2019-2020年高中數學 第三章 函數的應用 第1節(jié) 函數與方程（3）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數學 第三章 函數的應用 第1節(jié) 函數與方程（3）教案 新人教A版必修1 教學內容分析　　　 本節(jié)選自《普通高中課程標準實驗教科書數學1》人教A版第三單元第一節(jié)第二課，主要是分析函數與方程的關系．教材分三步來進行：第一步，從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應函數的零點的聯系．然后推廣為一般方程與相應函數的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖象和性質來研究方程的解，體現方程和函數的關系；第三步，在函數模型的應用過程中，通過函數模型以及模型的求解，更全面地體現函數與方程的關系，逐步建立起函數與方程的聯系． 本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分法求方程的近似解．它以上節(jié)課的“連續(xù)函數的零點存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據，從求方程近似解這個側面來體現“方程與函數的關系”；而且在“用二分法求函數零點的步驟”中滲透了算法的思想，為學生后續(xù)學習算法的內容埋下伏筆；充分體現新課程“滲透算學方法，關注數學文化以及重視信息技術應用”的理念．求方程近似解其中隱含“逼進”的數學思想，并且運用“二分法”來逼近目標是一種普通而有效的方法，其關鍵是逼近的依據． 學生學習情況分析　　　 同學們有了第一節(jié)課的基礎，對函數的零點具備基本的認識；而二分法來自生活，是由生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發(fā)學生的學習興趣，達到滲透數學思想關注數學文化的目的，學生也能夠很容易理解這種方法．其中運用“二分法”進行區(qū)間縮小的依據、總結出“運用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運用到生活實際，是需要學生“跳跳”才能摘到的“桃子”． 設計理念　　　　　 本節(jié)課倡導積極主動、勇于探索的學習方式，應用從生活實際——理論——實際應用的過程，應用數形結合、圖表、信息技術，采用教師引導——學生探索相結合的教學方法，注重提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，讓學生經歷直觀感知、觀察發(fā)現、抽象與概括、符號表示、運算求解、數據處理、反思與建構等思維過程． 教學目標　　　　　 1．理解二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法；利用信息技術輔助教學，讓學生用計算器自己驗證求方程近似值的過程； 2．體會二分法的思想和方法，使學生意識到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學生探究問題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴謹的科學態(tài)度； 3．體驗并理解函數與方程的相互轉化的數學思想方法；感受正面解決問題困難時，通過迂回的方法使問題得到解決的快樂． 教學重點與難點　　 教學重點：能夠借用計算器用二分法求相應方程的近似解，根所在區(qū)間的確定及逼近的思想． 教學難點：對二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長度的縮?。? 1．教學基本流程圖 2.教學情境設計 教學設計 學情預設 設計意圖 知識鏈接 創(chuàng) 設 情 境 ， 引 出 課 題 1．大家都看過李詠主持的〈幸運52〉吧，今天咱也試一回(出示游戲)． 2．競猜中，“高了”、“低了”的含義是什么？如何確定價格的最可能的范圍？ 3．如何才能更快地猜中商品的預定價格？ 4．“二分”的思路是什么？ 1.教師從學生熟悉的電視節(jié)目，引導學生體會、分析、歸納迅速猜價的方法． 2．學生能夠主動參與游戲，并且參與游戲的同學可以比較并總結經驗．學生會有很多種方案． 3．對于“問題2”學生能夠順利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判斷價格所在區(qū)間的依據”這個結論． 4．此時教師通過“問題3”引導學生進行比較哪種方法更快更好．從中學生可以得到用二分法解決問題的思路——二分指的是將解所在區(qū)間平均地分為兩個區(qū)間. 1.利用視屏與游戲的形式，學生會踴躍參與；商品價格競猜也是學生熟悉的，競猜的方法會很多樣，可以進行競賽． 2．通過問題2，啟發(fā)學生尋找確定區(qū)間的依據，為后面探索“用二分法求方程近似解”的時候埋下伏筆． 3．通過游戲，讓學生經歷游戲過程，感受數學來自生活，激發(fā)學生的學習興趣；引導學生善于發(fā)現身邊的數學，培養(yǎng)學生的歸納演繹的能力；學會將實際情境轉化為數學模型． 4．通過比較不同的方法得出最快的競猜的方法——二分法． 師 生 探 究 ， 構 建 新 知 　　1.上節(jié)課我們學了什么定理，它的作用是什么？還有什么問題沒有解決？ 2．已知函數f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內存在一個零點；如何求出方程ln x＋2x－6＝0在區(qū)間(2,3)的近似解(精確度為0.01)？