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2019-2020年高考數學復習解決方案 真題與模擬單元重組卷 全書 理
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個選項符合題意)
1．[xx全國卷Ⅰ]設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由題意得，A＝{x|1
－2”是“函數f(x)＝|x－a|在(－∞，1]上單調遞減”的( )
A．充分不必要條件 B.必要不充分條件
C．充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 B
解析 因為“函數f(x)＝|x－a|在(－∞，1]上單調遞減”?a≥1，所以“a>－2”是“函數f(x)＝|x－a|在(－∞，1]上單調遞減”的必要不充分條件，故選B.
8．[xx濟南調研]已知命題p：?x0∈R，使sinx0＝；命題q：?x∈，x>sinx，則下列判斷正確的是( )
A．p為真 B.綈p為真
C．p∧q為真 D.p∨q為假
答案 B
解析 由三角函數y＝sinx的有界性，－1≤sinx0≤1，所以p假；對于q，構造函數y＝x－sinx，求導得y′＝1－cosx，又x∈，所以y′>0，y為單調遞增函數，有y>y|x＝0＝0恒成立，即?x∈，x>sinx，所以q真．判斷可知，B正確．
9．[xx四川高考]設p：實數x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數x，y滿足則p是q的( )
A．必要不充分條件 B.充分不必要條件
C．充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 作出(x－1)2＋(y－1)2≤2表示區(qū)域D，不等式組
表示的區(qū)域E，如圖所示，因為E?D，所以p是q的必要不充分條件，選A.
10．[xx河西五市二聯(lián)]下列說法正確的是( )
A．命題“?x∈R，ex>0”的否定是“?x∈R，ex>0”
B．命題“已知x，y∈R，若x＋y≠3，則x≠2或y≠1”是真命題
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”?“(x2＋2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立”
D．命題“若a＝－1，則函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點”的逆命題為真命題
答案 B
解析 A項，應為“?x∈R，ex≤0”，故A錯誤；B項，其逆否命題是“若x＝2且y＝1，則x＋y＝3”，為真命題，故原命題為真命題，故B正確；C項，應為“(x2＋2x－ax)min≥0在[1,2]上恒成立”，故C錯誤；D項，函數f(x)＝ax2＋2x－1只有一個零點等價于a＝0或?a＝－1，故D錯誤，選B.
11．[xx石家莊聯(lián)考]已知命題p：“?x∈R，使得ex≤2x＋a”為假命題，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，2－2ln 2) B.(－∞，2－2ln 2]
C．(2－2ln 2，＋∞) D.[2－2ln 2，＋∞)
答案 A
解析 命題p是一個特稱命題，故綈p是一個全稱命題．由題意，可知綈p：“?x∈R，使得ex>2x＋a”為真命題，即ex－2x－a>0恒成立．設f(x)＝ex－2x－a，則f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，即ex－2＝0，解得x＝ln 2.所以當x∈(－∞，ln 2)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當x∈(ln 2，＋∞)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．所以當x＝ln 2時，函數f(x)取得最小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2－a＝2－2ln 2－a.由不等式ex－2x－a>0恒成立可得2－2ln 2－a>0，所以a<2－2ln 2.所以a的取值范圍是(－∞，2－2ln 2)．故選A.
12．[xx北京模擬]某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種．設該網店第一天售出但第二天未售出的商品有m種，這三天售出的商品最少有n種，則m，n分別為( )
A．18,30 B.16,28
C．17,29 D.16,29
答案 D
解析
設第一天售出的商品為集合A，則A中有19個元素，第二天售出的商品為集合B，則B中有13個元素，第三天售出的商品為集合C，則C中有18個元素．由于前兩天都售出的商品有3種，則A∩B中有3個元素，后兩天都售出的商品有4種，則B∩C中有4個元素，所以該網店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16種．這三天售出的商品種數最少時，第一天和第三天售出的種類重合最多，由于前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，故第一天和第三天都售出的商品可以有17種，即A∩C中有17個元素，如圖，即這三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29種．
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．[xx湖南郴州三模]命題“實數的平方都是正數”的否定是________________________．
答案 至少有一個實數的平方不是正數
解析 全稱命題的否定一定是特稱命題．“實數的平方都是正數”是全稱命題，只是省略了“所有”兩字．
14．[xx山西四校聯(lián)考]已知命題p：x2－5x＋4≤0；命題q：<1，若(綈q)∧p是真命題，則x取值范圍是________．
答案 [2,3]
解析 若p真，則1≤x≤4；若q真，則x<2或x>3.
