2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學(xué)案 蘇教版.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學(xué)案 蘇教版 教學(xué)目標(biāo) 1．引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力． 3．通過對稱問題的探討，使學(xué)生會(huì)進(jìn)一步運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，用轉(zhuǎn)化的思想來處理問題． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 兩曲線關(guān)于定點(diǎn)和定直線的對稱知識(shí)方法是重點(diǎn)．把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對稱問題，即用對稱觀點(diǎn)解決實(shí)際問題是難點(diǎn)． 教學(xué)過程 師：前面學(xué)過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì)．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對稱的問題．大家想一想：點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于點(diǎn)Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？ 師：P(x，y)，P′(x′，y′)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它們的坐標(biāo)滿足什么條件？ 生：P和P′的中點(diǎn)是原點(diǎn)．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關(guān)于x軸對稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′． 師：若P和P′關(guān)于y軸對稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 生：y=y′且x=-x′． 師：若P和P′關(guān)于直線y=x對稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？ 生：y=x′且x=y′． 生：它們關(guān)于直線y=x對稱． 師：若P與P′關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)． 師：還有補(bǔ)充嗎？ 生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直． 師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？ 生：就是P與P′的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0． 師：下面誰來總結(jié)一下，兩點(diǎn)P(x，y)、P′(x′，y′)關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱應(yīng)滿足的條件？ 生：應(yīng)滿足兩個(gè)條件．第一個(gè)條件是PP′的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個(gè)條件是P，P′的中點(diǎn)應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上． 師：這兩個(gè)條件能否用方程表示呢？ (在黑板上可畫出圖形(如圖2-72)，可直觀些) 生：方程組： 師：這個(gè)方程組成立說明了什么？它能解決什么問題？ 生：方程組中含有x′，y′，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個(gè)點(diǎn)P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)． 師：今后有很多有關(guān)對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題． 例1 已知直線l1和l2關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程． (選題目的：熟悉對稱直線方程) 師：哪位同學(xué)有思路請談?wù)劊? 生：先求出已知兩直線的交點(diǎn)，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點(diǎn)斜式求得l2的方程． (讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．) 由點(diǎn)斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？ 生：在直線l1上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點(diǎn)，然后再利用交點(diǎn)，兩點(diǎn)式可求出l2的直線方程。 (讓這位學(xué)生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯(cuò)誤，大家訂正．) 解 由方程組： 師：還有別的解法嗎？ 生：在l2上任取一點(diǎn)P(x，y)，則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對稱的點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了． 師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設(shè)P(x，y)為l2上的任意一點(diǎn)， 則P點(diǎn)關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱，點(diǎn)P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)， 又因?yàn)镻′(x′，y′)在直線l1：3x-2y+1=0上， 所以3x′-2y′+1=0． 即l2的方程為：4x-6y+3=0． 師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對稱的曲線方程呢？ 引申：已知：曲線C：y=x2，求它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的曲線方程． (選題目的：進(jìn)一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．) 師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：第二種和第三種方法還能適用． 師：誰來試一試？ 生：可先在y=x2上任取一點(diǎn)P0(x0，y0)，它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P′(x1，y1)，可得它們的交點(diǎn)，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)． (讓學(xué)生把他的解法寫出來．) 解 設(shè)P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點(diǎn)為P′(x1，y1)，因此，連結(jié)P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-(x-x0)． 師：還有不同的方法嗎？ 生：用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上． 生：解：設(shè)M(x，y)為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0(x0，y0)是M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：y=x2上． 代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個(gè)例子． 點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．(如圖2-77) 師：解這題的關(guān)鍵是什么？ 生：關(guān)鍵是找到x軸的交點(diǎn)． 師：有辦法找到交點(diǎn)嗎？ 生：沒人回答． 師：交點(diǎn)不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點(diǎn)，利用交點(diǎn)M對解決這個(gè)問題有什么幫助嗎？ 生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點(diǎn)，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx． 師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？ 