2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案 北師大版選修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《變化率與導(dǎo)數(shù)》教案 北師大版選修2 1變化的快慢與變化率 第一課時(shí) 變化的快慢與變化率——平均變化率 一、教學(xué)目標(biāo):1、理解函數(shù)平均變化率的概念; 2、會(huì)求給定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率,并能根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢。 二、教學(xué)重點(diǎn):從變化率的角度重新認(rèn)識(shí)平均速度的概念,知道函數(shù)平均變化率就是函數(shù)在某區(qū)間上變化的快慢的數(shù)量描述。 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)平均速度的數(shù)學(xué)意義的認(rèn)識(shí) 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的,可以說它是繼歐氏幾何后,全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。 從微積分成為一門學(xué)科來說,是在十七世紀(jì),但是,微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前三世紀(jì),古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想。十七世紀(jì),有許多科學(xué)問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來,大約有四種主要類型的問題: 第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的,也就是求即時(shí)速度的問題。 第二類問題是求曲線的切線的問題。 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,如法國(guó)的費(fèi)爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國(guó)的巴羅、瓦里士;德國(guó)的開普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 十七世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個(gè)是切線問題(微分學(xué)的中心問題),一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量,因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析,這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變量是由點(diǎn)、線、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量,把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是:已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度(微分法);已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn),這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用于分式和無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章,卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號(hào)和基本微分法則。1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,運(yùn)用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 研究函數(shù),從量的方面研究事物運(yùn)動(dòng)變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數(shù)學(xué)分析。 本來從廣義上說,數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科,但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來,數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞,一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。 微分學(xué)的主要內(nèi)容包括:極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。 積分學(xué)的主要內(nèi)容包括:定積分、不定積分等。 微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的,最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后,微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用,特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。 (二)、探析新課 問題1:物體從某一時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng),設(shè)s表示此物體經(jīng)過時(shí)間t走過的路程,顯然s是時(shí)間t的函數(shù),表示為s=s(t) 在運(yùn)動(dòng)的過程中測(cè)得了一些數(shù)據(jù),如下表: t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m 0 6 9 20 32 44 … 物體在0~2s和10~13s這兩段時(shí)間內(nèi),那一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快? 分析:我們通常用平均速度來比較運(yùn)動(dòng)的快慢。 在0~2s這段時(shí)間內(nèi),物體的平均速度為; 在10~13s這段時(shí)間內(nèi),物體的平均速度為。 顯然,物體在后一段時(shí)間比前一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)得快。 問題2:某病人吃完退燒藥,他的體溫變化如下圖所示: 比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況,哪段時(shí)間體溫變化較快?如何刻畫體溫變化的快慢? 分析:根據(jù)圖像可以看出: 當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí),體溫y從39℃變?yōu)?8.5℃,下降了0.5℃; 當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí),體溫y從38.5℃變?yōu)?8℃,下降了0.5℃。 兩段時(shí)間下降相同的溫度,而后一段時(shí)間比前一段時(shí)間短,所以后一段時(shí)間的體溫比前一段時(shí)間下降得快。 我們也可以比較在這兩段時(shí)間中,單位時(shí)間內(nèi)體溫的平均變化量,于是當(dāng)時(shí)間x從0min到20min時(shí),體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為 (℃/min) 當(dāng)時(shí)間x從20min到30min時(shí),體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為 (℃/min) 這里出現(xiàn)了負(fù)號(hào),它表示體溫下降了,顯然,絕對(duì)值越大,下降的越快,這里體溫從20min到30min這段時(shí)間下降的比0min到20min這段時(shí)間要快。 (三)、小結(jié):1、對(duì)一般的函數(shù)y=f(x)來說,當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r(shí),函數(shù)值從f()變?yōu)椤F骄兓示褪呛瘮?shù)增量與自變量增量之比,函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為,如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 (四)、練習(xí):P27頁(yè)練習(xí)1,2,3,4題;習(xí)題2-1中 1 (五)作業(yè)布置:1、已知曲線上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是和,求過兩點(diǎn)的直線斜率。 2、一物體按規(guī)律作變速直線運(yùn)動(dòng),求該物體從2秒末到6秒末這段時(shí)間內(nèi)的平 均速度。 五、教后反思: 第二課時(shí) 變化的快慢與變化率——瞬時(shí)變化率 一、教學(xué)目標(biāo):1、理解函數(shù)瞬時(shí)變化率的概念;2、會(huì)求給定函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率,并能根據(jù)函數(shù)的瞬時(shí)變化率判斷函數(shù)在某點(diǎn)處變化的快慢。3、理解瞬時(shí)速度、線密度的物理意義,并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。 二、教學(xué)重點(diǎn):知道瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在某點(diǎn)處變化的快慢。 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)于平均速度與瞬時(shí)速度的關(guān)系的理解 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):函數(shù)平均變化率的概念 1、對(duì)一般的函數(shù)y=f(x)來說,當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r(shí),函數(shù)值從f()變?yōu)?。平均變化率就是函?shù)增量與自變量增量之比,函數(shù)在內(nèi)的平均變化率為,如我們常用到年產(chǎn)量的平均變化率。2、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 (二)、探究新課 例1、一個(gè)小球從高空自由下落,其走過的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系為 其中,g為重力加速度,試估計(jì)小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度。 分析:當(dāng)時(shí)間t從t0變到t1時(shí),根據(jù)平均速度公式 , 可以求出從5s到6s這段時(shí)間內(nèi)小球的平均速度 (m/s)。 我們有時(shí)用它來近似表示t=5s時(shí)的瞬時(shí)速度。為了提高精確度,可以縮短時(shí)間間隔,如求出5~5.1s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 (m/s)。 用它來近似表示t=5s時(shí)的瞬時(shí)速度。 如果時(shí)間間隔進(jìn)一步縮短,那么可以想象,平均速度就更接近小球在t=5s這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度。 解:我們將時(shí)間間隔每次縮短為前面的,計(jì)算出相應(yīng)的平均速度得到下表: t0/s t1/s 時(shí)間的改變量 (Δt)/s 路程的改變量 (Δs )/m 平均速度/(m/s) 5 5.1 0.1 4.95 49.5 5 5.01 0.01 0.49 49.049 5 5.001 0.001 0.049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.0049 49.00049 5 … … … … 可以看出,當(dāng)時(shí)間t1趨于t0=5s時(shí),平均速度趨于49m/s,因此,可以認(rèn)為小球在t0=5s時(shí)的瞬時(shí)速度為49m/s。從上面的分析和計(jì)算可以看出,瞬時(shí)速度為49m/s的物理意義是,如果小球保持這一刻的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的話,每秒將要運(yùn)動(dòng)49m。 例2、如圖所示,一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒,長(zhǎng)為10m。x(單位:m)表示OX這段棒長(zhǎng),y(單位:kg)表示OX這段棒的質(zhì)量,它們滿足以下函數(shù)關(guān)系: 。 估計(jì)該合金棒在x=2m處的線密度。 分析:一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長(zhǎng)度,就是這段合金棒的平均線密度。 解:由,我們可以計(jì)算出相應(yīng)的平均線密度得到下表 x0/s x1/s 長(zhǎng)度x的改變量 (Δx)/m 質(zhì)量y的改變量 (Δs )/kg 平均線密度 /(kg/m) 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2 … … … … 可以看出,當(dāng)x1趨于x0=2m時(shí),平均線密度趨于0.71kg/m,因此,可以認(rèn)為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m。從上面的分析和計(jì)算可以看出,線密度為0.71kg/m的物理意義是,如果有1m長(zhǎng)的這種線密度的合金棒,其質(zhì)量將為0.71kg。 (三)、小結(jié):對(duì)于一般的函數(shù),在自變量x從x0變到x1的過程當(dāng)中,若設(shè)Δx= x1-x0,,則函數(shù)的平均變化率是 , 而當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率就趨于在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,瞬時(shí)變化率刻畫的是函數(shù)在一點(diǎn)處變化的快慢。 (四)、練習(xí):課本練習(xí)2:1、2. (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-1:3、4、5 五、教后反思: 第三課時(shí) 瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度 一、教學(xué)目標(biāo):了解平均速度的概念,掌握運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度瞬時(shí)加速度的概念及求法. 二、教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn):瞬時(shí)速度瞬時(shí)加速度的概念及求法. 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一).問題情境 1.情境:一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為,(其中表示在時(shí)刻的位移,時(shí)間單位:秒,位移單位:米);求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻處的切線的斜率.2.問題:在時(shí)刻處的切線的斜率有什么物理意義? (二)、學(xué)生活動(dòng) 解:,∴,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻處的切線的斜率為;它的物理意義時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度. (三).建構(gòu)數(shù)學(xué) 1. 平均速度: 物理學(xué)中,運(yùn)動(dòng)的物體的位移與所用時(shí)間比稱為平均速度. 若位移與所經(jīng)過時(shí)間的規(guī)律是,設(shè)為時(shí)間改變量,從到這段時(shí)間內(nèi),物體的位移是,那么位移的改變量與時(shí)間改變量的比就是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度, 即:,平均變化率反映了物體在某一時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢程度的物理量。 2. 