∵(綈q)∧p為真，∴∴2≤x≤3.
15．[xx滄州質檢]設集合Sn＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X?Sn把X的所有元素的乘積稱為X的容量(若X中只有一個元素，則該元素的數值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為0)．若X的容量為奇(偶)數，則稱X為Sn的奇(偶)子集．若n＝4，則Sn的所有奇子集的容量之和為________．
答案 7
解析 若n＝4，則Sn的所有奇子集為{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和為7.
16．[xx山西質檢]已知集合M＝{(x，y)|y＝}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，且M∩N＝?，則b的取值范圍是________．
答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析 如圖，y＝的圖象是半圓，當直線y＝x＋b與半圓無公共點時，截距b＞3或b＜－3，故b的取值范圍是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
三、解答題(共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．[xx江西宜春月考](本小題滿分10分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范圍；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范圍．
解 (1)要使A∩B＝?，
則需滿足下列不等式組(3分)
解此不等式組得－1≤a≤2，
即a的取值范圍是[－1,2]．(5分)
(2)要使A∪B＝B，即A是B的子集，(6分)
則需滿足a＋3＜－1或a＞5，(8分)
解得a＞5或a＜－4，
即a的取值范圍是{a|a＞5或a＜－4}．(10分)
18．[xx山東煙臺月考](本小題滿分12分)已知p：
2≤4，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要非充分條件，求實數m的取值范圍．
解 綈p：2＞4，x＜－2或x＞10，設A＝{x|x＜－2或x＞10}，(3分)
綈q：x2－2x＋1－m2＞0，x＜1－m或x＞1＋m，設B＝{x|x＜1－m或x＞1＋m}．(6分)
因為綈p是綈q的必要非充分條件，所以B?A且B≠A，
(8分)
即(等號不同時成立)，(11分)
∴m≥9.(12分)
19．[xx龍巖月考](本小題滿分12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0}，m∈R.
(1)若m＝3，求A∩B；
(2)已知命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數m的取值范圍．
解 (1)由題意知，A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3}．(4分)
當m＝3時，B＝{x|0≤x≤6}，∴A∩B＝[0,3]．(5分)
(2)由q是p的必要條件知，A?B，(7分)
結合(1)知解得0≤m≤2，(10分)
故實數m的取值范圍是[0,2]．(12分)
20．[xx廣東佛山一中模擬](本小題滿分12分)已知集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0，x∈R}，且A∩{x|x≥0}＝?，求實數a的取值范圍．
解 當a＝0時，
A＝{x|x＋1＝0，x∈R}＝{－1}，
此時A∩{x|x≥0}＝?；(3分)
當a≠0時，
∵A∩{x|x≥0}＝?，
∴A＝?或關于x的方程ax2＋x＋1＝0的根均為負數．(4分)
①當A＝?時，關于x的方程ax2＋x＋1＝0無實數根，
∴Δ＝1－4a＜0，解得a＞.(7分)
②當關于x的方程ax2＋x＋1＝0的根x1，x2均為負數時，
有解得即0＜a≤.(10分)
綜上所述，實數a的取值范圍為{a|a≥0}．(12分)
21．[xx山西太原期中](本小題滿分12分)已知集合A＝{x|(x－1)(x－2a－3)＜0，a∈R}，函數y＝lg(a∈R)的定義域為集合B.
(1)若a＝1，求A∩(?RB)；
(2)若a＞－1且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．
解 (1)若a＝1，則集合A＝{x|(x－1)(x－5)＜0}＝(1,5)，集合B＝＝＝(2,3)，(3分)
所以?RB＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，(4分)
故A∩(?RB)＝(1,2]∪[3,5)．(5分)
(2)因為a＞－1，所以2a＋3＞1，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0?a2＋2＞2a，(7分)
則集合A＝{x|(x－1)(x－2a－3)＜0}＝(1,2a＋3)，
集合B＝＝＝(2a，a2＋2)．(9分)
又“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，所以BA，
則(等號不能同時取得)，解得≤a≤1＋.(11分)
故實數a的取值范圍為.(12分)
22．[xx河南洛陽月考](本小題滿分12分)已知c＞0，設命題p：函數y＝cx為減函數；命題q：當x∈時，f(x)＝x＋＞恒成立．如果p∨q為真，p∧q為假，求c的取值范圍．
解 由p得0＜c＜1.(2分)
由q得＜min＝2，又c＞0，
∴c＞，(4分)
因為p∨q為真，p∧q為假，
所以p和q一真一假．(6分)
即或(10分)
解得0＜c≤或c≥1.
