2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專(zhuān)題四 數(shù)列 推理與證明 第4講 推理與證明試題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專(zhuān)題四 數(shù)列 推理與證明 第4講 推理與證明試題1(xx湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A77 B49 C45 D302(xx北京)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()A2人 B3人C4人 D5人3(xx山東)觀察下列各式：C40；CC41; CCC42；CCCC43；照此規(guī)律，當(dāng)nN*時(shí)，C C C C_.4(xx福建)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1,2，n)稱為第k位碼元二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)已知某種二元碼x1x2x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為000,011,101,110.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于_1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類(lèi)比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.熱點(diǎn)一歸納推理(1)歸納推理是由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理(2)歸納推理的思維過(guò)程如下：例1(1)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.(2)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，則有_思維升華歸納遞推思想在解決問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手，通過(guò)觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想跟蹤演練1(1)有菱形紋的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A26 B31 C32 D36(2)兩旅客坐火車(chē)外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車(chē)上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()A48,49 B62,63 C75,76 D84,85熱點(diǎn)二類(lèi)比推理(1)類(lèi)比推理是由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理(2)類(lèi)比推理的思維過(guò)程如下：例2(1)在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間幾何可以得到類(lèi)似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則_.(2)(xx日照高三第一次模擬考試)已知雙曲正弦函數(shù)sh x和雙曲余弦函數(shù)ch x與我們學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì)，請(qǐng)類(lèi)比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫(xiě)出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)類(lèi)似的正確結(jié)論_思維升華類(lèi)比推理是合情推理中的一類(lèi)重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類(lèi)事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類(lèi)比遷移的客觀因素，類(lèi)比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比，也可以由解題方法上的類(lèi)似引起當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類(lèi)比跟蹤演練2(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類(lèi)比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()AdnBdnCdn Ddn(2)若點(diǎn)P0(x0，y0)在橢圓1(ab0)外，過(guò)點(diǎn)P0作該橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為1.那么對(duì)于雙曲線1(a0，b0)，類(lèi)似地，可以得到切點(diǎn)弦所在直線的方程為_(kāi)熱點(diǎn)三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч?，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法例3已知數(shù)列an滿足：a1，anan11)，證明：方程f(x)0沒(méi)有負(fù)根熱點(diǎn)四數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論成立，證明nk1時(shí)結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對(duì)任意nn0，且nN*時(shí)，結(jié)論都成立例4已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)當(dāng)n1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大?。?2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)難點(diǎn)在于尋求等式在nk和nk1時(shí)的聯(lián)系跟蹤演練4設(shè)a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫(xiě)出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論1把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表設(shè)aij(i，jN*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a428.若aij2 011，則i與j的和為_(kāi)2已知下列不等式：x2，x3，x4，則第n個(gè)不等式為_(kāi)3設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列提醒：完成作業(yè)專(zhuān)題四第4講二輪專(zhuān)題強(qiáng)化練專(zhuān)題四 第4講推理與證明A組專(zhuān)題通關(guān)1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D1992觀察下列事實(shí)：|x|y|1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|y|2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|y|3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，則|x|y|20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A76 B80 C86 D923(xx合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確4下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD以上均不正確5已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列an是等差數(shù)列，a30，則f(a1)f(a3)f(a5)的值()A恒為正數(shù) B恒為負(fù)數(shù)C恒為0 D可正可負(fù)6(xx山東)定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)，當(dāng)x0，y0時(shí)，xy(2y)x的最小值為_(kāi)7平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為_(kāi)8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_9某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論10已知a，b，m為非零實(shí)數(shù)，且a2b22m0，12m0.(1)求證：；(2)求證：m.B組能力提高11(xx西安五校聯(lián)考)已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)12對(duì)大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59，則m的值為_(kāi)13在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按下圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類(lèi)比得到的結(jié)論是_14蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式(不要求證明)；(2)證明：(n2，nN*)解析(1)由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.(2)由題意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)跟蹤演練1(1)B(2)D解析(1)有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123個(gè)數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是65(61)31.故選B.(2)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件例2(1)(2)ch(xy)ch xch ysh xsh y解析(1)平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，所以.(2)ch xch ysh xsh y(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.跟蹤演練2(1)D(2)1解析(1)由an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則bna1d，又正項(xiàng)數(shù)列cn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則dnc1，故選D.(2)設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過(guò)點(diǎn)P1，P2的切線的方程分別為1，1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，所以1，1，這說(shuō)明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線1上，故切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程為1.例3(1)解已知化為，而1a，所以數(shù)列1a是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則1an1，則a1n1，由anan10，知數(shù)列an的項(xiàng)正負(fù)相間出現(xiàn)，因此an(1)n1，bnaann1n1.(2)證明假設(shè)存在某三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整數(shù)，可設(shè)mnp，而bnn1隨n的增大而減小，那么只能有2bnbmbp，可得2n1m1p1，則2nm1pm.當(dāng)nm2時(shí)，2nm22，上式不可能成立，則只能有nm1，此時(shí)等式為1pm，即pm，那么pmlog，左邊為正整數(shù)，右邊為無(wú)理數(shù)，不可能相等所以假設(shè)不成立，那么數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列跟蹤演練3證明(1)要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)根，則x00，且x01，a，所以0a 101，解得x02，這與x00矛盾，故方程f(x)0沒(méi)有負(fù)根例4解(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；當(dāng)n2時(shí)，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；當(dāng)n3時(shí)，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)，猜想f(n)g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk(k3)時(shí)不等式成立，即1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k).因?yàn)?，所以f(k1)g(k1)由可知，對(duì)一切nN*，都有f(n)g(n)成立跟蹤演練4(1)解a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說(shuō)明，nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任何nN*，都有an.高考押題精練1108解析由三角形數(shù)表的排列規(guī)律知，aij2 011，則i必為奇數(shù)設(shè)i2m1.在第i行上面，必有m行為奇數(shù)行，m行為偶數(shù)行在前2m行中，共有奇數(shù)m2個(gè)最大的奇數(shù)為1(m21)22m21，由2m210，所以a1a5.由于f(x)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，所以f(a1)f(a5)f(a5)f(a5)0，又f(a3)0，所以f(a1)f(a3)f(a5)0.故選A.6.解析由題意，得xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)7f(n)解析1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域8.解析由題意知，凸函數(shù)滿足f()，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sin Asin Bsin C3sin3sin.9解方法一(1)選擇式，計(jì)算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.10證明(1)(分析法)要證成立，只需證()(a2b2)9，即證149，即證4.根據(jù)基本不等式，有24成立，所以原不等式成立(2)(綜合法)因?yàn)閍2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因?yàn)閍2b2m20.所以m2，故m1舍去，所以m.11B依題意，就每組整數(shù)對(duì)的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對(duì)的和為n1，且每組共有n個(gè)整數(shù)時(shí)，這樣的前n組一共有個(gè)整數(shù)，注意到60，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組(每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組)的第5個(gè)位置，結(jié)合題意可知每對(duì)整數(shù)對(duì)的和為12的組中的各數(shù)對(duì)依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)是(5,7)128解析由已知可觀察出m3可分裂為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)，最小的一個(gè)為(m1)m1.當(dāng)m8時(shí)，最小的數(shù)為57，第二個(gè)便是59.m8.13SSSS解析將側(cè)面面積類(lèi)比為直角三角形的直角邊，截面面積類(lèi)比為直角三角形的斜邊，可得SSSS.14(1)解f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，當(dāng)n2時(shí)，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.(2)證明當(dāng)k2時(shí)，()所以1(1)()()1(1)1.