2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 數(shù)列分項(xiàng)練習(xí)（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 數(shù)列分項(xiàng)練習(xí)（含解析）一基礎(chǔ)題組1. 【xx高考上海，10】已知數(shù)列 和 ，其中 ， 的項(xiàng)是互不相同的正整數(shù).若對于任意 ， 的第 項(xiàng)等于 的第 項(xiàng)，則 .【答案】2【解析】由題意可得： ，當(dāng) 時(shí)： ；當(dāng) 時(shí)： ；當(dāng) 時(shí)： ；當(dāng) 時(shí)： ；則： ，據(jù)此可得： .2、【xx高考上海理數(shù)】無窮數(shù)列由k個(gè)不同的數(shù)組成，為的前n項(xiàng)和.若對任意，則k的最大值為_.【答案】4【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，若，則，于是，若，則，于是，從而存在，當(dāng)時(shí)，.所以數(shù)列要涉及最多的不同的項(xiàng)可以為：2,1，1,0,0從而可看出.【考點(diǎn)】數(shù)列的項(xiàng)與和【名師點(diǎn)睛】從分析條件入手，推斷數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)，解題時(shí)應(yīng)特別注意“數(shù)列由k個(gè)不同的數(shù)組成”和“k的最大值”.本題主要考查考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力等.3. 【xx高考上海理數(shù)】已知無窮等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，且.下列條件中，使得恒成立的是（ ）.（A） （B）（C） （D）【答案】B【考點(diǎn)】數(shù)列的極限、等比數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】本題解答時(shí)確定不等關(guān)系是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在建立不等關(guān)系之后，不知所措或不能恰當(dāng)?shù)胤诸愑懻?本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.4. 【xx上海,理8】 設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，若，則q= .【答案】【解析】由題意，即，.【考點(diǎn)】無窮遞縮等比數(shù)列的和.5. 【xx上海,理10】設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x19的公差，隨機(jī)變量等可能地取值x1，x2，x19，則方程D_.【答案】30|d|【解析】Ex10，D6. 【xx上海,理17】在數(shù)列an中，an2n1.若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cijaiajaiaj(i1,2，7；j1,2，12)，則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A18 B28 C48 D63【答案】A【解析】ai，jaiajaiaj2ij1，而ij2,3，19，故不同數(shù)值個(gè)數(shù)為18，選A.7. 【xx上海,文2】在等差數(shù)列an中，若a1a2a3a430，則a2a3_.【答案】15【解析】a1a2a3a42(a2a3)30a2a315.8. 【xx上海,文7】設(shè)常數(shù)aR.若的二項(xiàng)展開式中x7項(xiàng)的系數(shù)為10，則a_.【答案】2【解析】10x7r1，105a10，a29. 【xx上海,理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為V1，V2，Vn，則_.【答案】.10. 【xx上海,文8】在(x)6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于_【答案】20【解析】展開式的通項(xiàng)為Tr1x6r()r，令6rr，可得r3所以T4x3()320.11. 【xx上海,文14】已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，an2f(an)若a2 010a2 012，則a20a11的值是_【答案】【解析】由an2f(an)，a11，可得，.由a2 012a2 010，可得a2 010a2 012，則a2a4a20a2na2 010a2 012.所以a20a11.12. 【xx上海,文18】若(nN*)，則在S1，S2，S100中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是()A16 B72 C86 D100【答案】 C【解析】由，所以S13S140.同理S27S28S41S42S55S56S69S70S83S84S97S980，所以在S1，S2，S100中，其余各項(xiàng)均大于0.故選C項(xiàng)13. 【xx上海,理18】設(shè)an是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1，2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件是()Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同【答案】D【解析】14. 【xx上海,理11】將直線：、：（，）軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 ；【答案】1【解析】直線：、：（，）軸、軸圍成的封閉圖形為四邊形，其中，則，故，于是，故答案為：1.