∴c的取值范圍是∪[1，＋∞)．(12分)
重組二 函數
測試時間：120分鐘 滿分：150分
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個選項符合題意)
1．[xx沈陽質檢]下列函數中，在其定義域內是增函數且又是奇函數的是( )
A．y＝2x B.y＝2|x|
C．y＝2x－2－x D.y＝2x＋2－x
答案 C
解析 A雖增卻非奇非偶，B、D是偶函數，由奇偶函數定義可知C是奇函數，由復合函數單調性可知在其定義域內是增函數(或y′＝2xln 2＋2－xln 2>0)，故選C.
2．[xx河北百校聯(lián)考]已知f(x)滿足對?x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且x≥0時，f(x)＝ex＋m(m為常數)，則f(－ln 5)的值為( )
A．4 B.－4
C．6 D.－6
答案 B
解析 由題設函數f(x)是奇函數，故f(0)＝e0＋m＝1＋m＝0，即m＝－1，所以f(－ln 5)＝－f(ln 5)＝－eln 5＋1＝－5＋1＝－4，故應選B.
3．[xx山西聯(lián)考]若函數f(x)＝log0.2(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上遞減，且b＝lg 0.2，c＝20.2，則( )
A．cb，c＝20.2>20＝1，c>a>b.故選D.
4．[xx衡水聯(lián)考]已知奇函數F(x)＝
則F＝( )
A．－ B.
C. D. －
答案 A
解析 因為F(x)＝－F(－x)，log2<0，
所以F＝f＝－F
＝－F(log23)＝－＝1，
F＝F(1)＝－＝－.
5．[xx全國卷Ⅰ]函數y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為( )
答案 D
解析 ∵f(x)＝y(tǒng)＝2x2－e|x|，
∴f(－x)＝2(－x)2－e|－x|＝2x2－e|x|＝f(x)，
∴f(x)為偶函數．
當x＝2時，y＝8－e2∈(0,1)，
故排除A、B.
當x∈[0,2]時，f(x)＝y(tǒng)＝2x2－ex
∴f′(x)＝4x－ex＝0有解，
故函數y＝2x2－e|x|在[0,2]上不是單調的，故排除C，故選D.
6．[xx浙江高考]設函數f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，則f(x)的最小正周期( )
A．與b有關，且與c有關 B.與b有關，但與c無關
C．與b無關，且與c無關 D.與b無關，但與c有關
答案 B
解析 由于f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝＋bsinx＋c.當b＝0時，f(x)的最小正周期為π；當b≠0時，f(x)的最小正周期為2π.c的變化會引起f(x)圖象的上下平移，不會影響其最小正周期．故選B.
7．[xx江西聯(lián)考]已知定義在R上的函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，且f(x＋1)為偶函數，則( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f，f(－2)＝f(4)>f(2)，f(－1)＝f(3)，f(－4)＝f(6)>f(4)，故選B.
8．[xx河南大聯(lián)考]已知函數f＝
，則f＋f＋…＋f＝( )
A．xx B.xx
C．4034 D.4032
答案 D
解析 f＝＝2＋，易知g(x)＝是奇函數，所以f＝2－，即f＋f＝4，令t＝x＋，則－x＋＝－t＋1，所以f(t)＋f(－t＋1)＝4，所以f＋f＋…＋f＝10084＝4032.
9．[xx昆明一中模擬]若關于x的不等式≤k(x＋1)的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a≥2，則實數k的取值范圍為( )
A．[，＋∞) B.
C．(0，] D.(－∞，]
答案 A
解析 令y1＝，y2＝k(x＋1)，其示意圖如圖，A(1,2)，若k>0，要滿足y1≤y2，則b＝3，此時－1f(－)，則a的取值范圍是________．
答案
解析 因為f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增，所以f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減．又f(2|a－1|)>f(－)，f(－)＝f()，故－<2|a－1|<，則|a－1|<，所以0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．
答案 (3，＋∞)
解析 f(x)＝當x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其頂點為(m,4m－m2)；當x≤m時，函數f(x)的圖象與直線x＝m的交點為Q(m，m)．①當即03時，函數f(x)的圖象如圖2所示，則存在實數b滿足4m－m20且a≠1.
