 D．64 二、填空題：（每小題3分，共21分） 9．從九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出__________條對(duì)角線，它們將九邊形分成__________個(gè)三角形，九邊形一共有__________條對(duì)角線． 10．一個(gè)等腰但不等邊的三角形，它的角平分線、高、中線的總條數(shù)為_(kāi)_________條． 11．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：__________． 12．在Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC=BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF=5cm，則AE=__________cm． 13．若點(diǎn)M（2，a+3）與點(diǎn)N（2，2a﹣15）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a2+3=__________． 14．等腰三角形有一個(gè)外角是100，那么它的頂角的度數(shù)為_(kāi)_________． 15．如圖，若△ACD的周長(zhǎng)為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=__________cm． 三、解答題：（本大題共8小題，滿分75分） 16．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角的和的2倍還大180，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 17．如圖，在△ABC中，∠A=46，CE是∠ACB的平分線，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，F(xiàn)D∥EC，∠D=42，求∠B的度數(shù)． 18．某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB的邊緣上建一個(gè)休息點(diǎn)M，使它到A，C兩個(gè)點(diǎn)的距離相等．在圖中確定休息點(diǎn)M的位置． 19．如圖，在66的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)格子都是邊長(zhǎng)為1的正方形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． （1）畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱和四邊形A′B′C′D′（點(diǎn)A、B、C、D的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)A′B′C′D′． （2）求A、B′、B、C四點(diǎn)組成和四邊形的面積． 20．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P． （1）求證：PB=PC； （2）你發(fā)現(xiàn)圖中還有其他相等的線段是__________． 21．如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC， 求證：AD是∠BAC的平分線． 22．如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF． 23．如圖，點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA． （1）求∠EDC的度數(shù)； （2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD．  2015-2016學(xué)年河南省許昌市禹州市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：（每小題3分，共24分） 1．在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是( ) A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】易得第三邊的取值范圍，看選項(xiàng)中哪個(gè)在范圍內(nèi)即可． 【解答】解：設(shè)第三邊為c，則9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和． 2．下列圖形中具有穩(wěn)定性的是( ) A．等邊三角形 B．正方形 C．平行四邊形 D．梯形 【考點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性． 【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答． 【解答】解：等邊三角形，正方形，平行四邊形，梯形中只有等邊三角形具有穩(wěn)定性． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，是基礎(chǔ)題，需熟記． 3．如圖，已知∠B=∠C，則( ) A．∠1＞∠2 B．∠1=∠2 C．∠1＜∠2 D．無(wú)法確定∠1和∠2的大小關(guān)系 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角． 【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、對(duì)頂角相等解答即可． 【解答】解：∵∠1=∠3+∠C，∠2=∠4+∠B，又∠B=∠C，∠3=∠4， ∴∠1=∠2， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵． 4．下列四個(gè)圖形中，全等的圖形是( ) A．①和② B．①和③ C．②和③ D．③和④ 【考點(diǎn)】全等圖形． 【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案． 【解答】解：③和④可以完全重合，因此全等的圖形是③和④． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等圖形的概念． 5．如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A．EC=BD B．EF∥AB C．DF=BD D．AC∥FD 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF=AC，∠E=∠B，∠EDF=∠ACB，F(xiàn)D=AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC=BD，即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△EFD， ∴DF=AC，∠E=∠B，∠EDF=∠ACB，ED=BC； ∴EF∥AB，AC∥DF，F(xiàn)D﹣CD=BC﹣DC， ∴EC=BD，故選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等． 6．下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤； B、是軸對(duì)稱圖形，故B正確； C、不是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤； D、不是軸對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 7．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90，AD=3，BC=5，對(duì)角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為( ) A．7.5 B．8 C．15 D．無(wú)法確定 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用角平分的性質(zhì)得到DE=AD=3，然后由三角形的面積公式來(lái)求△BCD的面積． 【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E． ∵∠A=90， ∴AD⊥AB． ∴AD=DE=3． 又∵BC=5， ∴S△BCD=BC?DE=53=7.5． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 8．如圖，已知：∠MON=30，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為( ) A．6 B．12 C．32 D．64 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60， ∴∠2=120， ∵∠MON=30， ∴∠1=180﹣120﹣30=30， 又∵∠3=60， ∴∠5=180﹣60﹣30=90， ∵∠MON=∠1=30， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形， ∴∠11=∠10=60，∠13=60， ∵∠4=∠12=60， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30，∠5=∠8=90， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此類推：A6B6=32B1A2=32． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵． 二、填空題：（每小題3分，共21分） 9．從九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出6條對(duì)角線，它們將九邊形分成7個(gè)三角形，九邊形一共有27條對(duì)角線． 【考點(diǎn)】多邊形的對(duì)角線． 【分析】根據(jù)題意，由多邊形的性質(zhì)，分析可得答案． 【解答】解：從九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以向與這個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的6個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，即能引出6條對(duì)角線， 它們將九邊形分成7個(gè)三角形， 則九邊形一共有=27條對(duì)角線． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出（n﹣3）條對(duì)角線，一共有條對(duì)角線，經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n﹣2）個(gè)三角形．這些規(guī)律需要學(xué)生牢記． 10．一個(gè)等腰但不等邊的三角形，它的角平分線、高、中線的總條數(shù)為7條． 【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可得到答案． 【解答】解：等腰但不等邊的三角形底邊上的角平分線、中線、高線三線重合成一條；腰上的三條線不重合，因而共有7條線， 故答案為：7 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的三線合一的性質(zhì)．做題時(shí)，注意題目的已知：等腰但不等邊，如只說(shuō)等腰三角形，就要進(jìn)行討論． 11．如圖，已知AD是△ABC的角平分線，在不添加任何輔助線的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一個(gè)條件是：AE=AF或∠EDA=∠FDA． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【專題】開(kāi)放型． 【分析】要證兩三角形全等的判定，已經(jīng)有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一對(duì)邊或一對(duì)角相等即可得證． 【解答】解：①添加條件：AE=AF， 證明：在△AED與△AFD中， ∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）， ②添加條件：∠EDA=∠FDA， 證明：在△AED與△AFD中， ∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）． 故答案為：AE=AF或∠EDA=∠FDA． 【點(diǎn)評(píng)】本題是開(kāi)放性題目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合題意即可． 全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 12．在Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC=BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF=5cm，則AE=3cm． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ECF=∠B，然后利用“角邊角”證明△ABC和△FCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=EF，再根據(jù)AE=AC﹣CE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB=90， ∴∠ECF+∠BCD=90， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90， ∴∠ECF=∠B（等角的余角相等）， 在△FCE和△ABC中，， ∴△ABC≌△FEC（ASA）， ∴AC=EF， ∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm， ∴AE=5﹣2=3cm． 故答案為：3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明得到∠ECF=∠B是解題的關(guān)鍵． 13．若點(diǎn)M（2，a+3）與點(diǎn)N（2，2a﹣15）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a2+3=19． 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得a+3+2a﹣15=0，再解方程即可． 【解答】解：∵點(diǎn)M（2，a+3）與點(diǎn)N（2，2a﹣15）關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴a+3+2a﹣15=0， 解得：a=4， ∴a2+3=19， 故答案為：19． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律． 14．等腰三角形有一個(gè)外角是100，那么它的頂角的度數(shù)為80或20． 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，已知等腰三角形有一個(gè)外角為100，可知道三角形的一個(gè)內(nèi)角．但沒(méi)有明確是頂角還是底角，所以要根據(jù)情況討論頂角的度數(shù)． 【解答】解：等腰三角形有一個(gè)外角是100即是已知一個(gè)角是80度，這個(gè)角可能是頂角，也可能是底角， 當(dāng)是底角時(shí)，頂角是180﹣80﹣80=20，因而頂角的度數(shù)為80或20． 故填80或20． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵． 15．如圖，若△ACD的周長(zhǎng)為7cm，DE為AB邊的垂直平分線，則AC+BC=7cm． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由已知條件，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，進(jìn)行等量代換后可得答案． 【解答】解：∵DE為AB邊的垂直平分線 ∴DA=DB ∵△ACD的周長(zhǎng)為7cm ∴AD+AC+CD=AC+BC=7． 故填7． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)；利用垂直平分線的性質(zhì)后進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵． 三、解答題：（本大題共8小題，滿分75分） 16．