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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題6 解析幾何 第1講 直線與圓 文
直線的方程及應(yīng)用
1.(xx貴州模擬)過點(diǎn)(-1,3)且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為( A )
(A)x-2y+7=0 (B)2x+y-1=0
(C)x-2y-5=0 (D)2x+y-5=0
解析:由題意,可設(shè)所求直線方程為x-2y+C=0,
又因?yàn)辄c(diǎn)(-1,3)在所求直線上,
所以-1-23+C=0,
解得C=7.故選A.
2.(xx長春調(diào)研)一次函數(shù)y=-x+的圖象同時(shí)經(jīng)過第一、三、四象限的必要不充分條件是( B )
(A)m>1且n<1 (B)mn<0
(C)m>0且n<0 (D)m<0且n<0
解析:因?yàn)閥=-x+經(jīng)過第一、三、四象限,
故->0,<0,
即m>0,n<0,但此為充要條件,
因此其必要不充分條件為mn<0.故選B.
3.(xx鄭州模擬)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是( D )
(A)(-1,) (B)(-∞,)∪(1,+∞)
(C)(-∞,1)∪(,+∞) (D)(-∞,-1)∪(,+∞)
解析:如圖,kAB=-1,kAC=,
因此滿足條件的直線l的斜率范圍是(-∞,-1)∪(,+∞).故選D.
4.(xx山西模擬)已知直線a2x+y+2=0與直線bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,則|ab|的最小值為( C )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)1
解析:由題意得a2b+[-(a2+1)]=0,
所以b=,
所以|ab|=|a|
=|a+|
=|a|+||
≥2.
故選C.
5.若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上運(yùn)動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為( C )
(A) (B)2 (C)3 (D)4
解析:由題意知AB的中點(diǎn)M的集合為到直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距離都相等的直線,則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.
設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l:x+y+m=0(m<0),根據(jù)平行線間的距離公式得,=,
即|m+7|=|m+5|,
所以m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.
故選C.
圓的方程及應(yīng)用
6.(xx遼寧模擬)圓心在直線y=x上,經(jīng)過原點(diǎn),且在x軸上截得弦長為2的圓的方程為( C )
(A)(x-1)2+(y-1)2=2
(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
(D)(x-1)2+(y+1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2
解析:由于圓心在y=x上,
所以可設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=r2,
將原點(diǎn)(0,0)代入圓的方程得r2=2a2,①
由圓在x軸上截得弦長為2,得r2=a2+1,②
由①②得
所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
7.(xx黑龍江模擬)圓心在曲線y=(x>0)上,且與直線2x+y+1=0相切的面積最小的圓的方程為( A )
(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)(x-2)2+(y-1)2=5
(C)(x-1)2+(y-2)2=25 (D)(x-2)2+(y-1)2=25
解析:設(shè)此圓的圓心坐標(biāo)為(x0,)(x0>0),
則圓的半徑r=≥=,
當(dāng)且僅當(dāng)2x0=,x0=1時(shí),等號成立,
圓的面積最小,此時(shí)圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為,
所以圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.故選A.
8.以雙曲線-=1的右焦點(diǎn)為圓心,并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
解析:雙曲線的漸近線方程為y=x,
不妨取y=x,即4x-3y=0.
雙曲線的右焦點(diǎn)為(5,0),
圓心到直線4x-3y=0的距離為d==4,
即圓的半徑為4,
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+y2=16.
答案:(x-5)2+y2=16
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
9.(xx資陽市高三適應(yīng)性檢測)對任意實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是 ( C )
(A)相離 (B)相切
(C)相交且不過圓心 (D)相交且過圓心
解析:對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1恒過點(diǎn)(0,1),且點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2=4內(nèi),所以對任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系一定是相交但直線不過圓心.故選C.
10.(xx惠州模擬)圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為( B )
(A)內(nèi)切 (B)相交 (C)外切 (D)相離
解析:兩圓心的距離為,且1<<5,
即|r1-r2|
0)的位置關(guān)系是“平行相交”,則b的取值范圍為( D )
(A)(,)
(B)(0,)
(C)(0,)
(D)(,)∪(,+∞)
解析:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=b2,
由兩直線平行可得a(a+1)-6=0,
解得a=2或a=-3,
又當(dāng)a=2時(shí),直線l1與l2重合,舍去,
此時(shí)兩平行線方程分別為x-y-2=0和x-y+3=0;
由直線x-y-2=0與圓(x+1)2+y2=b2相切,
得b==,
由直線x-y+3=0與圓相切,
得b==,
當(dāng)兩直線與圓都相離時(shí),b<,
所以“平行相交”時(shí),b滿足
故b的取值范圍是(,)∪(,+∞).