瞬時(shí)速度:物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)過運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的“速度”,即的瞬時(shí)速度,用表示,物體在時(shí)的瞬時(shí)速度(即時(shí)對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率),運(yùn)動(dòng)物體在到這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度,當(dāng)無限趨近于0時(shí),趨近于一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在時(shí)的瞬時(shí)速度. 3. 瞬時(shí)加速度 物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)過運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的“加速度”,即的瞬時(shí)加速度,用表示,物體在時(shí)的瞬時(shí)加速度(即時(shí)速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率),運(yùn)動(dòng)物體在到這一段時(shí)間內(nèi)的平均加速度,當(dāng)無限趨近于0時(shí),有趨近于常數(shù). (四).知識(shí)運(yùn)用:1.例題: 例1.設(shè)質(zhì)點(diǎn)按函數(shù)所表示的規(guī)律運(yùn)動(dòng),求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度(其中表示在時(shí)刻的位移,時(shí)間單位:秒,位移單位:米). 解:從到這段時(shí)間內(nèi), 物體的位移是, 那么位移的改變量與時(shí)間改變量的比就是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度,即,當(dāng)無限趨近于0時(shí),有趨近于常數(shù),∴質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為. 例2.跳水運(yùn)動(dòng)員從高的跳臺(tái)騰空到入水的過程中,不同的時(shí)刻有不同的速度,后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度為,確定時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度 . 解:從到這段時(shí)間內(nèi)的平均變化率為, ,當(dāng)無限趨近于0時(shí),有趨近于常數(shù),∴當(dāng)時(shí)運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度為. 例3.設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運(yùn)動(dòng),假設(shè)時(shí)的速度為,求 時(shí)轎車的加速度. 解:在到的時(shí)間間隔內(nèi),轎車的平均加速度為, 當(dāng)趨近于常數(shù)0時(shí),有趨近于常數(shù),所以時(shí)轎車的加速度為. 2.練習(xí):課本P30頁(yè)第 1,2題. (五).回顧小結(jié):運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度的一般步驟是:①求位移增量與時(shí)間增量的比; ②判斷當(dāng)趨近于常數(shù)0時(shí),是否無限趨近于一常數(shù);③求出這個(gè)常數(shù). (六)、作業(yè):習(xí)題2-1中 A組第3題 B組1、2 五、教后反思: 2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 第四課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的概念 一、教學(xué)目標(biāo):1、知識(shí)與技能:通過大量的實(shí)例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)。 2、過程與方法:①通過動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力②通過問題的探究體會(huì)逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。 3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 二、教學(xué)重點(diǎn):了解導(dǎo)數(shù)的概念及求導(dǎo)數(shù)的方法。 教學(xué)難點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):設(shè)函數(shù),當(dāng)自變量x從x0變到x1時(shí),函數(shù)值從變到,函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時(shí),如果平均變化率趨于一個(gè)固定的值(這個(gè)值稱為:當(dāng)x1趨于x0時(shí),平均變化率的極限),那么這個(gè)值就是函數(shù)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率。 (二)、探究新課 在數(shù)學(xué)上,稱瞬時(shí)變化率為函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù),通常用符號(hào)表示,記作 。 例1、一條水管中流過的水量y(單位:)是時(shí)間x(單位:s)的函數(shù)。求函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實(shí)際意義。 解:當(dāng)x從2變到2+Δx時(shí),函數(shù)值從32變到3(2+Δx),函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 (/s). 當(dāng)x趨于2,即Δx趨于0時(shí),,平均變化率趨于3,所以 (/s). 導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)x=2s時(shí)水流的瞬時(shí)變化率,即水流的瞬時(shí)速度。也就是如果水管的中的水以x=2s時(shí)的瞬時(shí)速度流動(dòng)的話,每經(jīng)過1s,水管中流過的水量為3。 例2、一名食品加工廠的工人上班后開始連續(xù)工作,生產(chǎn)的食品量y(單位:kg)是其工作時(shí)間x(單位:h)的函數(shù)。假設(shè)函數(shù)在x=1和x=3處的導(dǎo)數(shù)分別為和,試解釋它們的實(shí)際意義。 解:表示該工人工作1h的時(shí)候,其生產(chǎn)速度(即工作效率)為4kg/h,也就是說,如果保持這一生產(chǎn)速度,那么他每時(shí)可以生產(chǎn)4kg的食品。 表示該工人上班后工作3h的時(shí)候,,其生產(chǎn)速度為3.5kg/h,也就是說,如果保持這一生產(chǎn)速度,那么他每時(shí)可以生產(chǎn)出3.5kg/h的食品。 例3、服藥后,人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y(單位:μg/mL)是時(shí)間t(單位:min)的函數(shù),假設(shè)函數(shù)在t=10和t=100處的導(dǎo)數(shù)分別為和,試解釋它們的實(shí)際意義。 解:表示服藥后10min時(shí),血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/(mLmin)。也就是說,如果保持這一速度,每經(jīng)過1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將上升1.5μg/(mLmin)。 表示服藥后100min時(shí),血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為-0.6μg/(mLmin)。也就是說,如果保持這一速度,每經(jīng)過1min,血液中藥物的質(zhì)量濃度將下降-0.6μg/(mLmin)。 (三)、小結(jié):1、瞬時(shí)速度的變化率的概念;2、導(dǎo)數(shù)的概念;3、利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟: (四)、練習(xí):課本練習(xí):1、2. (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-2中A組2、3 補(bǔ)充題:1、求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率,并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 解: 2、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第時(shí),原油的溫度(單位:)為,計(jì)算第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義. 解:在第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義, 所以 同理可得: 在第時(shí)和第時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和5,說明在附近,原油溫度大約以的速率下降,在第附近,原油溫度大約以的速率上升. 注:一般地,反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況. 五、教后反思: 第五課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義(一) 一、教學(xué)目標(biāo): 1、通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義; 2、理解曲線在一點(diǎn)的切線的概念; 3、會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程。 二、教學(xué)重點(diǎn):了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學(xué)難點(diǎn):求簡(jiǎn)單函數(shù)在某點(diǎn)出的切線方程 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):導(dǎo)數(shù)的概念及求法。 (二)、探究新課 設(shè)函數(shù)在[x0,x0+Δx]的平均變化率為,如右圖所示,它是過A(x0,)和B(x0+Δx,)兩點(diǎn)的直線的斜率。這條直線稱為曲線在點(diǎn)A處的一條割線。 如右圖所示,設(shè)函數(shù)的圖像是一條光滑的曲線,從圖像上可以看出:當(dāng)Δx取不同的值時(shí),可以得到不同的割線;當(dāng)Δx趨于0時(shí),點(diǎn)B將沿著曲線趨于點(diǎn)A,割線AB將繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)最后趨于直線l。直線l和曲線在點(diǎn)A處“相切” ,稱直線l為曲線在點(diǎn)A處的切線。該切線的斜率就是函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)。 函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù),是曲線在點(diǎn)(x0,)處的切線的斜率。函數(shù)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率, 即 說明:求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟: ①求出P點(diǎn)的坐標(biāo); ②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ,得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率; ③利用點(diǎn)斜式求切線方程. 2、導(dǎo)函數(shù): 由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個(gè)確定的數(shù),那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作:或, 即: 注:在不致發(fā)生混淆時(shí),導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù). 3、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 (1)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個(gè)常數(shù),不是變數(shù)。 (2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (3)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 例1、已知函數(shù), x0=-2。 (1)分別對(duì)Δx=2,1,0.5求在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率,并畫出過點(diǎn)(x0,)的相應(yīng)割線; (2)求函數(shù)在x0=-2處的導(dǎo)數(shù),并畫出曲線在點(diǎn)(-2,4)處的切線。 解:(1)Δx=2,1,0.5時(shí),區(qū)間[x0,x0+Δx]相應(yīng)為[-2,0],[-2,-1],[-2,-1.5]。在這些區(qū)間上的平均變化率分別為 , , . 其相應(yīng)割線如右圖所示,分別是過點(diǎn)(-2,4)和點(diǎn)(0,0)的直線l1,過點(diǎn)(-2,4)和點(diǎn)(-1,1)的直線l2,過點(diǎn)(-2,4)和點(diǎn)(-1.5,2.25)的直線l3. (2)在區(qū)間[-2,-2+Δx]上的平均變化率為 . 令Δx趨于0,知函數(shù)在x0=-2處的導(dǎo)數(shù)為-4。 曲線在點(diǎn)(-2,4)處的切線為l,如右圖所示。 例2、求函數(shù)在x=1處的切線方程。 解:先求在x=1處的導(dǎo)數(shù): 令Δx趨于0,知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為。 這樣,函數(shù)在點(diǎn)(1,)=(1,2)處的切線斜率為6.即該切線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),斜率為6. 因此切線方程為 y-2=6(x-1). 即 y=6x-4. 切線如圖所示。 (三)、小結(jié):函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù),是曲線在點(diǎn)(x0,)處的切線的斜率。函數(shù)在x0處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義。 (四)、練習(xí):課本練習(xí):1、2. (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-2中A組4、5 五、教后反思: 第六課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義(二) 一、教學(xué)目標(biāo):掌握切線斜率由割線斜率的無限逼近而得,掌握切線斜率的求法. 二、教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn):(1)能體會(huì)曲線上一點(diǎn)附近的“局部以直代曲”的核心思想方法;(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率. 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、問題情境 1.情境:設(shè)是曲線上的一點(diǎn),將點(diǎn)附近的曲線放大、再放大,則點(diǎn)附近將逼近一條確定 的直線. 2.問題:怎樣找到在曲線上的一點(diǎn)處最逼曲線的直線呢? (二)、學(xué)生活動(dòng) 如上圖直線為經(jīng)過曲線上一點(diǎn)的兩條直線. (1)判斷哪一條直線在點(diǎn)附近更加逼近曲線. (2)在點(diǎn)附近能作出一條比更加逼近曲線 的直線嗎? (3)在點(diǎn)附近能作出一條比更加逼近曲線的直線嗎? (三)、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.割線及其斜率:連結(jié)曲線上的兩點(diǎn)的直線叫曲線的割線, 設(shè)曲線上的一點(diǎn),過點(diǎn)的一條割線交曲線于另一點(diǎn),則割線的斜率為 . 2. 切線的定義:隨著點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),割線在點(diǎn)附近越來越逼近曲線。