2019-2020年高考數學大二輪總復習 增分策略 第四篇 第6講 解析幾何.doc

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2019-2020年高考數學大二輪總復習 增分策略 第四篇 第6講 解析幾何 1．直線的傾斜角與斜率 (1)傾斜角的范圍為[0，π)． (2)直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即k＝tan α(α≠90)；傾斜角為90的直線沒有斜率；②斜率公式：經過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為k＝(x1≠x2)；③直線的方向向量a＝(1，k)；④應用：證明三點共線：kAB＝kBC. [問題1]　(1)直線的傾斜角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？ (2)直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是____________________． 2．直線的方程 (1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x軸的直線． (2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為y＝kx＋b，它不包括垂直于x軸的直線． (3)兩點式：已知直線經過P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點，則直線方程為＝，它不包括垂直于坐標軸的直線． (4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為＋＝1，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線． (5)一般式：任何直線均可寫成Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)的形式． [問題2]　已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為________________________________________________________________________． 3．點到直線的距離及兩平行直線間的距離 (1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝； (2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [問題3]　兩平行直線3x＋2y－5＝0與6x＋4y＋5＝0間的距離為________． 4．兩直線的平行與垂直 (1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(兩直線斜率存在，且不重合)，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1k2＝－1. (2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有l(wèi)1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 特別提醒：(1)＝≠、≠、＝＝僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件；(2)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線． [問題4]　設直線l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當m＝________時，l1∥l2；當m＝________時，l1⊥l2；當________時l1與l2相交；當m＝________時，l1與l2重合． 5．圓的方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有當D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圓心為(－，－)，半徑為的圓． [問題5]　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a＝________. 6．直線、圓的位置關系 (1)直線與圓的位置關系 直線l：Ax＋By＋C＝0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相離、相切．可從代數和幾何兩個方面來判斷： ①代數方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交；Δ<0?相離；Δ＝0?相切；②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則dr?相離；d＝r?相切． (2)圓與圓的位置關系 已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則①當|O1O2|>r1＋r2時，兩圓外離；②當|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；③當|r1－r2|<|O1O2|b>0)；焦點在y軸上，＋＝1(a>b>0)． (2)雙曲線的標準方程：焦點在x軸上，－＝1(a>0，b>0)；焦點在y軸上，－＝1(a>0，b>0)． (3)與雙曲線－＝1具有共同漸近線的雙曲線系為－＝λ(λ≠0)． (4)拋物線的標準方程 焦點在x軸上：y2＝2px(p>0)； 焦點在y軸上：x2＝2py(p>0)． [問題8]　與雙曲線－＝1有相同的漸近線，且過點(－3,2)的雙曲線方程為________________________________________________________________________． 9．(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數是否為零，利用解的情況可判斷位置關系：有兩解時相交；無解時相離；有唯一解時，在橢圓中相切．在雙曲線中需注意直線與漸近線的關系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關系，而后判斷是否相切． (2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長 |P1P2|＝或|P1P2|＝. (3)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于C(x1，y1)、D(x2，y2)，則①焦半徑|CF|＝x1＋； ②弦長|CD|＝x1＋x2＋p；③x1x2＝，y1y2＝－p2. [問題9]　已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為________． 例1　已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是______． 錯因分析　本題易出現的錯誤有兩個：一是利用導函數的幾何意義求出曲線在點P處的切線的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范圍；二是混淆直線傾斜角的取值范圍以及直線的傾斜角和斜率之間的關系，不能求出傾斜角的取值范圍． 解析　設曲線在點P處的切線斜率為k， 則k＝y(tǒng)′＝＝， 因為ex＞0，所以由基本不等式， 得k≥ 又k＜0，所以－1≤k＜0， 即－1≤tan α＜0.所以≤α＜π. 答案　[，π) 易錯點2　忽視直線的特殊位置 例2　已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值． 錯因分析　本題易出現的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a＝0的情況． 