13.圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a= .
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,
則圓心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離為
=.
由22+()2=2-a,
得a=-4.
答案:-4
14.(xx湖北卷)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2= .
解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長為,則圓心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2.
答案:2
一、選擇題
1.(xx貴州模擬)過點(diǎn)P(1,3)且在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為( D )
(A)x+y-4=0 (B)3x-y=0
(C)x+y-4=0或3x+y=0 (D)x+y-4=0或3x-y=0
解析:若直線過原點(diǎn),設(shè)直線方程為y=kx,把點(diǎn)P(1,3)代入得k=3,此時(shí)直線為y=3x,即3x-y=0.若直線不經(jīng)過原點(diǎn),則設(shè)直線方程為+=1,即x+y=a.把點(diǎn)P(1,3)代入得a=4,所以直線方程為x+y=4,即x+y-4=0,故選D.
2.(xx哈爾濱模擬)函數(shù)y=asin x-bcos x的一條對稱軸為x=,則直線l:ax-by+c=0的傾斜角為( A )
(A)135 (B)120 (C)60 (D)45
解析:由函數(shù)y=f(x)=asin x-bcos x的一條對稱軸為x=知,
f(0)=f(),即-b=a,
因此直線l的斜率為-1,傾斜角為135.
3.(xx唐山模擬)直線l:x=my+2與圓M:x2+2x+y2+2y=0相切,則m的值為( B )
(A)1或-6 (B)1或-7
(C)-1或7 (D)1或-
解析:圓的方程為(x+1)2+(y+1)2=2,
圓心為(-1,-1),半徑為,
由題意直線與圓相切,
即d==,
解得m=-7或m=1.故選B.
4.(xx貴州模擬)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x-3)2+y2=9的弦MN的中點(diǎn),則弦MN所在直線方程為( C )
(A)2x+y-3=0 (B)x-2y+1=0
(C)2x-y-1=0 (D)x+2y-3=0
解析:圓(x-3)2+y2=9的圓心為A(3,0),
所以AP⊥MN,
AP的斜率為k==-,
所以直線MN的斜率為2,
所以弦MN所在直線方程為y-1=2(x-1),
即2x-y-1=0,選C.
5.(xx福建模擬)若不論m取何實(shí)數(shù),直線l:mx+y-1+2m=0恒過一定點(diǎn),則該定點(diǎn)的坐標(biāo)為( A )
(A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1)
解析:直線l的方程可化為m(x+2)+y-1=0,
由
得
故直線l恒過定點(diǎn)(-2,1).故選A.
6.(xx哈爾濱模擬)已知點(diǎn)P(1,2)和圓C:x2+y2+kx+2y+k2=0,過P作C的切線有兩條,則k的取值范圍是( D )
(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,)
(C)(-,0) (D)(-,)
解析:若x2+y2+kx+2y+k2=0表示一個(gè)圓,
則k2+4-4k2=4-3k2>0,即-0,
由于k2+k+9=(k+)2+8>0恒成立,
所以k的取值范圍是(-,).
故選D.
7.(xx河北模擬)直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點(diǎn),則△ECF的面積為( B )
(A) (B)2 (C) (D)
解析:由已知可得圓心到直線的距離為d=,
所以|EF|=4,
所以S△ECF=4=2.
故選B.
8.(xx安徽卷)過點(diǎn)P(-,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( D )
(A)(0,] (B)(0,] (C)[0,] (D)[0,]
解析:設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+)-1,
則由直線和圓有公共點(diǎn)知≤1.
解得0≤k≤.
故直線l的傾斜角的取值范圍是[0,].
9.(xx江西模擬)已知兩點(diǎn)A(1,2),B(3,1)到直線l距離分別是,-,則滿足條件的直線l共有( C )
(A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條
解析:當(dāng)A,B位于直線l的同一側(cè)時(shí),一定存在這樣的直線l,且有兩條;
因?yàn)閨AB|==,
而A到直線l與B到直線l距離之和為+-=,
所以當(dāng)A,B位于直線l兩側(cè)時(shí),存在一條與AB垂直且距離A,B分別為,-的直線,綜合可知滿足條件的直線共有3條.
