2019-2020年高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案1 湘教版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案1 湘教版必修2 [教學(xué)目標(biāo)] 一、知識與技能 了解周期函數(shù)的概念，會判斷一些簡單的、常見的函數(shù)的周期性，并會求一些簡單三角函數(shù)的周期。 二、過程與方法 從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實(shí)際背景，通過對實(shí)際背景（現(xiàn)實(shí)原型）的分析、概括與抽象、建立周期函數(shù)的概念，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，最后運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 培養(yǎng)數(shù)學(xué)來源與生活的思維方式，體會從感性到理性的思維過程，理解未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)方法。 [教學(xué)重點(diǎn)] 周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。 [教學(xué)難點(diǎn)] 周期函數(shù)的概念 [設(shè)計(jì)思路] 創(chuàng)設(shè)情境，從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，通過對P點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一模型的分析，引入周期函數(shù)的概念。 在研究P點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出了y=f(t)的圖象；并在研究了三角函數(shù)的周期后，給出了y=sinx的圖象，讓學(xué)生從圖象上對函數(shù)的周期加深理解，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。 在講解例2時(shí)，充分利用解方程的思想，讓學(xué)生更易理解。 [教學(xué)過程] 一、創(chuàng)設(shè)情境 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是從星期一到星期日，地球每天都繞著太陽自轉(zhuǎn)，公共汽車沿著固定線路一趟又一趟地往返……，這一些都給我們循環(huán)、重復(fù)的感覺，可以用“周而復(fù)始”來描述，這就叫周期現(xiàn)象。 二、學(xué)生活動(dòng) （P點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)）如圖，點(diǎn)P自點(diǎn)A起，繞圓周按逆時(shí)針方向進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 顯然點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)。 設(shè)圓的半徑為2，每4分鐘運(yùn)動(dòng)一周。設(shè)P到A的距離為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則y是t的函數(shù)，記為 y=f(t). 則f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0，（位置在A點(diǎn)） f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4，（位置在C點(diǎn)） 一般地，點(diǎn)P運(yùn)行t分鐘到達(dá)的位置與運(yùn)行(t+4)分鐘到達(dá)的位置相同，由此能得到這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式：f(t+4)=f(t) 想一想：f(t+8)、f(t+12)與f(t)有什么關(guān)系？說明它們的實(shí)際意義。 [f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，運(yùn)行時(shí)間不等，但最終位置相同] 可以用描點(diǎn)法畫出這個(gè)函數(shù)的圖象（如圖） 它的特征是：在區(qū)間(0,4)(4,8)(8,12) …內(nèi)重復(fù)。 我們將上面的函數(shù)y=f(t)稱為周期函數(shù)。 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 一般地，對于函數(shù)f（x），對定義域內(nèi)的每一個(gè)x的值，每增加或減少一個(gè)不為零的定值T，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)就叫做周期函數(shù)，即f(x+T)= f(x)。 （一）、周期函數(shù)及周期的定義 周期函數(shù)定義如下：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)= f(x)，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 前面函數(shù)y=f(t)的周期可以認(rèn)為是4、8、12、…… （二）、最小正周期的概念. 對于一個(gè)函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期. 注意 今后不加特殊說明，涉及的周期都是最小正周期. 顯然上面的函數(shù)y=f(t)的周期T=4. (三)、三角函數(shù)的周期 思考：正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)嗎？即能否找到非零常數(shù)T，使sin(T+x)= sinx成立？ [sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根據(jù)周期函數(shù)定義判斷它是周期函數(shù)，又根據(jù)周期的規(guī)定，它的周期T=2π（最小正值）] 用幾何畫板展示周期函數(shù)y=sinx的圖象，使學(xué)生感知其特征。 討論：余弦函數(shù)y=cosx和正切函數(shù)y=tanx也是周期函數(shù)，并找出它們的周期。 [周期分別是2π、π] 四、數(shù)學(xué)運(yùn)用 例1若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。 （1） 求該函數(shù)的周期； （2） 求t=10s時(shí)鐘擺的高度。 分析：周期可由兩頂點(diǎn)間距離確定，此函數(shù)周期T=1.5； 根據(jù)函數(shù)的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－21.5)= ……=f(10－1.5k)(其中k為整數(shù))，直到10－1.5k=1或2.5為止，即f(10)=f(1)=20. 解：(略) 例2 求函數(shù)f(x)=cos3x的周期。 解：設(shè)周期為T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T) 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3. ∴函數(shù)f(x)=cos3x的周期2π/3. 注意：①運(yùn)用了換元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)對任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期與f(u)=cosu的周期是兩個(gè)不同的概念。 例3．求下列函數(shù)的最小正周期T. （1） （2） （3） 解：（1） （2） ∴ 函數(shù)的最小正周期為π. （3） ∴ 函數(shù)的最小正周期為4π. 總結(jié)一般規(guī)律：的最小正周期是. 令 ，由的周期是， 則 因而自變量只要并且至少要增加到，即。 例4．求證：（1）的周期為π； （2） 證明：（1） （2） ∴ 總結(jié)：（1）一般函數(shù)周期的定義 （2）周期求法 嘗試練習(xí) (1)求g(x)=2sin()的周期。 (2)證明函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的周期. 結(jié)論:一般的，周期函數(shù)y=Asin(ωx+ )及y=Acos(ωx+ )(其中A，ω，為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T= . 五、回顧反思 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ 1.周期函數(shù)、周期概念。 一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 2.函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx是周期函數(shù),且周期均為2π. 3.函數(shù)y=tanx是周期函數(shù),且周期均為π. 4. 周期函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A，ω，φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期的求法。 六、課外作業(yè)： 1、舉例說明周期現(xiàn)象。. 2.、課本 3、設(shè)m、p、q為自然數(shù)，m除以5所得的商是p且余數(shù)是q(q<5). 顯然q是m的函數(shù)，記q=f(m). (1)寫出這函數(shù)的值域；(2)這函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，則寫出周期；若不是，則說明理由。 七、設(shè)計(jì)說明： 1、由可感受、能理解的實(shí)例出發(fā)，感性的認(rèn)識周期函數(shù)的概念。 比如創(chuàng)設(shè)情境，從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，建立P點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一模型 。本節(jié)課的難點(diǎn)在于周期函數(shù)概念的理解，因此在講解概念之前，通過現(xiàn)實(shí)情境幫助理解周期運(yùn)動(dòng)，在此基礎(chǔ)上理解周期函數(shù)的概念就不太困難了。 2、通過對P點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)這一模型的分析，引入周期函數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由具體到抽象、由特殊到一般的過程。 3、新課程的一個(gè)重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在處理例2的過程中，由于課本的解法學(xué)生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根據(jù)周期函數(shù)的概念列出方程，解出周期T,從而降低了難度。 4、在教學(xué)過程中，我設(shè)計(jì)一些思考與練習(xí)，變由老師講解為學(xué)生思考、探究，發(fā)展了學(xué)生的思維能力。 第二課時(shí) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 課型:新授課 課時(shí)計(jì)劃:本課題共安排一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo): 1、能借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象 2、掌握五點(diǎn)法作正、余弦函數(shù)圖象的方法，并會用此方法畫出上的正弦曲線、余弦曲線 教學(xué)重點(diǎn)： 正、余弦函數(shù)的圖象的畫法 教學(xué)難點(diǎn)： 借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象 教學(xué)過程： 一、 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 為了更加直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作出它們的圖象，那么該怎樣作出正、余弦函數(shù)的圖象？ 二、 新課講解 1、正弦函數(shù)圖象的畫法 先畫正弦函數(shù)的圖象。由于是以為周期的周期函數(shù)，故只要畫出在上的圖象，然后有周期性就可以得到整個(gè)圖象。 （1）幾何法：利用單位圓中的正弦線來作出正弦函數(shù)圖象 （注：如何作出函數(shù)圖象上的一個(gè)點(diǎn)，如點(diǎn)？ 不妨設(shè)，如圖所示，在單位圓中設(shè)弧的長為，則。所以點(diǎn)是以弧的長為橫坐標(biāo)，正弦線的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn)。） 作法步驟：將單位圓十二等份，相應(yīng)地把軸上從0到這一段分成12等份。把角的正弦線向右平移使它的起點(diǎn)與軸上表示的點(diǎn)重合，再用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象。 最后只要將函數(shù)， 的圖象向左、右平移（每次個(gè)單位），就可以得到正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線。 （2）五點(diǎn)法：在函數(shù)的圖象上，有5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，注意正弦曲線的走向，將這五點(diǎn)用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的簡圖。 2、余弦函數(shù)圖象的畫法 （1）幾何畫法：利用余弦線來作出余弦函數(shù)的圖象 （2）由正弦函數(shù)的圖象依據(jù)誘導(dǎo)公式變換可得到 由 可知將的圖象向左平移個(gè)單位幾得到的圖象。 （3） 五點(diǎn)法：在函數(shù)，的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為，利用此五點(diǎn)作出的簡圖。 三、例題剖析： 例1、用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的簡圖： （1）， （2）， 解：（1）先用“五點(diǎn)法”畫一個(gè)周期的圖象，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 0 -2 0 2 描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象； （圖略） （2）列表： 0 0 0 1 0 -1 0 描點(diǎn)畫圖，然后由周期性得整個(gè)圖象 （圖略） 四、練習(xí) 1、畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系： （1） （2） 2、畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與余弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系： （1） （2） 五、課堂小結(jié)： 1、正弦函數(shù)的幾何畫法； 2、五點(diǎn)法作圖 第三課時(shí) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 課型：新授課 課時(shí)計(jì)劃：本課題共安排一課時(shí) 教學(xué)目標(biāo)： 1、掌握正、余弦函數(shù)的定義域和值域； 2、進(jìn)一步理解三角函數(shù)的周期性和奇偶性的概念，會求它們的周期，會判斷它們的奇偶性； 3、能正確求出正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學(xué)重點(diǎn)： 正、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)： 正、余弦函數(shù)的單調(diào)性 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 我們已經(jīng)知道正、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，那它們除此之外還有哪些性質(zhì)呢？ 二、新課講解 ㈠知識要點(diǎn)： 1、定義域： 函數(shù)及的定義域都是，即實(shí)數(shù)集 2、值域： 函數(shù)，及，的值域都是 理解：（1）在單位圓中，正弦線、余弦線的長都是等于或小于半徑的長1的，所以， ，即，。 （2）函數(shù)在時(shí)，取最大值1，當(dāng)，時(shí)，取最小值-1；函數(shù)在，時(shí)，取最大值1，當(dāng)，時(shí)，取最小值-1。 3、周期性 正弦函數(shù)，和余弦函數(shù)，是周期函數(shù)，都是它們的周期，最小正周期是。 4、奇偶性 正弦函數(shù)，是奇函數(shù)，余弦函數(shù)，是偶函數(shù)。 理解：（1）由誘導(dǎo)公式，可知以上結(jié)論成立； （2）反映在圖象上，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱，余弦曲線關(guān)于軸對稱。 5、單調(diào)性 （1）由正弦曲線可以看出：當(dāng)由增大到時(shí)，曲線逐漸上升，由-1增大到1；當(dāng)由增大到時(shí)，曲線逐漸下降，由1減至-1，由正弦函數(shù)的周期性知道： ①正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從-1增大到1，是增函數(shù)； ②在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從1減小到-1，是減函數(shù)。 （2）由余弦曲線可以知道： ①余弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上，都從-1增大到1，是增函數(shù)； ②在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從1減小到-1，是減函數(shù)。 練習(xí)：不求值，分別比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。? （1）與； （2）與 ㈡例題剖析 例3、求下列函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合： （1）； （2） 例4、求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。 ㈢練習(xí)： 求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的值域；