【點(diǎn)評】本題將直線與直線的位置關(guān)系與數(shù)列極限結(jié)合，考查兩直線的交點(diǎn)的求法、兩直線垂直的充要條件、四邊形的面積計(jì)算以及數(shù)列極限的運(yùn)算法則，是本次考題的一個(gè)閃光點(diǎn).15. (xx上海,理12)已知函數(shù)f(x)=sinx+tanx,項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列an滿足an(,),且公差d0.若f(a1)+f(a2)+f(a27)=0,則當(dāng)k=_時(shí),f(ak)=0.【答案】1416. (xx上海,理23)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.已知an是公差為d的等差數(shù)列,bn是公比為q的等比數(shù)列.(1)若an=3n+1,是否存在m、kN*,有am+am+1=ak?說明理由;(2)找出所有數(shù)列an和bn,使對一切nN*,并說明理由;(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,試確定所有的p,使數(shù)列an中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列bn中的一項(xiàng),請證明.【答案】(1) 不存在;(2) an為非零常數(shù)列,bn為恒等于1的常數(shù)列;(3)參考解析【解析】(1)由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,整理后,可得,m、kN*,k-2m為整數(shù).不存在m、kN*,使等式成立.(2)解法一:若,即,(*)若d=0,則1=b1qn-1=bn.當(dāng)an為非零常數(shù)列,bn為恒等于1的常數(shù)列,滿足要求.若d0,(*)式等號左邊取極限得,(*)式等號右邊的極限只有當(dāng)q=1時(shí),才可能等于1.此時(shí)等號左邊是常數(shù),d=0,矛盾.綜上所述,只有當(dāng)an為非零常數(shù)列,bn為恒等于1的常數(shù)列,滿足要求.解法二:設(shè)an=nd+c.若,對nN*都成立,且bn為等比數(shù)列,則,對nN*都成立,即anan+2=qan+12.(dn+c)(dn+2d+c)=q(dn+d+c)2對nN*都成立.d2=qd2.若d=0,則an=c0,bn=1,nN*.若d0,則q=1,bn=m(常數(shù)),即,則d=0,矛盾.綜上所述,有an=c0,bn=1,使對一切nN*,.(3)an=4n+1,bn=3n,nN*.設(shè)am+1+am+2+am+p=bk=3k,p、kN*,mN.,4m+2p+3=.p、kN*,p=3s,sN.取k=3s+2,4m=32s+2-23s-3=(4-1)2s+2-2(4-1)s-30,由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2,使得(4-1)2s+2=4M1+1,2(4-1)s=8M2+(-1)s2,4m=4(M1-2M2)-(-1)s+12.存在整數(shù)m滿足要求.故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí),命題成立.說明:第(3)題若學(xué)生從以下角度解題,可分別得部分分(即分步得分).若p為偶數(shù),則am+1+am+2+am+p為偶數(shù),但3k為奇數(shù).故此等式不成立,p一定為奇數(shù).當(dāng)p=1時(shí),則am+1=bk,即4m+5=3k,而3k=(4-1)k=,MZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),存在m,使4m+5=3k成立.當(dāng)p=3時(shí),則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2=bk,也即3(4m+9)=3k,4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1.由已證可知,當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí),存在m,4m+9=3k成立.當(dāng)p=5時(shí),則am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk,也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍數(shù),當(dāng)p=5時(shí),所要求的m不存在.故不是所有奇數(shù)都成立.17. 【xx上海,理14】 若數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為a的無窮等比數(shù)列，且an各項(xiàng)的和為a，則a的值是（ ）A1 B2 C D【答案】18. 【xx上海,文14】數(shù)列中， 則數(shù)列的極限值（）.等于.等于.等于或.不存在【答案】B【解析】19. 【xx上海,理12】用個(gè)不同的實(shí)數(shù)可得到個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成一個(gè)行的數(shù)陣。對第行，記，。例如：用1，2，3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，=_.【答案】1080【解析】在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，每一列各數(shù)之和都是360，20. 【xx上海,理20】（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分假設(shè)某市xx年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房預(yù)計(jì)在今后的若干年后，該市每年新建住房面積平均比上年增長8%另外，每年新建住房中，中底價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年底（1）該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積（以xx年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？