10.已知直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)(其中a,b是實(shí)數(shù)),且△AOB是直角三角形(O是原點(diǎn)),則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)M(0,1)之間的距離的最大值為( A )
(A)+1 (B)2 (C) (D)-1
解析:由題意知∠AOB為直角,則原點(diǎn)到直線ax+by=1的距離為d==,則+a2=1,顯然M(0,1)為橢圓+a2=1的焦點(diǎn),所以點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)M(0,1)之間的最大值為+1,選A.
11.(xx佳木斯模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+6y+12=0,則|2x-y-2|的最小值是( A )
(A)5- (B)4- (C)-1 (D)5
解析:將x2+y2-4x+6y+12=0化為
(x-2)2+(y+3)2=1,
|2x-y-2|=,
所以|2x-y-2|表示圓(x-2)2+(y+3)2=1上的點(diǎn)到直線2x-y-2=0的距離的倍,
而()min=-1=-1,
所以|2x-y-2|的最小值為(-1)=5-.
故選A.
二、填空題
12.(xx濰坊模擬)若圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對稱,則由點(diǎn)(a,b)向圓所作的切線長的最小值是 .
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=2,
所以圓心為(-1,2),半徑為.
因?yàn)閳A關(guān)于直線2ax+by+6=0對稱,
所以圓心在直線2ax+by+6=0上,
所以-2a+2b+6=0,即b=a-3.
點(diǎn)(a,b)到圓心的距離為
d=
=
=
=,
所以當(dāng)a=2時(shí),d有最小值=3.
此時(shí)切線長最小為==4.
答案:4
13.當(dāng)且僅當(dāng)m≤r≤n時(shí),兩圓x2+y2=49與x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共點(diǎn),則n-m的值為 .
解析:整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0,
得(x-3)2+(y-4)2=r2,
該圓圓心是(3,4),半徑為r,
要使兩圓有公共點(diǎn)需|r-7|≤≤7+r,
即2≤r≤12,進(jìn)而可知m=2,n=12,所以n-m=10.
答案:10
14.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)已知☉O:x2+y2=1,若直線y=kx+2上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的☉O的兩條切線互相垂直,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
解析:因?yàn)閳A心為O(0,0),半徑R=1.
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A,B,
則由題意可得四邊形PAOB為正方形,
故有PO=R=,
由題意知圓心O到直線y=kx+2的距離小于或等于PO=,
即≤,
即1+k2≥2,
解得k≥1或k≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[1,+∞)
15.(xx安徽省黃山模擬)在直角坐標(biāo)系中,定義兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)之間的“直角距離為d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.現(xiàn)有以下命題:
①若P,Q是x軸上兩點(diǎn),則d(P,Q)=|x1-x2|;
②已知兩點(diǎn)P(2,3),Q(sin2α,cos2α),則d(P,Q)為定值;
③原點(diǎn)O到直線x-y+1=0上任意一點(diǎn)P的直角距離d(O,P)的最小值為;
④若|PQ|表示P,Q兩點(diǎn)間的距離,那么|PQ|≥d(P,Q);
其中為真命題的是 (寫出所有真命題的序號).
解析:①若P,Q是x軸上兩點(diǎn),兩點(diǎn)縱坐標(biāo)均為0,則d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|=|x1-x2|,所以命題正確;
②若兩點(diǎn)P(2,3),Q(sin2α,cos2α),
則d(P,Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4,所以命題正確;
③設(shè)直線上任意一點(diǎn)為(x,x+1),則原點(diǎn)O到直線x-y+1=0上任意一點(diǎn)P的直角距離
d(O,P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1,
即其最小值為1,所以命題錯(cuò)誤;
④由基本不等式a2+b2≥(a+b)2,
得|PQ|=≥(|x1-x2|+|y1-y2|)=d(P,Q),所以命題成立.
綜上所述,正確的命題為①②④.
答案:①②④
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
訓(xùn)練提示:(1)直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合,“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的.
(2)圓的弦長的常用求法
①幾何法:求圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為l,則()2=r2-d2;
②代數(shù)法:運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式:|AB|=|x1-x2|=.