生：可以先找A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉(zhuǎn)化為|A′M|+|MD|即|A′D|． 師：|A′D|怎么求呢？ 生：|A′D|實(shí)際上是過A′點(diǎn)到圓切線的長，要求切線長，只需先連結(jié)半徑CD，再連結(jié)A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77) (讓這位學(xué)生把解答寫在黑板上．) 解 已知點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(0，-2)，所求的路程即為 師：巧用對稱性，化簡了計(jì)算，很好．哪位同學(xué)能把這個(gè)題適當(dāng)改一下，變成另一個(gè)題目． 生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點(diǎn)，在x軸上，求一點(diǎn)P，使得|AP|+|PD|為最短． 師：誰能解答這個(gè)問題？ 生：先過A(0，2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(0，-2)， 連結(jié)A′D與x軸相交于點(diǎn)P，P為所求(如圖2-78)． 師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？ 生：因?yàn)锳，A′關(guān)于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時(shí)|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當(dāng)P點(diǎn)在x軸其他位置上時(shí)，如在P′處，那么，連結(jié)AP′、A′P′和P′D．這時(shí)|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于第三邊)．所以|A′D|為最短．即P為所求． 師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個(gè)題目？ x軸和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|AM|+|MP|的最小值． 師：哪位同學(xué)能夠解決？ 生：先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′(0，-2)，連結(jié)A′和圓心C，A′C交x軸于M點(diǎn)，交圓于P點(diǎn)，這時(shí)|AM|+|MP|最小(如圖2-79)． 師：你怎樣想到先找A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′的呢？ 生：由前題的結(jié)論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最小． 師：很好，大家一起動(dòng)筆算一算(同時(shí)讓這位學(xué)生上前面書寫)． 生：解A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點(diǎn)，因?yàn)锳′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|= 師：我們一起看下面的問題． 例3 若拋物線y=ax2-1上總存在關(guān)于直線x+y=0對稱的兩點(diǎn)，求a的范圍． 師：這題的思路是什么？ 生：如圖2-80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關(guān)于直線x=- 師：很好，誰還有不同的解法嗎？ 生：曲線y=ax2-1關(guān)于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方 師：今天我們討論了有關(guān)點(diǎn)，直線，曲線關(guān)于定點(diǎn)，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于定直線對稱的思想方法，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題． 作業(yè)： 1．一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關(guān)于直線l對稱，求直線l的方程． (2x-y+5=0) 2．ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A(-1，3)和C(-3，2)，點(diǎn)D在直線x-3y-1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是 ______． (x-3y+20=0) 3．若光線從點(diǎn)A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B(3， 9)，則此光線所經(jīng)過的路程的長是______． (12) 4．已知曲線C：y=-x2+x+2關(guān)于點(diǎn)(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍．(-2＜a＜1) 設(shè)計(jì)說明 1．這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過討論對稱問題把有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體．讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時(shí)對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要有一定的時(shí)間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力． 2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個(gè)深刻的印象，就是對稱問題，歸根結(jié)底都可以化成點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時(shí)，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時(shí)水平才能提高得較快． 3．習(xí)題課的一個(gè)中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個(gè)值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進(jìn)行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達(dá)到盡可能做少量的題，而達(dá)到獲取盡可能多的知識(shí)、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來的危害． 4．本課的例題選擇可根據(jù)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況，下面幾個(gè)備用題可供參考． 題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，△MAQ垂心的軌跡方程． (選題目的：熟練用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，活用平幾簡化計(jì)算．) 解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且 題目2若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m(x-3)對稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解 (如圖2-82)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線 (選題目的：結(jié)合對稱問題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用．) 此題證法很多．下面給一種證法供參考． 證明 如圖2-83，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對稱，可設(shè)P(a，b)、 5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答： 4題．解設(shè)P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)(a，2a)的對稱點(diǎn)是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯(lián)立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1． 5題略解：如圖2-84，F(xiàn)1(-5，2)，F(xiàn)2(-1，2)，F(xiàn)1關(guān)于直線x-y=1的對稱點(diǎn)為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，