【答案】（1）xx；（2）xx【解析】（1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列，由題意可知是等差數(shù)列，其中a1=250，d=50，則 令 即到xx年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米.（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知bn是等比數(shù)列，其中b1=400，q=1.08， 則bn=400(1.08)n1由題意可知有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，到xx年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.二能力題組21.【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.【答案】（1）；（2）不具有性質(zhì)，理由見解析；（3）見解析【解析】（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明 試題解析：（1）因?yàn)?，所以，于是，又因?yàn)?，解得?）的公差為，的公比為，所以，但，所以不具有性質(zhì)證（3）充分性：當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，對任意給定的，只要，則由，必有充分性得證必要性：用反證法證明假設(shè)不是常數(shù)列，則存在，使得，而下面證明存在滿足的，使得，但設(shè)，取，使得，則，故存在使得取，因?yàn)椋ǎ?，所以，依此類推，得但，即所以不具有性質(zhì)，矛盾必要性得證綜上，“對任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、充要條件的證明、反證法【名師點(diǎn)睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高，是一道難題.解答此類題目時(shí)，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識及反證法是基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用已知條件進(jìn)行推理是關(guān)鍵.本題易錯(cuò)主要有兩個(gè)原因，一是不得法，二是對復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.22. 【xx高考上海文數(shù)】（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.對于無窮數(shù)列與，記A=|=，B=|=，若同時(shí)滿足條件：，均單調(diào)遞增；且，則稱與是無窮互補(bǔ)數(shù)列.（1）若=，=，判斷與是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列，并說明理由；（2）若=且與是無窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列的前16項(xiàng)的和；（3）若與是無窮互補(bǔ)數(shù)列，為等差數(shù)列且=36，求與的通項(xiàng)公式.【答案】（1）與不是無窮互補(bǔ)數(shù)列，理由見解析；（2）；（3），【解析】試題分析：（1）直接應(yīng)用定義“無窮互補(bǔ)數(shù)列”的條件驗(yàn)證即得；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解；（3）先求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求的通項(xiàng)公式.試題解析：（1）因?yàn)?，所以，從而與不是無窮互補(bǔ)數(shù)列（2）因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)的和為：（3）設(shè)的公差為，則由，得或若，則，與“與是無窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾；若，則，綜上，【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、新定義問題【名師點(diǎn)睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高，是一道難題.解答此類題目時(shí)，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識是基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用已知條件進(jìn)行推理是關(guān)鍵.本題易錯(cuò)主要有兩個(gè)原因，一是不得法，二是對新定義的理解能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.23.【xx高考上海理數(shù)】（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題.第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分. 已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即（），求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，（），求的取值范圍，使得有最大值與最小值，且.【答案】（1）（2）詳見解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)公式為，.證明：（2）由，得.所以為常數(shù)列，即.因?yàn)?，所以，?故的第項(xiàng)是最大項(xiàng).解：（3）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)，符合上式.所以.