(1)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由；
(2)若f＝2，求使f(x)>0成立的x的集合．
解 (1)要使函數有意義，則
解得－10，則log2(x＋1)>log2(1－x)，
∴x＋1>1－x>0，解得08.5>7.125，知L(t)max＝9.125.
所以第5周每件銷售利潤最大，最大值為9.125元．(12分)
20．[xx江蘇徐州模擬](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實數，a≠0，x∈R)．
(1)若函數f(x)的圖象過點(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一個根，求f(x)的解析式；
(2)在(1)的條件下，當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
(3)若F(x)＝當mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且函數f(x)為偶函數時，試判斷F(m)＋F(n)能否大于0?
解 (1)因為f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.
因為方程f(x)＝0有且只有一個根，且a≠0，所以Δ＝b2－4a＝0，(2分)
所以b2－4(b－1)＝0，得b＝2，則a＝1.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.(4分)
(2)因為g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝2＋1－.
所以當≥2或≤－2，(6分)
即k≥6或k≤－2時，g(x)是單調函數．
即實數k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(8分)
(3)F(m)＋F(n)＞0.
因為f(x)為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，所以b＝0，則f(x)＝ax2＋1.(9分)
所以F(x)＝
因為mn＜0，不妨設m＞0，所以n＜0，
又因為m＋n＞0，所以m＞－n＞0，所以|m|＞|－n|.
此時F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)＞0，
所以F(m)＋F(n)＞0.(12分)
21．[xx遼寧六校模擬](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝為偶函數．
(1)求實數a的值；
(2)記集合E＝{y|y＝f(x)，x∈{－1,1,2}}，λ＝lg2 2＋lg 2lg 5＋lg 5－，判斷λ與E的關系；
(3)當x∈(m>0，n>0)時，若函數f(x)的值域為[2－3m,2－3n]，求m，n的值．
解 (1)∵f(x)為偶函數，∴f(x)＝f(－x)，
即＝，
即2(a＋1)x＝0，x∈R且x≠0，∴a＝－1.(4分)
(2)由(1)可知，f(x)＝，
當x＝1時，f(x)＝0；
當x＝2時，f(x)＝；
∴E＝，(6分)
而λ＝lg2 2＋lg 2lg 5＋lg 5－
＝lg2 2＋lg 2(1－lg 2)＋1－lg 2－＝，
∴λ∈E.(8分)
(3)∵f(x)＝＝1－，x∈，
∴f(x)在上單調遞增，
∴∴
即(10分)
∴m，n是方程x2－3x＋1＝0的兩個根，
又由題意可知<，且m>0，n>0，∴m>n.
∴m＝，n＝.(12分)
22．[xx遼寧高三測試](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x2－|ax－2|，x∈[－1,2]，
(1)當a＝6時，求函數f(x)的值域；
(2)設02，
－<－<0，
此時當x∈[－1,2]時，f(x)＝x2＋ax－2在上單調遞減，在上單調遞增，所以g(a)＝f＝－－2；(7分)
②當1≤a≤2時，≥，
－1≤－≤－，
f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，所以g(a)＝f＝－－2；(9分)
③當2f′(x)的解集是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 根據f(0)＝1,3f(x)＝f′(x)－3，導函數與原函數之間沒有用變量x聯(lián)系，可知函數與y＝ex有關，可構造函數為f(x)＝2e3x－1,4f(x)>f′(x)＝3f(x)＋3，即f(x)>3,2e3x－1>3，解得x>，故選B.
3．[xx河北武邑期末]曲線f(x)＝、直線x＝2、x＝3以及x軸所圍成的封閉圖形的面積是( )
A．ln 2 B.ln 3 C．2ln 2 D.ln
答案 D
解析 因f(x)＝－，
故f(x)dx＝dx
＝[ln (x－1)－ln (x＋1)] ＝ln ＝ln －ln ＝ln ，故應選D.
4．[xx江西撫州聯(lián)考]已知函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝的遞減區(qū)間為( )
A．(0,4) B.(－∞，1)，
C. D.(0,1)，(4，＋∞)
答案 D
解析 g′(x)＝＝，令g′(x)<0，即f′(x)－f(x)<0，由圖可得x∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函數單調遞減區(qū)間為(0,1)，(4，＋∞)，故選D.
