2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊六 排列組合問題的常見模型2完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊六 排列組合問題的常見模型2完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1．基本計數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理． 分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素） 排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示． 排列數(shù)公式：，，并且． 全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合． 組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對于較復(fù)雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有． 7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！ 8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題． 1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復(fù)和遺漏；最后列出式子計算作答． 2．具體的解題策略有： ①對特殊元素進行優(yōu)先安排； ②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏； ③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)； ④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理； ⑥對于正面考慮太復(fù)雜的問題，可以考慮反面． ⑦對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型． 典例分析 分堆問題 【例1】 本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？ ⑴ 一堆一本，一堆兩本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得兩本，丙得三本； ⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分給甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【例2】 有6本不同的書 ⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？ ⑵分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？ ⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？ ⑷分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ ⑸分給甲1本、乙1本、丙4本，有多少種不同的分配方法？ ⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？ ⑺擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？ 【例3】 七個人參加義務(wù)勞動，按下列方法分組有多少種不同的分法？ ⑴選出5個人再分成兩組，一組2人，另一組3人； ⑵選出6個人，分成兩組，每組都是3人； ⑶選出2人一組、3人一組，輪流挖土、運土． 【例4】 將名大學(xué)生分配到個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）． 【例5】 把一同排6張座位編號為的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是 （ ） A． B． C． D． 【例6】 現(xiàn)有3輛公交車、3 位司機和3位售票員，每輛車上需配1位司機和1位售票員，問車輛、司機、售票員搭配方案一共有多少種？ 【例7】 3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有（ ） A．90種 B．180種 C．270種 D．540種 【例8】 將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（ ） A． 540 B． 300 C． 180 D． 150 【例9】 某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有 種．（用數(shù)字作答） 染色問題 【例10】 如圖，正五邊形中，若把頂點A、B、C、D、E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法有（ ） A． 30種 B． 27種 C． 24種 D． 21種 【例11】 將填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有____________． 【例12】 將填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例13】 用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的、、、四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數(shù)為（ ）． A． B． C． D． 【例14】 將個和個共個字母填在如圖所示的個小方格內(nèi)，每個小方格內(nèi)至多填個字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法共有__________種（用數(shù)字作答）． 【例15】 如圖所示、、、、為個區(qū)域，現(xiàn)備有種顏色為個區(qū)域涂色，涂色要求：每相鄰兩個區(qū)域不同色，每個區(qū)域只涂一色，共有多少種不同的涂色方法？ 【例16】 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）． 【例17】 如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色．要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）． 錯位排列 【例18】 編號為的五人入座編號也為的五個座位，至多有人對號的坐法有______種． 【例19】 7個人到7個地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，問：共有多少種旅游方案? 【例20】 7個人到7個地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，問：共有多少種旅游方案? 【例21】 7個人到7個地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，問：共有多少種旅游方案?