因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，不存在最大、最小值；當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，而；當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值，最小值，由及，得.綜上，的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列，數(shù)列單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】1.等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列2.數(shù)列作為特殊的函數(shù)，其單調(diào)性的判斷與研究也是特別的，只需研究相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系即可.24. 【xx高考上海文數(shù)】（本題滿分16分）本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分.已知數(shù)列與滿足，.（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；（3）設(shè)，求的取值范圍，使得對任意，且.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）.（2）由，得，所以為常數(shù)列，即，因?yàn)?，所以，即，所以的第?xiàng)是最大項(xiàng).（3）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以，因?yàn)?，且對任意，故，特別地，于是，此時(shí)對任意，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，的最大值為，最小值為，由題意，的最大值及最小值分別是及，由及，解得，綜上所述，的取值范圍是.【考點(diǎn)定位】數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，常數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，在高考中的地位舉足輕重，近年來的新課標(biāo)高考都把數(shù)列作為核心內(nèi)容來加以考查，并且創(chuàng)意不斷，?？汲Ｐ?5. 【xx上海,文23】（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1） 若，求的取值范圍；（2） 若是等比數(shù)列，且，正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的僅比；（3） 若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公差的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）的最大值為xx，此時(shí)公差為.【解析】試題分析：（1）比較容易，只要根據(jù)已知列出不等式組，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又由條件，于是，取常用對數(shù)得，所以，即最小值為8；（3）由已知可得，這樣我們可以計(jì)算出的取值范圍是試題解析：（1）由題得，（2）由題得，且數(shù)列是等比數(shù)列，.又由已知，又，的最小值為8，此時(shí)，即。（3）由題得，且數(shù)列數(shù)列成等差數(shù)列，【考點(diǎn)】解不等式（組），數(shù)列的單調(diào)性，分類討論，等差（比）數(shù)列的前項(xiàng)和.26. 【xx上海,理23】(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分給定常數(shù)c0，定義函數(shù)f(x)2|xc4|xc|.數(shù)列a1，a2，a2，滿足an1f(an)，nN*.(1)若a1c2，求a2及a3；(2)求證：對任意nN*，an1anc；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由【答案】(1) a22，a3c10 ;(2)參考解析; (3) c，)c8 (3)由(2)，結(jié)合c0，得an1an，即an為無窮遞增數(shù)列又an為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)M，當(dāng)nM時(shí)，anc，從而，an1f(an)anc8.由于an為等差數(shù)列，因此其公差dc8.若a1c4，則a2f(a1)a1c8，又a2a1da1c8，故a1c8a1c8，即a1c8，從而a20.當(dāng)n2時(shí)，由于an為遞增數(shù)列，故ana20c，所以，an1f(an)anc8，而a2a1c8，故當(dāng)a1c8時(shí)，an為無窮等差數(shù)列，符合要求；若c4a1c，則a2f(a1)3a13c8，又a2a1da1c8，所以，3a13c8a1c8，得a1c，舍去；若a1c，則由ana1得到an1f(an)anc8，從而an為無窮等差數(shù)列，符合要求綜上，a1的取值集合為c，)c827. 【xx上海,文22】已知函數(shù)f(x)2|x|，無窮數(shù)列an滿足an1f(an)，nN*.(1)若a10，求a2，a3，a4；(2)若a10，且a1，a2，a3成等比數(shù)列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由【答案】(1) a22，a30，a42 ;(2) a1(舍去)或a1; (3) 當(dāng)且僅當(dāng)a11時(shí)，a1，a2，a3，構(gòu)成等差數(shù)列【解析】(1)a22，a30，a42.(2)a22|a1|2a1，a32|a2|2|2a1|.當(dāng)0a12時(shí)，a32(2a1)a1，所以(2a1)2，得a11.當(dāng)a12時(shí)，a32(a12)4a1，所以a1(4a1)(2a1)2，得a1(舍去)或a1.綜合得a11或a1.(3)假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么a22|a1|，a32|2|a1|.