2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案新人教B版選修1-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.2瞬時(shí)速度與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案新人教B版選修1-1 [學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.了解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù).3.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義． [知識(shí)鏈接] 函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與Δx趨近于0的方式有關(guān)嗎？ 答案　沒(méi)有關(guān)系．無(wú)論Δx從一側(cè)趨近于0還是從兩側(cè)趨近于0，其導(dǎo)數(shù)值應(yīng)相同．否則f(x)在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，如函數(shù)f(x)＝|x|在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在． [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1．瞬時(shí)變化率 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量在x＝x0附近改變?chǔ)時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地改變?chǔ)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)l，則數(shù)l稱(chēng)為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的瞬時(shí)變化率． 2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是＝我們稱(chēng)它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0， 即f′(x0)＝＝. 3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)都存在，則稱(chēng)f(x)在區(qū)間(a，b)可導(dǎo)，這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每個(gè)值x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x)，于是在區(qū)間(a，b)內(nèi)f′(x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為f′(x)或(yx′、y′)．導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù). 要點(diǎn)一　物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 例1　一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)＝at2＋1作直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若該質(zhì)點(diǎn)在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值． 解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt. 在t＝2s時(shí)，瞬時(shí)速度為li＝4a，即4a＝8，∴a＝2. 規(guī)律方法　求瞬時(shí)速度是利用平均速度“逐漸逼近”的方法得到的，其求解步驟如下： (1)由物體運(yùn)動(dòng)的位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求時(shí)間t0到t0＋Δt之間的平均速度＝； (3)求li的值，即得t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度． 跟蹤演練1　如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　) A．6B．18C．54D．81 答案　B 解析　∵s＝3t2，∴＝＝＝3Δt＋18， (3Δt＋18)＝18，∴在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為18. 要點(diǎn)二　函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 例2　求y＝x2在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù)． 解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ＝＝2＋Δx， ∴l(xiāng)i＝li (2＋Δx)＝2.∴y′|x＝1＝2. 規(guī)律方法　求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟是： (1)求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均變化率＝； (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝li. 跟蹤演練2　求y＝2x2＋4x在點(diǎn)x＝3處的導(dǎo)數(shù)． 解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(232＋43) ＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16， ∴l(xiāng)i＝li (2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16. 要點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義 例3　一條水管中流出的水量y(單位：m3) 是時(shí)間x(單位：s)的函數(shù)y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．計(jì)算2s和6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并說(shuō)明它們的實(shí)際意義． 解　在2s和6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(2)和f′(6) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，＝ ＝ ＝＝Δx＋11， 所以f′(2)＝＝ (Δx＋11)＝11， 即在2s時(shí)的水流速度為11m3/s. 同理可得在6s時(shí)的水流速度為19m3/s. 在2s與6s時(shí)，水管流量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分別為11與19.它說(shuō)明在2s時(shí)附近，水流大約以11m3/s的速度流出， 在6s時(shí)附近，水流大約以19m3/s的速度流出． 規(guī)律方法　導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是瞬時(shí)變化率，它描述物體的瞬時(shí)變化，例如位移s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)就是運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，氣球半徑r關(guān)于體積V的導(dǎo)數(shù)就是氣球的瞬時(shí)膨脹率． 跟蹤演練3　服藥后，人體血液中藥物的質(zhì)量濃度y(單位：μg/mL)是時(shí)間t(單位：min)的函數(shù)y＝f(t)，假設(shè)函數(shù)y＝f(t)在t＝10和t＝100處的導(dǎo)數(shù)分別為f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，試解釋它們的實(shí)際意義． 解　f′(10)＝1.5表示服藥后10min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度上升的速度為1.5μg/(mLmin)． f′(100)＝－0.6表示服藥后100min時(shí)，血液中藥物的質(zhì)量濃度下降的速度為0.6μg/(mLmin)． 1．如果某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2(1－t2) (s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s末的瞬時(shí)速度為(　　) A．－4.8m/s B．－0.88 m/s C．0.88m/s D．4.8 m/s 答案　A 解析　物體運(yùn)動(dòng)在1.2s末的瞬時(shí)速度即為s在1.2處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得． 2．設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則等于(　　) A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3) 答案　A 解析?。絝′(1)． 3．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是________． 答案　3 解析　v初＝s′|t＝0＝＝ (3－Δt)＝3. 4．已知函數(shù)f(x)＝，則f′(1)＝________. 答案　－ 解析　f′(1)＝＝ ＝＝－. 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)三步曲： (1)作差求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)作比求平均變化率＝； (3)取極限得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝. 簡(jiǎn)記為一差，二比，三極限.