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角的和的2倍還大180，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180與外角和定理列出方程，求解即可． 【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n， 根據(jù)題意，得（n﹣2）180=2360+180， 解得n=7． 故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是360，與邊數(shù)無(wú)關(guān)． 17．如圖，在△ABC中，∠A=46，CE是∠ACB的平分線，點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，F(xiàn)D∥EC，∠D=42，求∠B的度數(shù)． 【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCE的度數(shù)，進(jìn)而利用角平分線的定義解答即可． 【解答】解：∵FD∥EC，∠D=42， ∴∠BCE=∠D=42， ∵CE是∠ACB的平分線， ∴∠ACB=2∠BCE=84， ∵∠A=46， ∴∠B=180﹣84﹣46=50． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCE的度數(shù)． 18．某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB的邊緣上建一個(gè)休息點(diǎn)M，使它到A，C兩個(gè)點(diǎn)的距離相等．在圖中確定休息點(diǎn)M的位置． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖． 【專題】作圖題． 【分析】作AC的垂直平分線交AB于M，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC，則點(diǎn)M滿足條件． 【解答】解：作AC的垂直平分線交AB于M點(diǎn)， 則點(diǎn)M為所求． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等． 19．如圖，在66的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，每個(gè)格子都是邊長(zhǎng)為1的正方形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系． （1）畫(huà)出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱和四邊形A′B′C′D′（點(diǎn)A、B、C、D的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)A′B′C′D′． （2）求A、B′、B、C四點(diǎn)組成和四邊形的面積． 【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C、D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′、C′、D′，然后順次連接即可； （2）利用四邊形所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：（1）四邊形A′B′C′D′如圖所示； （2）四邊形AB′BC的面積=52﹣22﹣11﹣13， =10﹣2﹣﹣， =10﹣4， =6． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵． 20．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P． （1）求證：PB=PC； （2）你發(fā)現(xiàn)圖中還有其他相等的線段是BF=CE，PE=PF，BE=CF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）利用AAS得到三角形ABF與三角形ACE全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABF=∠ACE，由AB=AC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)得到∠PBC=∠PCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證； （2）由（1）的結(jié)論得到BF=CE，PE=PF，BE=CF． 【解答】（1）證明：在△ABF和△ACE中， ， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴∠ABF=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB ∴∠ABC﹣∠ABF=∠ACB﹣∠ACE， 即∠PBC=∠PCB， ∴PB=PC． （2）解：圖中相等的線段為BF=CE，PE=PF，BE=CF． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 21．如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC， 求證：AD是∠BAC的平分線． 【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；垂線；直角三角形全等的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，進(jìn)而得出DE=DF，由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線． 【解答】證明：∵DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F， ∴∠BED=∠CFD， ∴△BDE與△CDF是直角三角形， ∵， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF， ∴DE=DF， ∴AD是∠BAC的平分線． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解答此題的關(guān)鍵． 22．如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求證：△ADE≌△CBF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠AED=∠CFB，進(jìn)而得出DE=BF，利用SAS得出即可． 【解答】證明：∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB， ∵DF=BE， ∴DF+EF=BE+EF， 即DE=BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，利用兩邊且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等得出三角形全等是解題關(guān)鍵． 23．如圖，點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA． （1）求∠EDC的度數(shù)； （2）若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM，求證：ME=BD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】（1）證明△ACD≌△BCD即可解題； （2）連接CM，先證明CM=CD，即可證明△BCD≌△ECM，即可解題． 【解答】（1）解：∵AC=BC，∠CAD=∠CBD， ∴∠DAB=∠DBA， ∴AD=BD， 在△ACD和△BCD中， ， ∴△ACD≌△BCD（SAS）， ∴∠ACD=∠BCD=45， ∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=60； （2）證明：連接CM， ∵DC=DM，∠CDE=60， ∴△DMC為等邊三角形， ∴∠MCE=45， ∴CM=CD， 在△BCD和△ECM中， ， ∴△BCD≌△ECM（SAS）， ∴ME=BD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及等腰直角三角形，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難易程度適中，是一道很典型的題目．