5．[xx湖北聯(lián)考]已知函數f(x)＝ax2－4ax－ln x，則f(x)在(1,3)上不單調的一個充分不必要條件是( )
A．a∈ B.a∈
C．a∈ D.a∈
答案 D
解析 f′(x)＝2ax－4a－，f(x)在(1,3)上不單調，則f′(x)＝2ax－4a－＝0在(1,3)上有解，此方程可化為2ax2－4ax－1＝0，x1＋x2＝2，因此方程的兩解不可能都大于1，從而它在(1,3)上只有一解，充要條件是(2a－4a－1)(18a－12a－1)<0，a<－或a>，因此D是要求的一個充分不必要條件．故選D.
6．[xx甘肅五市聯(lián)考]函數f(x)＝xecosx(x∈[－π，π])的圖象大致是( )
答案 B
解析 易得f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除A，C；f′(x)＝ecosx＋xecosx(－sinx)＝ecosx(1－xsinx)，顯然存在x0∈(0，π)，使得當x∈(0，x0)時，f′(x)>0，x∈(x0，π)時，f′(x)<0，即f(x)在[0，π]上先增后減，故排除D，故選B.
7．[xx云南師大附中模擬]已知函數f(x)＝(x∈R)，若關于x的方程f(x)－m＋1＝0恰好有3個不相等的實數根，則實數m的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 當x≤0時，f(x)＝為減函數，f(x)min＝f(0)＝0；當x>0時，f(x)＝，f′(x)＝，則x>時，f′(x)<0,00，即f(x)在上遞增，在上遞減，f(x)極大值＝f＝.其大致圖象如圖所示，若關于x的方程f(x)－m＋1＝0恰好有3個不相等的實數根，則01，所以x1＋>2，所以S△PAB的取值范圍是(0,1)，故選A.
9．[xx湖南七校聯(lián)考]若函數f(x)＝
的最大值為f(－1)，則實數a的取值范圍為( )
A．[0,2e2] B.[0,2e3]
C．(0,2e2] D.(0,2e3]
答案 B
解析 當x<0時，f(x)＝x＋＋a＝－＋a≤f(－1)＝a－2；若a<0時，f(x)＝aln x－x2－2在區(qū)間(0，＋∞)上為減函數，且當x→0時，f(x)→＋∞；當a＝0時，f(x)＝－x2－2≤－2恒成立；當a>0時，f′(x)＝－2x＝＝，即函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，則需f≤f(－1)，即aln －－2≤a－2，即aln ≤a，即ln ≤3，解得00)，則a＝，令f(t)＝，則f′(t)＝，當t>3時，f′(t)>0，當00)，顯然k1k2＝＝－1無解，故該函數不具有T性質；對于C選項，f′(x)＝ex>0，顯然k1k2＝ex1ex2＝－1無解，故該函數不具有T性質；對于D選項，f′(x)＝3x2≥0，顯然k1k2＝3x3x＝－1無解，故該函數不具有T性質．故選A.
12．[xx河南八市聯(lián)考]已知函數f(x)＝與函數g(x)＝－2x2－x＋1的圖象有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍為( )
A．[0,1) B.[0,2)∪
C．(0,2)∪ D.[0,2)∪
答案 D
解析
依題意，＝－2x2－x＋1?mex＝－4x2－2x＋2?m＝，故問題轉化為函數y＝m的圖象與函數h(x)＝的圖象有兩個交點，h′(x)＝，故函數h(x)在和(2，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減，且當x→＋∞時，h(x)→0，h＝2，h(2)＝－，作出函數h(x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知，當函數f(x)＝與函數g(x)＝－2x2－x＋1的圖象有兩個不同的交點時，實數m∈[0,2)∪，故選D.
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．[xx沈陽質檢]函數f(x)＝2x－ln x的單調遞增區(qū)間是________．
答案 (寫成也給分)
解析 函數f(x)＝2x－ln x的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2－≥0，即x≥，所以函數f(x)＝2x－ln x的單調遞增區(qū)間為.
14．[xx長春質檢]設函數f(x)＝1－ex的圖象與x軸的交點為P，則曲線在點P處的切線方程為________．
答案 y＝－x
解析 由題意P(0,0)，f′(x)＝－ex，f′(0)＝－1，從而曲線在點P處的切線方程為y＝－x.