由2a2a1a3得2a1|2|a1|2|a1|(*)以下分情況討論：當(dāng)a12時(shí)，由(*)得a10，與a12矛盾；當(dāng)0a12時(shí)，由(*)得a11，從而an1(n1,2，)，所以an是一個(gè)等差數(shù)列；當(dāng)a10時(shí)，則公差da2a1(a12)a120，因此存在m2使得ama12(m1)2.此時(shí)dam1am2|am|am0，矛盾綜合可知，當(dāng)且僅當(dāng)a11時(shí)，a1，a2，a3，構(gòu)成等差數(shù)列28. 【xx上海,理23】對于數(shù)集X1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定義向量集Ya|a(s，t)，sX，tX若對任意a1Y，存在a2Y，使得a1a20，則稱X具有性質(zhì)P.例如1,1,2具有性質(zhì)P.(1)若x2，且1,1,2，x具有性質(zhì)P，求x的值；(2)若X具有性質(zhì)P，求證：1X，且當(dāng)xn1時(shí)，x11；(3)若X具有性質(zhì)P，且x11，x2q(q為常數(shù))，求有窮數(shù)列x1，x2，xn的通項(xiàng)公式 【答案】(1) 4;(2) 參考解析;(3) xkqk1【解析】(1)選取a1(x,2)，Y中與a1垂直的元素必有形式(1，b)所以x2b，從而x4.(2)證明：取a1(x1，x1)Y.設(shè)a2(s，t)Y滿足a1a20.由(st)x10得st0，所以s，t異號因?yàn)?是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s，t之中一為1，另一為1，故1X.假設(shè)xk1，其中1kn，則0x11xn.選取a1(x1，xn)Y，并設(shè)a2(s，t)Y滿足a1a20，即sx1txn0，則s，t異號，從而s，t之中恰有一個(gè)為1.若s1，則x1txntx1，矛盾；若t1，則xnsx1sxn，矛盾所以x11.(3)解法一：猜測xiqi1，i1,2，n.記Ak1,1，x2，xk，k2,3，n.先證明：若Ak1具有性質(zhì)P，則Ak也具有性質(zhì)P.任取a1(s，t)，s，tAk，當(dāng)s，t中出現(xiàn)1時(shí)，顯然有a2滿足a1a20；當(dāng)s1且t1時(shí)，則s，t1.因?yàn)锳k1具有性質(zhì)P，所以有a2(s1，t1)，s1，t1Ak1，使得a1a20，從而s1和t1中有一個(gè)是1，不妨設(shè)s11.假設(shè)t1Ak1且t1Ak，則t1xk1.由(s，t)(1，xk1)0，得stxk1xk1，與sAk矛盾所以t1Ak，從而Ak也具有性質(zhì)P.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xiqi1，i1,2，n.當(dāng)n2時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)nk時(shí)， Ak1,1，x2，xk有性質(zhì)P，則xiqi1，i1,2，k；當(dāng)nk1時(shí)，若Ak11,1，x2，xk，xk1有性質(zhì)P，則Ak1,1，x2，xk也有性質(zhì)P，所以Ak11,1，q，qk1，xk1取a1(xk1，q)，并設(shè)a2(s，t)滿足a1a20.由此可得s1或t1.若t1，則xk1q，不可能；所以s1，xk1qtqk且xk1qk1，所以xk1qk.綜上所述，xiqi1，i1,2，n.解法二：設(shè)a1(s1，t1)，a2(s2，t2)，則a1a20等價(jià)于.記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱注意到1是X中的唯一負(fù)數(shù)，B(，0)x2，x3，xn共有n1個(gè)數(shù)，所以B(0，)也只有n1個(gè)數(shù)由于，已有n1個(gè)數(shù)，對以下三角數(shù)陣注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)為xkx1()k1qk1，k1，2，n.29. 【xx上海,文23】對于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列an，記bkmaxa1，a2，ak(k1,2，m)，即bk為a1，a2，ak中的最大值，并稱數(shù)列bn是an的控制數(shù)列如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.(1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列an的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的an；(2)設(shè)bn是an的控制數(shù)列，滿足akbmk1C(C為常數(shù)，k1,2，m)，求證：bkak(k1,2，m)；(3)設(shè)m100，常數(shù)a(，1)，若，bn是an的控制數(shù)列，求(b1a1)(b2a2)(b100a100)【答案】(1) 參考解析;(2) 參考解析;(3) 2 525(1a)【解析】(1)數(shù)列an為：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.(2)因?yàn)閎kmaxa1，a2，ak，bk1maxa1，a2，ak，ak1，所以bk1bk.因?yàn)閍kbmk1C，ak1bmkC，所以ak1akbmk1bmk0，即ak1ak.因此，bkak.(3)對k1,2，25，a4k3a(4k3)2(4k3)；a4k2a(4k2)2(4k2)；a4k1a(4k1)2(4k1)；a4ka(4k)2(4k)比較大小，可得a4k2a4k3.因?yàn)閍1，所以a4k1a4k2(a1)(8k3)0，即a4k2a4k1；a4ka4k22(2a1)(4k1)0，即a4ka4k2.又a4k1a4k，從而b4k3a4k3，b4k2a4k2，b4k1a4k2，b4ka4k.因此(b1a1)(b2a2)(b100a100)(a2a3)(a6a7)(a98a99)(a4k2a4k1)(1a)(8k3)2 525(1a)30. 