與剛才的游戲是否有類似之處？ 3．精確度的含義是什么？怎樣的區(qū)間才算滿足設定的精確度？ 4．區(qū)間(2,3)的精確度為多少？ 5．如何將零點所在的范圍縮小(即如何將精確度縮小)？縮小的依據是什么？ 　　1.教師通過“問題1”對上節(jié)課的內容進行復習引入，點出今天的課題．并且有前面游戲作為伏筆，學生能夠得出“連續(xù)函數零點存在定理”是判斷方程的根所在區(qū)間的依據． 2．通過“問題2”應用具體的題目引導學生進行思考．學生通過引導將方程的解與商品的價格聯系到一起，運用剛才的游戲的經驗，得到縮小區(qū)間的想法． 3．學生對精確度的概念可能有所遺忘．教師可以借助數軸解釋說明精確度的含義，引導學生思考什么時候停止操作． 4．教師通過“問題4～6”引導學生將“二分法”與“零點存在定理”相結合得到正確的新的零點所在的區(qū)間．并確定結束的時間. 　　[設計意圖] 1．開門見山，延續(xù)上一節(jié)課的內容繼續(xù)深入的研究，使得知識有一個鏈接，讓學生能夠很容易地將新知識建構到舊的知識體系中． 2．運用問題1，將學生的思路與前面已解決的問題聯系起來，引導學生層層深入，抽絲撥繭，學習如何分析問題、如何利用新的知識解決問題；培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，以及運用知識、駕馭知識的能力． 3．師生的互動有利于一邊引導一邊總結．將二分法應用于解決實際問題，即將新的知識應用于解決新的問題．培養(yǎng)學生實際應用的能力，加強解決問題的嚴謹性，總結知識的邏輯性．使得最后方法的總結能夠順利進行． 4．有了前面的商品競猜過程的經歷，學生比較容易入手，分析比較容易到位，從而降低思維的難度． 續(xù)表 教學設計 學情預設 設計意圖 知識鏈接 師 生 探 究 ， 構 建 新 知 6．如何利用今天“猜價格”——“二分法”的逼近思想來縮小區(qū)間？ 7．近似解是多少？ 5.學生按照游戲的方法也就是按照“二分法”的思路，不斷縮小零點存在的區(qū)間，進行具體操作，填出(附錄1)中的表格．表格剛開始的前幾行學生可能會比較慢，也有可能會出錯；通過多次的重復以及經驗的總結，后面的表格可以正確的、快速地回答出來；使得最后的“應用二分法求函數的零點”的方法的總結更加順利． 6．對于“問題7”學生不太容易得到比較簡潔的結論．教師可以進行解釋說明：“由于整個區(qū)間內的數均滿足精確度的條件，因此區(qū)間內的所有數均可以作為近似解，但區(qū)間端點a，b是已知的值，所以可以取a或b作為近似解．”，最后得到方程的近似解(附錄1的表格后面的內容). [知識鏈接] 1．函數零點存在定理：如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．精確度是對同一個量的不同近似數的精確程度的度量．一般是：一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位． 形 成 概 念 ， 深 化 提 高 1.我們剛才的求解過程中有哪些過程是一直重復出現的？ 2．我們取其一段，大家看如何用數學語言來描述？ 3．點明求方程的近似解的“二分法”：對于在區(qū)間(a，b)上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)<0的函數y＝f(x)，通過不斷地把方程的解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近近似解，進而得到近似解的方法叫二分法. 4.進一步提出問題： 運用二分法求方程的近似解的步驟是什么？ 5．運用二分法的前提是什么(游戲開始時要先做什么工作)？引例條件的內涵是什么？ 6．二分法的實質是什么？它有什么作用？ 　　學生經過老師“問題1～2”的提示與引導，可以得到“取區(qū)間的中點，計算函數值，比較符號，確定新的區(qū)間”這樣的相同的過程． 學生根據“二分法”的定義進行歸納總結：運用二分法求方程的近似解的步驟(附錄2)．其中步驟①“畫圖或利用函數值的正負，確定初始區(qū)間(a，b)，驗證f(a)f(b)<0”；學生很有可能會有遺漏．此時可以提出“問題5”引導學生回憶、思考，從而得到運用二分法的前提——即步驟①. 對于“問題6”，較好的學生才能回答出來. 　　[設計意圖] 1．不斷的引導，將剛才的解題過程經過“自然語言——數學語言——去其糟粕取其精華——具體步驟”的過程，幫助學生學會歸納總結的方法． 2．課間的及時總結有利于學生對當前所學的內容進行升華，了解自己掌握了什么知識，在后面的做題中可以有法可依，可以提高解題的正確率，增強自信． 3．問題6的設計是將學生的思維進一步升華，不再停留在技能這一個層次，而是上升為數學思想方法的層次. [知識鏈接] 1．運用二分法的前提是要先判斷根在某個所在的區(qū)間． 2．二分法實際上是通過縮小區(qū)間長度尋找解的一種方法． 續(xù)表 教學設計 學情預設 設計意圖 知識鏈接 課 內 練 習 及 課 后 作 業(yè) 1.練習：(1)(2)題為例題仿照題，由同桌協(xié)助完成．(3)(4)考查二分法的含義，由同學獨立完成，可以尋求幫助．(附錄4) 2．思考：兩道題均為實際應用題，為學有余力的同學提高能力．(附錄4) 3．課后作業(yè)：習題3.1 A組3、4；B組1、2. 　　練習1.(1)(2)經過同桌兩位同學合作可以順利完成．(3)(4)獨立完成如果有困難的同學在同伴或老師的幫助下可以完成． 練習2實際應用：學有余力的同學與同伴合作探討，也可以解決. 　　