2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊三 基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊三 基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 1．基本計(jì)數(shù)原理 ⑴加法原理 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有種方法，……，在第類(lèi)辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱(chēng)加法原理． ⑵乘法原理 分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，……，做第個(gè)步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱(chēng)乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用 如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理． 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素） 排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示． 排列數(shù)公式：，，并且． 全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合． 組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問(wèn)題 解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類(lèi)還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類(lèi)型的排列組合問(wèn)題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類(lèi)分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題——把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有． 7．分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！ 8．錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱(chēng)為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題． 1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答． 2．具體的解題策略有： ①對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排； ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類(lèi)，分類(lèi)后要驗(yàn)證是否不重不漏； ③對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)； ④對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理； ⑥對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面． ⑦對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型． 典例分析 基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 【例1】 用，，，，排成無(wú)重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是_________．（用數(shù)字作答） 【例2】 若自然數(shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．則稱(chēng)為“可連數(shù)”．例如：是“可連數(shù)”，因不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；不是“可連數(shù)”，因產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象．那么，小于的“可連數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例3】 由正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？ 【例4】 如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種．（以數(shù)字作答） 【例5】 如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【例6】 某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種．（以數(shù)字作答） 【例7】 分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？并求它們的和． 【例8】 某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答） 【例9】 用，，，，，這個(gè)數(shù)字，可以組成_______個(gè)大于，小于的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù)． 【例10】 某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“”到“”共個(gè)號(hào)碼．公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（　?。? A． B． C． D． 【例11】 同室人各寫(xiě)張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例12】 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的6個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了3個(gè)新節(jié)目，如果將這3個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例13】 某班學(xué)生參加植樹(shù)節(jié)活動(dòng)，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹(shù)苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個(gè)樹(shù)坑內(nèi)，同種樹(shù)苗不能相鄰，且第一個(gè)樹(shù)坑和第5個(gè)樹(shù)坑只能種甲種樹(shù)苗的種法共（ ） A．15種 B．12種 C．9種 D．6種 【例14】 如圖所示，畫(huà)中的一朵花，有五片花瓣.現(xiàn)有四種不同顏色的畫(huà)筆可供選擇，規(guī)定每片花瓣都要涂色，且只涂一種顏色.若涂完的花中顏色相同的花瓣恰有三片，則不同涂法種數(shù)為 （用數(shù)字作答）. 【例15】 用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例16】 用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為的個(gè)小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“、、”號(hào)數(shù)字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種． A． B． C． D． 【例17】 足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，那么一個(gè)隊(duì)打14場(chǎng)共得19分的情況有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種