【xx上海,理22】已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an3n6，bn2n7(nN*)將集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，cn，.(1)寫出c1，c2，c3，c4；(2)求證：在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項(xiàng)恰為a2，a4，a2n；(3)求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式【答案】(1) 9,11,12,13; (2)參考解析; (3)參考解析【解析】(1)它們是9,11,12,13. (2)證明：數(shù)列cn由an、bn的項(xiàng)構(gòu)成，只需討論數(shù)列an的項(xiàng)是否為數(shù)列bn的項(xiàng)對于任意nN*，a2n13(2n1)66n32(3n2)7b3n2，a2n1是bn的項(xiàng)下面用反證法證明：a2n不是bn的項(xiàng)假設(shè)a2n是數(shù)列bn的項(xiàng)，設(shè)a2nbm，則32n62m7，與mN*矛盾結(jié)論得證 (3)b3k22(3k2)76k3，a2k16k3，b3k16k5，a2k6k6，b3k6k7，b3k2a2k1b3k1a2kb3k，k1,2,3，.所以，kN*.綜上，kN*.31. 【xx上海,文23】已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an3n6，bn2n7(nN*)將集合x|xan，nN*x|xbn，nN*中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，cn，.(1)求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列an中的項(xiàng)又是數(shù)列bn中的項(xiàng)；(2) c1，c2，c3，c40中有多少項(xiàng)不是數(shù)列bn中的項(xiàng)？請說明理由；(3)求數(shù)列an的前4n項(xiàng)和S4n(nN*)【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3) 【解析】 三項(xiàng)分別為. 分別為 ， 。32. 【xx上海,理20】 (本題滿分13分)本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由.【答案】（1）（2）（2）由（1）知， 解不等式SnSn+1，得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；同理可得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時(shí)，取得最小值【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和公式、不等式的解法以及方程和函數(shù)思想.本題的實(shí)質(zhì)是：已知遞推公式（，為常數(shù)）求通項(xiàng)公式.33. (xx上海,文23)已知an是公差為d的等差數(shù)列,bn是公比為q的等比數(shù)列.(1)若an=3n+1,是否存在m、kN*,有am+am+1=ak?請說明理由;(2)若bn=aqn(a,q為常數(shù),且aq0),對任意m存在k,有bmbm+1=bk,試求a、q滿足的充要條件;(3)若an=2n+1,bn=3n,試確定所有的p,使數(shù)列bn中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和是數(shù)列an中的一項(xiàng),請證明.【答案】(1) 不存在m、kN*, (2) a=qc,其中c是大于等于-2的整數(shù);(3) p為奇數(shù)【解析】（1）由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,整理后，可得,m、kN*,k-2m為整數(shù).不存在m、kN*,使等式成立.（2）當(dāng)m=1時(shí)，則b1b2=bk,a2q3=aqk.a=qk-3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整數(shù).反之,當(dāng)a=qc時(shí)，其中c是大于等于-2的整數(shù)，則bn=qn+c,顯然bmbm+1=qm+cqm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中k=2m+1+c.a、q滿足的充要條件是a=qc,其中c是大于等于-2的整數(shù).（3）設(shè)bm+1+bm+2+bm+p=ak,(*)當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，(*)式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，p為偶數(shù)時(shí)，（*）式不成立.由（*）式得,整理得3m+1(3p-1)=4k+2,當(dāng)p=1時(shí)，符合題意.當(dāng)p3,p為奇數(shù)時(shí)，3p-1=(1+2)p-1=由3m+1(3p-1)=4k+2,得,當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有m和k使上式一定成立.當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，命題都成立.34. 【xx上海,文21】（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分分，第2小題滿分分，第3小題滿分8分已知數(shù)列：，（是正整數(shù)），與數(shù)列：，（是正整數(shù)）記（1）若，求的值；（2）求證：當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，；（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在，中有4項(xiàng)為100求的值，并指出哪4項(xiàng)為100【答案】（1）4;（2）參考解析;（3）【解析】（1） .2分 .4分【證明】（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 當(dāng)n=1時(shí)，等式成立.6分 假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即那么當(dāng)時(shí)，8分等式也成立.