[設計意圖] 1．不同層次的題目，層層遞進，不斷提高學生的能力．不僅鞏固新學的知識，而且讓不同層次的學生得到不同的收獲； 2．培養(yǎng)合作、互助精神； 3．培養(yǎng)學生應用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實際問題． 本 課 小 結 　　請同學們回顧一下本節(jié)課的教學過程，你覺得你已經掌握了哪些知識？ 　　教師通過點名提問，學生借助教師的幫助對整節(jié)課進行最后的歸納總結，得到以下兩點：(1)二分法是一種求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法來解一元方程近似解的操作步驟(附錄3). 　　[設計意圖] 學生的歸納總結的能力不強，需要不斷的培養(yǎng)；課后的總結有利于學生對整節(jié)課的內容進行升華，了解自己掌握了什么知識，養(yǎng)成良好的學習習慣，建立自信心. 1．本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實際、從學生熟知的現實生活、從學生喜愛的游戲——“競猜商品的價格”入手，引導學生進入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游戲？與學生一道進行新知識的探索過程——二分法的得來；再將二分法充分地運用在函數零點的求解上；最后將二分法求解函數零點的過程程序化”；暗線：“生活實際(特殊)——二分法的理論(一般)——二分法的應用(特殊)”．讓學生經歷知識的形成與應用過程，培養(yǎng)發(fā)現問題、提出問題、解決問題的能力，體現數學的基礎性、時代性、典型性和可接受性，體會數學來自生活，應用于生活的最高境界，感受數學之美． 2．引入課題的方式，(1)從生活中的常見現象——“商品價格的競猜”引入；(2)開門見山——“繼續(xù)前面的研究”引入． (附錄1)解：設f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取區(qū)間的中點，再計算中點的函數值，接著應用“零點存在定理”確定零點所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表： 區(qū) 間 中點 中點函數值 精確度 2 3 2.5 －0.083 709 268 1 2.5 3 2.75 0.511 600 912 0.5 2.5 2.75 2.625 0.215 080 896 0.25 2.5 2.625 2.562 5 0.065 983 344 0.125 2.5 2.562 5 2.531 25 －0.008 786 748 0.062 5 2.531 25 2.562 5 2.546 875 0.028 617 117 0.031 25 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 0.009 919 918 0.015 625 2.531 25 2.539 062 5 2.535 156 25 0.000 567 772 0.007 813 2.531 25 2.535 156 25 2.533 203 125 －0.004 109 191 0.003 906 2.533 203 125 2.535 156 25 2.534 179 688 －0.001 770 635 0.001 953 2.534 179 688 2.535 156 25 2.534 667 969 －0.000 601 413 0.000 977 2.534 667 969 2.535 156 25 2.534 912 109 －1.681 5710－5 0.000 488 所以，當精確度為0.01時，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，因此我們可以將x＝2.531 25作為函數f(x)＝ln x＋2x－6零點的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值． (附錄2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步驟： ①畫圖或利用函數值的正負，確定初始區(qū)間(a，b)，驗證f(a)f(b)<0； ②求區(qū)間(a，b)的中點x1(x1＝)； ③計算f(x1)：若f(x1)＝0，則x1就是函數f(x)的零點，x1就是f(x)＝0的根，計算終止； 若f(a)f(x1)<0，則選擇區(qū)間(a，x1)； 若f(a)f(x1)>0，則選擇區(qū)間(x1，b)； ④循環(huán)操作②、③，直到當區(qū)間的精確度達到事先指定的精確度ε(若是要求精確到ε，兩端點精確到同一個近似值時才終止計算)． (附錄3) 1．練習：(1)應用計算器，求方程x3＋3x－1＝0的一個正的近似解． (2)應用計算器，求方程2x＋x＝4的近似解． (3)用二分法判斷方程2x＝x2的根的個數(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情況是(　　) A．僅有一根 B．有一正根一負根 C．有兩負根 D．無實根 2．思考：(1)從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數為幾個？ (2)一天，泉州七中校區(qū)與現代中學(分校)校區(qū)的電纜線路出了故障(相距大約10 km)，電工是怎樣檢測的呢？ 答案：略