15．[xx北京高考改編]設函數f(x)＝若f(x)無最大值，則實數a的取值范圍是________．
答案 (－∞，－1)
解析 函數y＝x3－3x與y＝－2x的大致圖象如圖所示，
若函數f(x)＝無最大值，由圖象可知－2a>2，解得a<－1.
16．[xx湖南七校聯(lián)考]若函數f(x)＝(x2＋ax＋b)的圖象關于直線x＝－1對稱，則f(x)的最大值為________．
答案 4
解析 因為函數f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(0)＝f(－2)，f(1)＝f(－3)，即
解得所以f(x)＝(x2＋4x)＝－x4－x3＋x2＋4x，則f′(x)＝－x3－3x2＋2x＋4＝－(x＋1)(x2＋2x－4)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－1，易知函數f(x)在x＝－1處取得極大值， 又f(－1＋)＝f(－1－)＝4，所以f(x)max＝4.
三、解答題(共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．[xx北京東城一模](本小題滿分10分)已知函數f(x)＝(x2＋mx)ex(其中e為自然對數的底數)．
(1)當m＝－2時，求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；
(2)若函數f(x)在區(qū)間[1,3]上單調遞減，求m的取值范圍．
解 (1)當m＝－2時，f(x)＝(x2－2x)ex，
f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，(1分)
令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.
所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－]和[，＋∞)．(4分)
(2)依題意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，(5分)
因為f′(x)≤0對于x∈[1,3]恒成立，
所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋.(7分)
令g(x)＝－(x＋1)＋，則g′(x)＝－1－<0恒成立，
所以g(x)在區(qū)間[1,3]上單調遞減，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范圍是.(10分)
18．[xx西安八校聯(lián)考](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝(x3－6x2＋3x＋t)ex，t∈R.
(1)若函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為4x－y＋1＝0，則求t的值；
(2)若函數y＝f(x)有三個不同的極值點，求t的值．
解 (1)函數f(x)＝(x3－6x2＋3x＋t)ex，
則f′(x)＝(x3－3x2－9x＋3＋t)ex，(2分)
函數f(x)在點(0，f(0))處的切線斜率為f′(0)＝3＋t，
由題意可得，3＋t＝4，解得t＝1.(4分)
(2)f′(x)＝(x3－3x2－9x＋3＋t)ex，(5分)
令g(x)＝x3－3x2－9x＋3＋t，則方程g(x)＝0有三個不同的根，(6分)
又g′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，
令g′(x)＝0，得x＝－1或3，
且g(x)在區(qū)間(－∞，－1)，(3，＋∞)遞增，在區(qū)間(－1,3)遞減，(8分)
故問題等價于即有
解得－80.
(1)記f(x)的極小值為g(a)，求g(a)的最大值；
(2)若對任意實數x恒有f(x)≥0，求a的取值范圍．
解 (1)函數f(x)的定義域是(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a，
令f′(x)>0，得x>ln a，
所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(ln a，＋∞)；
令f′(x)<0，得x0，g(a)在(0,1)上單調遞增；
當a>1時，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上單調遞減，
所以a＝1是函數g(a)在(0，＋∞)上唯一的極大值點，也是最大值點，所以g(a)max＝g(1)＝1.(6分)
(2)當x≤0時，a>0，ex－ax≥0恒成立，(7分)
當x>0時，f(x)≥0，即ex－ax≥0，即a≤.(8分)
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝＝，(10分)
當01時，h′(x)>0，故h(x)的最小值為h(1)＝e，
所以a≤e，故實數a的取值范圍是(0，e]．(12分)
20．[xx廣西三市調研](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ax＋xln x(a∈R)．
(1)若函數f(x)在區(qū)間[e，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍；
(2)當a＝1且k∈Z時，不等式k(x－1)1恒成立．(5分)
令g(x)＝，則g′(x)＝.(6分)
令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，
則h′(x)＝1－＝>0，
∴h(x)在(1，＋∞)上單調遞增．(7分)
∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0.
即當1x0時，h(x)>0，即g′(x)>0.