當(dāng)點(diǎn)無限逼近點(diǎn)時(shí),直線最終就成為在點(diǎn)處最逼近曲線的直線,這條直線也稱為曲線在點(diǎn)處的切線; 3. 切線的斜率:當(dāng)點(diǎn)沿著曲線向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),并無限靠近點(diǎn)時(shí),割線逼近點(diǎn)處的切線,從而割線的斜率逼近切線的斜率,即當(dāng)無限趨近于時(shí),無限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率. (四)、數(shù)學(xué)運(yùn)用 1.例題: 例1.已知曲線, (1)判斷曲線在點(diǎn)處是否有切線,如果有,求切線的斜率,然后寫出切線的方程. (2)求曲線在處的切線斜率。 分析:(1)若是曲線上點(diǎn)附近的一點(diǎn),當(dāng)沿著曲線無限接近點(diǎn)時(shí),割線的斜率是否無限接近于一個(gè)常數(shù).若有,則這個(gè)常數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率;(2)為求得過點(diǎn)的切線斜率,我們從經(jīng)過點(diǎn)的任意一點(diǎn)直線(割線)入手。 解:(1)在曲線上點(diǎn)附近的取一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 則函數(shù)的增量為, ∴割線的斜率為, ∴當(dāng)無限趨近于時(shí),無限趨近于常數(shù)2, ∴曲線在點(diǎn)處有切線,且切線的斜率為, ∴所求切線方程是,即. (2)設(shè),,則割線的斜率為 當(dāng)無限趨近于時(shí),無限趨近于常數(shù)4,從而曲線在點(diǎn)處切線的斜率為。 例2.已知,求曲線在處的切線的斜率. 分析:為了求過點(diǎn)的切線的斜率,要從經(jīng)過點(diǎn)的任意一條割線入手. 解:設(shè),,則割線的斜率: . 當(dāng)無限趨近于時(shí),無限趨近于常數(shù)1,∴曲線在點(diǎn)處有切線,且切線的斜率為. 例3.已知曲線方程,求曲線在處的切線方程. 解:設(shè)是點(diǎn)附近的一點(diǎn), . 當(dāng)無限趨近于時(shí),無限趨近于常數(shù)1,∴曲線在點(diǎn)處有切線,且切線的斜率為.所求直線方程:. 2.練習(xí):練習(xí) 第 1,2,3題;習(xí)題2-2A組中 第 3題. (五).回顧小結(jié):求切線斜率一般步驟是:①求函數(shù)增量與自變量增量的比;②判斷當(dāng)無限趨近于時(shí),是否無限趨近于一常數(shù);③求出這個(gè)常數(shù). (六).課外作業(yè):1、補(bǔ)充:判斷曲線在點(diǎn)處是否有切線?如果有,求出切線的方程. 2、習(xí)題2-2中B組 1、2 五、教后反思: 第七課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義習(xí)題課 一、教學(xué)目標(biāo):會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線上某點(diǎn)處的切線方程。 二、教學(xué)重點(diǎn):曲線上一點(diǎn)處的切線斜率的求法 教學(xué)難點(diǎn):理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)(x0,)處的切線的斜率。 (二)、探究新課 例1、在曲線上求一點(diǎn)P使得曲線在該點(diǎn)處的切線滿足下列條件: (1)平行于直線y=x+1; (2)垂直于直線2x-16y+1=0; (3)傾斜角為135。 解:設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為(,),則 ∴當(dāng)Δx趨于0時(shí),。 (1)∵切線與直線y=x+1平行。 ∴,即, ∴,。 即P(―2,1)。 (2)∵切線與直線2x-16y+1=0垂直, ∴,即, ∴,。 即P(―1,4)。 (3)∵切線傾斜角為135, ∴,即, ∴,。 即P(2,1)。 例2、求曲線過(1,1)點(diǎn)的切線的斜率。 解:設(shè)過(1,1)點(diǎn)的切線與相切與點(diǎn),則 當(dāng)Δx趨于0時(shí), , 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為 ① 又過(1,1)點(diǎn)的切線的斜率 ② ∴由①②得:解得:或,∴或, ∴曲線過(1,1)點(diǎn)的切線的斜率為0或。 例3、如圖,它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù) ,根據(jù)圖像,請(qǐng)描述、比較曲線在、、附近的變化情況. 解:我們用曲線在、、處的切線,刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況. (1) 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線平行于軸,所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降. (2) 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減. (3) 當(dāng)時(shí),曲線在處的切線的斜率,所以,在附近曲線下降,即函數(shù)在附近單調(diào)遞減. 從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢. (三)、小結(jié):利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在處切線方程的步驟:(1)已知曲線的切點(diǎn)①求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);②根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,得切線方程為。(2)過曲線外的點(diǎn)①設(shè)切點(diǎn)為,求出切點(diǎn)坐標(biāo);②求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);③根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,得切線方程為。 (四)、練習(xí):練習(xí)冊(cè):7、8. (五)、作業(yè):練習(xí)冊(cè):5、6、9、10 五、教后反思: 3 計(jì)算導(dǎo)數(shù) 第八課時(shí) 計(jì)算導(dǎo)數(shù)(一) 一、教學(xué)目標(biāo): 1、能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),掌握計(jì)算一般函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟; 2、理解導(dǎo)函數(shù)的概念,并能用它們求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 二、教學(xué)重點(diǎn):根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算一般函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù); 教學(xué)難點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課 注 意 那么,如何利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?從而導(dǎo)入新課。 (二)、探析新課 計(jì)算函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下: (1)通過自變量在處的Δx,確定函數(shù)在處的改變量:; (2)確定函數(shù)在處的平均變化率:; (3)當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)。 例1、求函數(shù)在下列各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) (1); (2); (3)。 解:(1)∵. ∴。 ∴當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù)。 (2)由(1)可知當(dāng)時(shí)有:。 (3)由(1)可知當(dāng)時(shí)有:。 