根據(jù)和可以斷定：當(dāng).10分.13分 4m+1是奇數(shù)，均為負(fù)數(shù)， 這些項(xiàng)均不可能取到100. .15分此時(shí)，為100. 18分35. 【xx上海,理20】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。（1）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，試寫出的每一項(xiàng)（2）已知是項(xiàng)數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前xx項(xiàng)和 36. 【xx上海,文20】（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列”. 例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對稱數(shù)列”. （1）設(shè)是7項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，.依次寫出的每一項(xiàng)；（2）設(shè)是項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求各項(xiàng)的和；（3）設(shè)是項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.求前項(xiàng)的和. 【答案】（1）;（2）67108861;（3）參考解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得 ，數(shù)列為. （2） 67108861. （3）. 由題意得 是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， .綜上所述， 37. 【xx上海,理21】（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)2），首項(xiàng)2設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且2（1，2，21），其中常數(shù)1（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若2，數(shù)列滿足（1，2，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|4，求的值【答案】（1）參考解析;（2）bn ;（3）k=2,3,4,5,6,7解(2)由(1)得an=2a, a1a2an=2a=2a=a,bn=(n=1,2,2k).（3）設(shè)bn,解得nk+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)nk時(shí), bn.原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 當(dāng)4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立.38. 【xx上海,文20】（本題滿分14）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意正整數(shù)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對數(shù)列，從第幾項(xiàng)起？【答案】（1）an=2048()n1;（2）第46項(xiàng)起【解析】(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048.當(dāng)n2時(shí), an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an= an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n,Tn=(n2+23n).由Tn,而n是正整數(shù),于是,n46.從第46項(xiàng)起Tn509. 39. 【xx上海,理20】（本題滿分18分）本題共3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（2） 若，求的取值范圍；（3） 若是公比為等比數(shù)列，求的取值范圍；（4） 若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列的公差.【答案】（1）；（2）；（3）的最大值為xx，此時(shí)公差為.【解析】試題分析：（1）比較容易，只要根據(jù)已知列出不等式組，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又有條件，這時(shí)還要忘記分類討論，時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，有，解這不等式時(shí)，分類，分和進(jìn)行討論；（3）由已知可得，這樣我們可以首先計(jì)算出的取值范圍是，再由，可得，從而，解得，即最大值為xx，此時(shí)可求得試題解析：（1）由題得，（2）由題得，且數(shù)列是等比數(shù)列，.又，當(dāng)時(shí)，對恒成立，滿足題意.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可得，解得，當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可得，解得，（3）由題得，且數(shù)列成等差數(shù)列，,所以時(shí)，時(shí)，所以又，解得，的最大值為xx，此時(shí)公差為【考點(diǎn)】解不等式（組），數(shù)列的單調(diào)性，分類討論，等差（比）數(shù)列的前項(xiàng)和.