∴g(x)在(1，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增．(9分)
由h(x0)＝x0－ln x0－2＝0，得ln x0＝x0－2，
g(x)min＝g(x0)＝＝
＝x0∈(3,4)，(11分)
∴k2時，討論f(x)的單調性；
(2)若b＝－1，F(x)＝f(x)－，且當a≥－4時，不等式F(x)≥2在區(qū)間[1,4]上有解，求實數a的取值范圍．
解 (1)由2a－b＝4，得f(x)＝aln x＋＋(4－2a)x＋1，
所以f′(x)＝－＋(4－2a)
＝
＝.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.(2分)
當a＝4時，f′(x)≤0，函數f(x)在定義域(0，＋∞)內單調遞減；
當20，f(x)單調遞增；
當a>4時，在區(qū)間，上，f′(x)<0，f(x)單調遞減，在區(qū)間上，f′(x)>0，f(x)單調遞增．(6分)
(2)由題意知，當a≥－4時，F(x)在[1,4]上的最大值M≥2.(7分)
當b＝－1時，F(x)＝f(x)－＝x－＋aln x＋1，
則F′(x)＝(1≤x≤4)．(8分)
①當－4≤a≤4時，F′(x)＝≥0，
故F(x)在[1,4]上單調遞增，M＝F(4)．(9分)
②當a>4時，設x2＋ax＋4＝0(Δ＝a2－16>0)的兩根分別為x1，x2，
則故x1<0，x2<0，
所以在[1,4]上，F′(x)＝>0，
故F(x)在[1,4]上單調遞增，M＝F(4)．(11分)
綜上，當a≥－4時，F(x)在[1,4]上的最大值M＝F(4)＝4－1＋aln 4＋1≥2，解得a≥－，
所以實數a的取值范圍是.(12分)
22．[xx長春質檢](本小題滿分12分)已知函數f(x)＝e1－x(－a＋cosx)(a∈R)．
(1)若函數f(x)存在單調遞減區(qū)間，求實數a的取值范圍；
(2)若a＝0，證明：?x∈，總有f(－x－1)＋2f′(x)cos(x＋1)>0.
解 (1)由題意得f′(x)＝－e1－x(－a＋sinx＋cosx)，(1分)
若函數f(x)存在單調減區(qū)間，則f′(x)<0有解，而e1－x>0恒成立，即－a＋sinx＋cosx>0有解，所以a<(sinx＋cosx)max.又sinx＋cosx＝sin∈[－，]，所以a<.(4分)
(2)證明：當a＝0時，f(x)＝e1－xcosx，f′(x)＝－e1－x(sinx＋cosx)，f(－x－1)＋2f′(x)cos(x＋1)＝cos(x＋1)－.(5分)
由x∈，有x＋1∈?，
從而cos(x＋1)>0，
要證原不等式成立，只要證ex＋2－2e1－xsin>0，
即證e2x＋1－2sin>0(6分)
對?x∈恒成立．
首先令g(x)＝e2x＋1－(2x＋2)，由g′(x)＝2e2x＋1－2，可知，
當x∈時g(x)單調遞增，
當x∈時g(x)單調遞減，
所以g(x)＝e2x＋1－(2x＋2)≥g＝0，有e2x＋1≥2x＋2.(8分)
構造函數h(x)＝2x＋2－2sin，x∈，
因為h′(x)＝2－2cos＝2－cosx＋，
可見，在x∈時，h′(x)≤0，即h(x)在[－1,0]上是減函數，
在x∈時，h′(x)>0，即h(x)在上是增函數，
所以，在上，h(x)min＝h(0)＝0，所以h(x)≥0.
所以，當且僅當x＝0時，2sin≤2x＋2，等號成立．(10分)
綜上e2x＋1≥2x＋2≥2sin，由于取等條件不同，
故e2x＋1－2sin>0，即ex＋2－2e1－xsin>0，所以原不等式成立．(12分)
重組四 大題沖關——導數的綜合應用問題
測試時間：120分鐘 滿分：150分
解答題(本題共8小題，共150分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
1．[xx吉林實驗中學模擬](本小題滿分15分)已知函數f(x)＝mx＋ln x，其中m為常數，e為自然對數的底數．
(1)當m＝－1時，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求m的值．
解 (1)當m＝－1時，f(x)＝－x＋ln x，定義域為(0，＋∞)．
求導得f′(x)＝－1＋，(2分)
令f′(x)＝0，得x＝1，當x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下：
(5分)
由表可知f(x)的最大值為f(1)＝－1.(7分)
(2)求導得f′(x)＝m＋.
①當m≥0時，f′
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