一般地:如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù)值記為: 則是關(guān)于x的函數(shù),稱為的導(dǎo)函數(shù),通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。 例2、求的導(dǎo)函數(shù),并利用導(dǎo)函數(shù)求,,。 解:∵. ∴。 ∴當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)函數(shù)。 分別將,,代入,可得 ,,。 (二)、小結(jié):我們知道,導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率,物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.那么,對(duì)于函數(shù),如何求它的導(dǎo)數(shù)呢? 由導(dǎo)數(shù)定義本身,給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法,利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下: (1)通過自變量在處的Δx,確定函數(shù)在處的改變量:; (2)確定函數(shù)在處的平均變化率:; (3)當(dāng)Δx趨于0時(shí),得到導(dǎo)數(shù) (三)、練習(xí):課本練習(xí):1、2. (四)、作業(yè):課本習(xí)題2-3:A組1、2、4 (五)、課外練習(xí):求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因?yàn)? 所以 五、教后反思: 第九課時(shí) 計(jì)算導(dǎo)數(shù)(二) 一、教學(xué)目標(biāo):掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式,并能熟練運(yùn)用。 二、教學(xué)重難點(diǎn):用定義推導(dǎo)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式. 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí) 1、導(dǎo)數(shù)的定義;2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義;3、導(dǎo)函數(shù)的定義;4、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的流程圖。 (1)求函數(shù)的改變量 (2)求平均變化率 (3)取極限,得導(dǎo)數(shù)= 本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首先我們來求下面幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 (1)、y=x (2)、y=x2 (3)、y=x3 問題:,,呢? 問題:從對(duì)上面幾個(gè)冪函數(shù)求導(dǎo),我們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎? (二)、新課探析 1、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式: ⑴ (k,b為常數(shù)) ⑵ (C為常數(shù)) ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 由⑶~⑹你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? ⑻ (為常數(shù)) ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ 從上面這一組公式來看,我們只要掌握冪函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)的求導(dǎo)就可以了。 2、例題探析 例1、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)。 (1)?。?) (3) (4)?。?)y=sin(+x) (6) y=sin (7)y=cos(2π-x) (8)y= 例2、已知點(diǎn)P在函數(shù)y=cosx上,(0≤x≤2π),在P處的切線斜率大于0,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。 例3、若直線為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo). 變式1、求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程. 總結(jié)切線問題:找切點(diǎn) 求導(dǎo)數(shù) 得斜率 變式2、求曲線y=x2過點(diǎn)(0,-1)的切線方程 變式3、求曲線y=x3過點(diǎn)(1,1)的切線方程 變式4、已知直線,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn),求P在什么位置時(shí)到直線距離最短. (三)、課堂小結(jié):(1)基本初等函數(shù)公式的求導(dǎo)公式(2)公式的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) (c是常數(shù)) (α是常數(shù)) 特別地 特別地 (四)、課堂練習(xí):假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為,物價(jià)(單位:元)與時(shí)間(單位:年)有如下函數(shù)關(guān)系,其中為時(shí)的物價(jià).假定某種商品的,那么在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少(精確到0.01)? 解:根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表,有 所以(元/年) 因此,在第10個(gè)年頭,這種商品的價(jià)格約為0.08元/年的速度上漲。 (五)、作業(yè)布置:見練習(xí)冊(cè)P34頁(yè)3、4、6、7 五、教學(xué)反思: 4 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 第九課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則 一、教學(xué)目標(biāo):1、了解兩個(gè)函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式;2、會(huì)運(yùn)用上述公式,求含有和、差綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求過曲線上一點(diǎn)的切線。 二、教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)和、差導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)和、差導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):導(dǎo)函數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式表。 1.導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在處附近有定義,如果時(shí),與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù),我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作,即 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線上點(diǎn)()處的切線的斜率因此,如果在點(diǎn)可導(dǎo),則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為 3. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),此時(shí)對(duì)于每一個(gè),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù),從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù), 4. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法: (1)求函數(shù)的改變量(2)求平均變化率 (3)取極限,得導(dǎo)數(shù)= 5. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:; (二)、探析新課 兩個(gè)函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差),即 證明:令, , ∴ , 即 ?。? 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2); (3); (4)。 解:(1)。 (2)。 (3)。 例2:求曲線上點(diǎn)(1,0)處的切線方程。 解:。 將代入導(dǎo)函數(shù)得 。 即曲線上點(diǎn)(1,0)處的切線斜率為4,從而其切線方程為 , 即。 (三)、練習(xí):課本練習(xí):1、2. 補(bǔ)充題:1、求y=x3+sinx的導(dǎo)數(shù).解:y=(x3)+(sinx) =3x2+cosx. 2、求y=x4-x2-x+3的導(dǎo)數(shù).解:y=4x3 -2x-1. (四)課堂小結(jié):本課要求:1、了解兩個(gè)函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式;2、會(huì)運(yùn)用上述公式,求含有和、差綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求過曲線上一點(diǎn)的切線。4、法則:兩個(gè)函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差),即 (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-4:A組2、3 B組2 五、教后反思: 第十課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 一、教學(xué)目標(biāo):1、了解兩個(gè)函數(shù)的積、商的求導(dǎo)公式;2、會(huì)運(yùn)用上述公式,求含有積、商綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求過曲線上一點(diǎn)的切線。 二、教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):兩個(gè)函數(shù)的和、差的求導(dǎo)公式 1.導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在處附近有定義,如果時(shí),與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù),我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作,即 2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線上點(diǎn)()處的切線的斜率因此,如果在點(diǎn)可導(dǎo),則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為 3. 導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù),此時(shí)對(duì)于每一個(gè),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù),從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù), 4. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法: (1)求函數(shù)的改變量(2)求平均變化率 (3)取極限,得導(dǎo)數(shù)= 5. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:; 6. 兩個(gè)函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差),即 (二)、探究新課 設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,。我們來求在處的導(dǎo)數(shù)。 令,由于 知在處的導(dǎo)數(shù)值為。 因此的導(dǎo)數(shù)為。 一般地,若兩個(gè)函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和,我們有 特別地,當(dāng)時(shí),有 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2); (3)。 解:(1); (2); (3)。 例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2)。 解:(1); (2)。 (三)、練習(xí):課本練習(xí)1. (四)、課堂小結(jié):1、了解兩個(gè)函數(shù)的積、商的求導(dǎo)公式;2、會(huì)運(yùn)用上述公式,求含有積、商綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求過曲線上一點(diǎn)的切線。4、法則:一般地,若兩個(gè)函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和,我們有 特別地,當(dāng)時(shí),有 (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-4:A組4(1)、(2)、(3)、(5)、(6);5 五、教后反思: 第十一課時(shí) 2.4.3導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則 一、教學(xué)目標(biāo): 1、會(huì)運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式求含有積、商綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù); 2、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求過曲線上一點(diǎn)的切線。 二、教學(xué)重點(diǎn):兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)積、商導(dǎo)數(shù)公式 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式 1、兩個(gè)函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差),即 2、若兩個(gè)函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別是和,我們有 特別地,當(dāng)時(shí),有 (二)、探究新課 例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2)。 解:(1)解一: 解二: 。 (2)解一: 。 解二: 。 例2.是拋物線上兩點(diǎn),在拋物線上與間的求一點(diǎn),使面積最大. 解:∵,∴到直線的距離最大時(shí),面積最大, 即過點(diǎn)的切線平行于直線時(shí)面積最大,設(shè), ∵,∴過點(diǎn)的切線的斜率,,∴. 例3、求曲線過點(diǎn)(1,0)的切線方程。 解: 。 將x=1代入,得所求切線的斜率。 曲線過點(diǎn)(1,0)的切線方程為。 例4.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程,若速度最大值為,且對(duì)任意的,在與時(shí)速度相同,求的值. 解:,, 又,∴對(duì)恒成立,∴, ∵,∴. (三).回顧小結(jié):1.函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用;2.求導(dǎo)法則的運(yùn)用. (四)、練習(xí):課本練習(xí)2:1、2. (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-4:A組4(4)、(7)、(8), B組1 五、教后反思: 第十二課時(shí) 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、教學(xué)目標(biāo):1、了解簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;2、會(huì)運(yùn)用上述法則,求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 二、教學(xué)重點(diǎn):簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式。 