解　當直線斜率不存在，即a＝0時，有l(wèi)1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2； 當直線斜率存在時，l1∥l2?－＝?a＝－， 經檢驗，a＝－符合題意． 故使l1∥l2的a的值為－或0. 易錯點3　焦點位置考慮不全 例3　已知橢圓＋＝1的離心率等于，則m＝_____________________________. 錯因分析　本題易出現的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導致漏解．該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標軸，所以應該根據其焦點所在坐標軸進行分類討論． 解析?、佼敊E圓的焦點在x軸上時， 則由方程， 得a2＝4，即a＝2.又e＝＝， 所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝22－()2＝1. ②當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 則由方程，得b2＝4，即b＝2. 又e＝＝，故＝， 解得＝，即a＝2b， 所以a＝4.故m＝a2＝16. 綜上，m＝1或16. 答案　1或16 易錯點4　忽視“判別式”致誤 例4　已知雙曲線x2－＝1，過點A(1,1)能否作直線l，使l與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． 錯因分析　只利用根與系數的關系考慮中點坐標，而忽視直線與雙曲線相交于兩點的條件． 解　設被A(1,1)所平分的弦所在直線方程為 y＝k(x－1)＋1. 代入雙曲線方程x2－＝1，整理得， (2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0， 由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0， 解得k<. 設直線與雙曲線交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根與系數的關系，得x1＋x2＝， 點A(1,1)是弦中點，則＝1. ∴＝1，解得k＝2>， 故不存在被點A(1,1)平分的弦． 易錯點5　求離心率范圍忽視特殊情況 例5　雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的兩個焦點為F1、F2，若P為雙曲線上一點，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為________． 錯因分析　忽視P為雙曲線右頂點的情況，導致離心率范圍縮?。? 解析　設|PF2|＝m，∠F1PF2＝θ (0<θ≤π)， 當點P在右頂點處時，θ＝π. e＝＝＝＝3. 當θ≠π時，由條件，得|PF1|＝2m，|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ， 且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝＝＝. 又－10，b>0)的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝2相交，則此雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(1,2) C．(1，) D．(，＋∞) 5．已知點F1、F2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右兩個焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|＋|的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．2 6．(xx課標全國Ⅰ)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 7．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________． 8．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，經過F的直線與拋物線交于A、B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則△AKF的面積是________． 9．(xx蘭州、張掖聯(lián)考)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是______________． 10．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點F向其一條漸近線作垂線，垂足為M，已知∠MFO＝30(O為坐標原點)，則該雙曲線的離心率為________． 11．已知點A(－2,0)，B(2,0)，過點A作直線l與以A，B為焦點的橢圓交于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與圓x2＋y2＝1相切，則該橢圓的標準方程是________． 學生用書答案精析 6．解析幾何 要點回扣 [問題1]　(1)錯　(2)[0，]∪[，π) [問題2]　5x－y＝0或x＋y－6＝0 [問題3]　 [問題4]?。?　　m≠3且m≠－1　3 [問題5]?。? [問題6]　內切 [問題7]　＋＝1 [問題8]?。? [問題9]　 解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為＝. 查缺補漏 1．D　[方法一　如圖，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B. 由題意知|OP|＝2， |OA|＝1， 則sin α＝， 所以α＝，∠BPA＝. 故直線l的傾斜角的取值范圍是. 方法二　設過點P的直線方程為y＝k(x＋)－1，則由直線和圓有公共點知≤1. 解得0≤k≤.故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]．] 2．A　[因為00.過點B作拋物線的準線的垂線，垂足為B1，則有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有 |CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直線AB與x軸的夾角為. 又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝2，因此△AKF的面積等于 |AK|y1＝42＝4. 9．y2＝3x 解析　如圖，分別過點A，B作準線的垂線AE，BD，分別交準線于點E，D，則|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30，又|AE|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝6， 即點F是AC的中點，根據題意得p＝，∴拋物線的方程是y2＝3x. 10．2 解析　由已知得點F的坐標為(c,0)(c＝)， 其中一條漸近線方程為bx－ay＝0， 則|MF|＝＝b， 由∠MFO＝30可得＝＝cos 30＝， 所以＝， 所以e＝＝2. 11.＋＝1 解析　根據題意，知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，①由題意設橢圓方程為＋＝1(a2＞4)，② 由直線l與圓x2＋y2＝1相切，得＝1，解得k2＝. 將①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，設點M的坐標為(x1，y1)，點N的坐標為(x2，y2)， 由根與系數的關系， 得x1＋x2＝－.又線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，所以|x1＋x2|＝，即－＝－， 解得a2＝8. 所以該橢圓的標準方程為＋＝1.