(3)①圓與直線l相切的情形——圓心到l的距離等于半徑,圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.
②圓與直線l相交的情形——圓心到l的距離小于半徑,過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦;連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦;過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,最短的是垂直于過這點(diǎn)的直徑的那條弦,最長的是過這點(diǎn)的直徑.
(4)①判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系,一般不采用代數(shù)法.
②當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在的直線方程或公共弦長時(shí),只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)所得方程就是公共弦所在的直線方程,然后轉(zhuǎn)化為直線與圓相交求公共弦長.
1.已知:圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.
(1)當(dāng)a為何值時(shí),直線l與圓C相切;
(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2時(shí),求直線l的方程.
解:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.
(1)若直線l與圓C相切,則有=2,
解得a=-.
(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),
得
解得a=-7或-1.
故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.
2.已知圓M:x2+(y-2)2=1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn),QA,QB分別切圓M于A,B兩點(diǎn).
(1)若Q(1,0),求切線QA,QB的方程;
(2)求四邊形QAMB面積的最小值;
(3)若|AB|=,求直線MQ的方程.
解:(1)設(shè)過點(diǎn)Q的圓M的切線方程為x=my+1,
則圓心M到切線的距離為1,
即=1,
解得m=-或0,
所以切線QA,QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1.
(2)因?yàn)镸A⊥AQ,
所以=|MA||QA|
=|QA|
=
=
≥=.
所以四邊形QAMB面積的最小值為.
(3)設(shè)AB與MQ交于P,
則MP⊥AB,
所以|MP|==.
易證|MB|2=|MP||MQ|,
即1=|MQ|,
所以|MQ|=3,
設(shè)Q(x,0),則|MQ|2=x2+22=9,
所以x=,
所以Q(,0),
所以MQ的方程為2x+y-2=0或2x-y+2=0.
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為,求圓P的方程.
解:(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r.
由題設(shè)知y2+2=r2,x2+3=r2,
從而y2+2=x2+3.
故P點(diǎn)的軌跡方程為y2-x2=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),
由已知得=.
又P點(diǎn)在雙曲線y2-x2=1上,
從而得
由得
此時(shí),圓P的半徑r=.
由得
此時(shí),圓P的半徑r=.
故圓P的方程為x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
4.已知以點(diǎn)C(t,)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為
原點(diǎn).
(1)求證:△OAB的面積為定值;
(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.
(1)證明:由題意知圓C過原點(diǎn)O,
所以|OC|2=t2+.
則圓C的方程為(x-t)2+(y-)2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t.
所以S△OAB=|OA||OB|
=|||2t|=4,
即△OAB的面積為定值.
(2)解:因?yàn)閨OM|=|ON|,|CM|=|CN|,
所以O(shè)C垂直平分線段MN.
因?yàn)閗MN=-2,所以kOC=,
所以直線OC的方程為y=x,
所以=t,
解得t=2或t=-2.
當(dāng)t=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),
|OC|=,
此時(shí)圓心C到直線y=-2x+4的距離d=<,
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn);
當(dāng)t=-2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),|OC|=,
此時(shí)圓心C到直線y=-2x+4的距離d=>,
圓C與直線y=-2x+4不相交,
所以t=-2不符合題意,應(yīng)舍去.
所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
解:(1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),
解得點(diǎn)C(3,2),
于是切線的斜率必存在.
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3.
由題意,得=1,
解得k=0或k=-,
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,
所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
設(shè)點(diǎn)M(x,y),
因?yàn)镸A=2MO,
所以=2,
化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,
所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,
所以圓C與圓D有公共點(diǎn),
則|2-1|≤CD≤2+1,
即1≤≤3.
整理,得-8≤5a2-12a≤0.
由5a2-12a+8≥0,
得a∈R;
由5a2-12a≤0,
得0≤a≤.
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0,].
6.在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線x-y=4相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=2,求直線MN的方程;
(3)圓O與x軸相交于A,B兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求的取值范圍.
解:(1)依題意,圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-y=4的距離,
即r==2.
所以圓O的方程為x2+y2=4.
(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.
則圓心O到直線MN的距離d=.
由垂徑分弦定理得+()2=22,
即m=.
所以直線MN的方程為2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)不妨設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題6
解析幾何
第1講
直線與圓
2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
二輪
復(fù)習(xí)
專題
直線
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