1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ;;; 2.法則1 ?。? 法則2 , 法則3 (二)、引入新課 海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一個(gè)圓形油膜,油膜的面積S(單位:m2)是油膜半徑r(單位:m)的函數(shù):。 油膜的半徑r隨著時(shí)間t(單位:s)的增加而擴(kuò)大,假設(shè)r關(guān)于t的函數(shù)為。 油膜的面積S關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率是多少? 分析:由題意可得S關(guān)于t的新的函數(shù):。 油膜的面積S關(guān)于時(shí)間t的瞬時(shí)變化率就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 ∵ , ∴ 。 又 , , 可以觀察到 , 即 。 一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和,給定x的一個(gè)值,就得到了u的值,進(jìn)而確定了y的值,這樣y可以表示成x的函數(shù),我們稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù),記作。其中u為中間變量。 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: (表示y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代. 例1、試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的? ⑴; ⑵;⑶; ⑷. 解:⑴函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑵函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑶函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑷函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成. 說明:討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí),“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等. 例2、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解:引入中間變量,則函數(shù)是由函數(shù)與 復(fù)合而成的。 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: 例3、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解:引入中間變量,則函數(shù)是由函數(shù)與 復(fù)合而成的。 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: 注意:在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時(shí)復(fù)合函數(shù)可以由幾個(gè)基本初等函數(shù)組成,所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,特別要注意將哪一部分看作一個(gè)整體,然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo). 例4、一個(gè)港口的某一觀測(cè)點(diǎn)的水位在退潮的過程中,水面高度y(單位:cm)。關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)為,求函數(shù)在t=3時(shí)的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實(shí)際意義。 解:函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成的,其中x是中間變量。 ∴。 將t=3代入得: (cm/s)。 它表示當(dāng)t=3時(shí),水面高度下降的速度為 cm/s。 (三)、小結(jié) :⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),引入中間變量,將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù),然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代 (四)、練習(xí):課本練習(xí). (五)、作業(yè):課本習(xí)題2-5: 2、3、5 五、教后反思: 第十三課時(shí) 平均變化率與導(dǎo)數(shù)小結(jié)復(fù)習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo):1、認(rèn)識(shí)到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量,瞬時(shí)變化率是刻畫物體在一個(gè)瞬間的變化快慢的量; 2、理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景和幾何意義,并能用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算簡(jiǎn)單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、利用導(dǎo)數(shù)公式表和運(yùn)算法則計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并能解決簡(jiǎn)單的求曲線的切線的問題。 二、教學(xué)重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)概念的理解和利用導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 教學(xué)難點(diǎn):利用極限的語言刻畫導(dǎo)數(shù)概念和討論導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景和幾何意義,導(dǎo)數(shù)公式表和運(yùn)算法則。 (二)、探究新課 例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2); (3); (4)。 解:(1)∵, ∴。 (2)∵∴ (3)∵, 又∵,∴,∴ ∴。 (4) 例2、已知曲線C1:與曲線C2:,直線l與C1、C2都相切,求直線l的方程。 解:設(shè)l與C1相切于點(diǎn),l與C2相切于點(diǎn),直線l的斜率為k。 C1:,,, C2:,,,。 由斜率公式得 ,解得: 或。 當(dāng)時(shí),,l的方程為;當(dāng)時(shí),,l的方程為。 例3、已知在處的導(dǎo)數(shù)等于0,且,求a,b,c的值。 解:方法一:是方程的根,即的兩根, ∴ 又,∴ ?、塾散佗冖鄣?。 方法二:,由,, 得,∴。 (三)、小結(jié):1、認(rèn)識(shí)到平均變化率是刻畫物體平均變化的快慢的量,瞬時(shí)變化率是刻畫物體在一個(gè)瞬間的變化快慢的量; 2、理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景和幾何意義,并能用導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算簡(jiǎn)單的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、利用導(dǎo)數(shù)公式表和運(yùn)算法則計(jì)算基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并能解決簡(jiǎn)單的求曲線的切線的問題。 (四)、練習(xí):課本復(fù)習(xí)題:A組1、2、3、4. (五)、作業(yè):課本復(fù)習(xí)題:A組 5; B組2 五、教后反思:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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