2019-2020年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含答案(VIII).doc

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2019-2020年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含答案(VIII) 一、填空題（本大題滿分36分，共12小題，每小題滿分3分） 1．直線的傾斜角為，則的值是___________. 2．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為 . 3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 . 4．已知直線與圓相切，則的值為__ ___. 5．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為__ ____. 6．若直線經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線的夾角為300，則直線方程為___________________. 7．過點(diǎn)且方向向量為的直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為__________. 8．已知點(diǎn)P是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，O是原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積的最大值是_________. 9．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為__________. 10．雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，，P在雙曲線上 ，且滿足：，則的面積是 . 11．若點(diǎn)在直線上的射影是,則的軌跡方程 是 . 12．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，PQ的中點(diǎn)為，且,則的取值范圍是 . 二、選擇題（本大題滿分12分，共4小題，每小題滿分3分） 13．設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的”（ ） （A）充分不必要條件 （B） 必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 14．與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)（2，2）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 15．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線 的方程為，則曲線C上到直線 的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 16. 已知曲線：（），下列敘述中正確的是（ ） （A）垂直于軸的直線與曲線存在兩個(gè)交點(diǎn) （B）直線（）與曲線最多有三個(gè)交點(diǎn) （C）曲線關(guān)于直線對(duì)稱 （D）若為曲線上任意兩點(diǎn)，則有 三、解答題（本大題滿分52分） 17．（本題滿分6分） 求以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 18．（本題滿分10分，第（1）小題4分，第（2）小題6分） 設(shè)是方程的一個(gè)根． （1）求；（2）設(shè)（其中為虛數(shù)單位，），若的共軛復(fù)數(shù)滿足，求. 19．（本題滿分10分，第（1）小題4分，第（2）小題6分） 如圖, 直線y=x與拋物線y=x2－4交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值. 20．（本題滿分12分） 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向的海面P處，并以的速度向西偏北方向移動(dòng). 臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為,并以的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ 21．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題4分） 橢圓和橢圓滿足橢圓，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m稱為其相似比． （1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相似的橢圓方程； （2）設(shè)過原點(diǎn)的一條射線L分別與（1）中的兩個(gè)橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在線段OB上），求的最大值和最小值； （3）對(duì)于真命題“過原點(diǎn)的一條射線分別與相似比為2的兩個(gè)橢圓和交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若,,成等比數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為”。請(qǐng)用推廣或類比的方法提出類似的一個(gè)真命題，不必證明. 參考答案 一、填空題（本大題滿分36分，共12小題，每小題滿分3分） 1．直線的傾斜角為，則的值是___________3 2．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為 6 3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 4．已知直線與圓相切，則的值為_____或-18 5．已知方程表示橢圓，則的取值范圍為______ 6．若直線經(jīng)過原點(diǎn)，且與直線的夾角為300，則直線方程為___________________或 7．過點(diǎn)且方向向量為的直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為__________ 8．已知點(diǎn)P是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，O是原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積的最大值是_________． 9．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為__________ 10．雙曲線的焦點(diǎn)為F1、F2，，P在雙曲線上 ，且滿足：，則的面積是 1 11．若點(diǎn)在直線上的射影是,則的軌跡方程 是 12．已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，PQ的中點(diǎn)為，且,則的取值范圍是 。 二、選擇題（本大題滿分12分，共4小題，每小題滿分3分） 13．設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的”（ B ） （A）充分不必要條件 （B） 必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 14．與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)（2，2）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為（ B ） （A） （B） （C） （B） 15．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線 的方程為，則曲線C上到直線 的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( B ) （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 16. 已知曲線：（），下列敘述中正確的是 ( B ) （A）垂直于軸的直線與曲線存在兩個(gè)交點(diǎn) （B） 直線（）與曲線最多有三個(gè)交點(diǎn) （C）曲線關(guān)于直線對(duì)稱 （D）若為曲線上任意兩點(diǎn)，則有 三、解答題（52分） 17.（6分）求以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：拋物線的焦點(diǎn)F(1,0) ……2分 因?yàn)閳A過原點(diǎn)，所以半徑R=1 ……4分 所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……6分 18.（10分）設(shè)是方程的一個(gè)根． （1）求； （2）設(shè)（其中為虛數(shù)單位，），若的共軛復(fù)數(shù)滿足，求． 解 （1） 因?yàn)?，所以或? ……4分 （2）由，得，． ……8分 當(dāng)時(shí)，； ……10分 當(dāng)時(shí)，． 19.（10分）如圖, 直線y=x與拋物線y=x2－4交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方 (含A、B) 的動(dòng)點(diǎn)時(shí), 求ΔOPQ面積的最大值。 解：(1)解方程組得 A(-4,-2),B(8,4). 從而AB的中點(diǎn)為M(2,1). 直線AB的垂直平分線方程為 令y=-5,得x=5. ∴Q(5,-5). ……4分 (2)直線OQ的方程為 設(shè). ∵點(diǎn)P到直線OQ的距離 ∴當(dāng)x=8時(shí),△OPQ的面積取到最大值30. ……10分 20.（12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動(dòng). 臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km,并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？ 解：以海濱城市o為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)臺(tái)風(fēng)中心則 ……4分 臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是 ……8分 將（0，0）點(diǎn)代人得： 解得 答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)氣侵襲． ……12分 21.（14分）橢圓和橢圓滿足橢圓，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m稱為其相似比。 （1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓相似的橢圓方程； （2）設(shè)過原點(diǎn)的一條射線L分別與（1）中的兩個(gè)橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在線段OB上），求的最大值和最小值； （3）對(duì)于真命題“過原點(diǎn)的一條射線分別與相似比為2的兩個(gè)橢圓和交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上的一點(diǎn)，若,,成等比數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為”。請(qǐng)用推廣或類比的方法提出類似的一個(gè)真命題，不必證明。 解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為，則有解得 ∴所要求的橢圓方程為 ……4分 （2）①當(dāng)射線與y軸重合時(shí)， ②當(dāng)射線不與y軸重合時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形． 設(shè)其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） 由解得 所以 由解得 所以 + 令， 在上是增函數(shù)，∴， 即 由①②知，的最大值為， 的最小值為． ……10分 （3）本題根據(jù)學(xué)生提出和解決問題的質(zhì)量評(píng)分 ……14分