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2019-2020 年高中數(shù)學(xué)競賽教材講義 第六章 三角函數(shù) 一、基礎(chǔ)知識 定義 1 角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則 角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。 定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對 的圓心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圓心角的弧長為 L，則其弧度數(shù)的絕對值|α|=, 其中 r 是圓的半徑。 定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 α 的頂點放在原點，始邊與 x 軸的正半軸重合， 在角的終邊上任意取一個不同于原點的點 P，設(shè)它的坐標(biāo)為（ x,y） ，到原點的距離為 r,則正 弦函數(shù) sinα=,余弦函數(shù) cosα=,正切函數(shù) tanα=，余切函數(shù) cotα=，正割函數(shù) secα=,余 割函數(shù) cscα= 定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系： tanα=,s inα=， cosα=；商數(shù)關(guān)系： tanα=；乘積關(guān)系： tanα cosα=s inα, cotαs inα= cosα；平方關(guān)系： sin2α+ cos2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1= csc2α. 定理 2 誘導(dǎo)公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, cos(π+α)=- cosα, tan(π+α)= tanα, cot(π+α)= cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, cos(-α)= cosα, tan(-α)=- tanα, cot(-α) =cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, cos(π-α)=- cosα, tan=(π-α)=- tanα, cot(π-α) =-cotα; （Ⅳ）s in=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇變偶不變，符號看象限） 。 定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（ x∈R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間上 為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時， y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k-時, y 取最小值-1。對稱性：直線 x=k+均為其對稱軸，點（ k, 0）均為其對稱中心，值域為[-1，1]。這里 k∈ Z. 定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(x∈R)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間[2 kπ, 2kπ+π]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2 kπ-π, 2 kπ]上單調(diào)遞增。最小正周期為 2π。奇偶性：偶 函數(shù)。對稱性：直線 x=kπ 均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kπ 時， y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2kπ-π 時， y 取最小值-1。值域為[-1，1]。這里 k∈ Z. 定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xkπ+)在開區(qū)間( kπ-, kπ+)上為增函數(shù), 最小正周期為 π，值域為（-∞，+∞） ，點（ kπ，0） ， （ kπ+，0）均為其對稱中心。 定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式： cos(αβ)= cosα cosβs inαs inβ,s in(αβ) =sinα cosβ cosαs inβ; tan(αβ)= 定理 7 和差化積與積化和差公式: sinα+s inβ=2s incos,sinα-s inβ=2s incos, cosα+ cosβ=2 coscos, cosα- cosβ=-2s insin, sinα cosβ=[s in(α+β)+s in(α-β)], cosαs inβ=[s in(α+β)-s in(α-β)], cosα cosβ=[ cos(α+β)+ cos(α-β)],s inαs inβ=-[ cos(α+β)- cos(α-β)]. 定理 8 倍角公式:s in2α=2s inα cosα, cos2α= cos2α-s in2α=2 cos2α-1=1-2s in2α, tan2α= 定理 9 半角公式:s in=,cos=, tan== 定理 10 萬能公式: , ,????????2tan1si???????? ??2tan1cos2?.2tan1t????????? 定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實數(shù)且 a2+b20，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點( a, b)的一個角為 β，則 sinβ=, cosβ=，對任意的角 α. asinα+ bcosα=s in(α+β). 定理 12 正弦定理：在任意△ ABC 中有 ，其中 a, b, c 分別是RCcBA2sinisin?? 角 A， B， C 的對邊，R 為△ ABC 外接圓半徑。 定理 13 余弦定理：在任意△ ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A， B， C 的對 邊。 定理 14 圖象之間的關(guān)系： y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫?y=sin()的圖象（周 期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ； y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ； y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到 y=Asinx 的圖象。 定義 4 函數(shù) y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函數(shù) y=cosx(x∈[0, π]) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函數(shù) y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函數(shù)稱 為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{ x|x=nπ+(-1) narcsina, n∈ Z}。方程 cosx=a 的解集是{ x|x=2kxarccosa, k∈ Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+ arctana, k∈ Z}。恒等式： arcsina+arccosa=； arctana+arccota=. 定理 16 若，則 sinx
sin(cosx). 若，則因為 sinx+cosx= (sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，2cosin2????????x 所以 0，則 x>0，由 α>-β>0 得 cosα< cos(-β)=s inβ, 所以 00, 所以>1。又 00. 所以 sin（1+ cos）=2s incos2= ≤2cosin22????? = 3223coin?????????? 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan 時，s in(1+cos)取得最大值。 例 7 若 A， B， C 為△ ABC 三個內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因為 sinA+sinB=2sincos, ① sinC+sin , ②23sin23cosin23???????C 又因為 ，③3sin24cos4iii ????CBABABA 由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin≤4s in, 所以 sinA+sinB+sinC≤3s in=, 當(dāng) A=B=C=時， （s inA+sinB+sinC） max=. 注：三角函數(shù)的有界性、|s inx|≤1、| cosx|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。 5．換元法的使用。 例 8 求的值域。 【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2cosin2??????????xx 因為 所以 又因為 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=，所以 ，21 2???ty 所以 因為 t-1，所以，所以 y-1. 所以函數(shù)值域為 .,1,??????????????? 例 9 已知 a0=1, an=(n∈ N+)，求證： an>. 【證明】 由題設(shè) an>0，令 an=tanan, an∈，則 an= .tan2tsico1tsect11 112 nnn ????? ?? 因為， an∈，所以 an=，所以 an= 又因為 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。 又因為當(dāng) 0x>sinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很 容易的。 6．圖象變換： y=sinx(x∈R)與 y=Asin(x+)(A, , >0). 由 y=sinx 的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，然后再 保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得?y=Asin(x+)的圖象；也可以由 y=sinx 的圖象先 保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后?左平移個單位，得到 y=Asin(x+)的圖象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在 區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。 【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，對 任意 x∈R 成立。 又 0≤≤π，解得=， 因為 f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。 取 x=0，得=0，所以 sin 所以( k∈Z)，即=(2 k+1) (k∈Z). 又>0，取 k=0 時，此時 f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)； 取 k=1 時，=2，此時 f(x)=sin(2x+)在[0，]上是減函數(shù)； 取 k=2 時，≥，此時 f(x)=sin(x+)在[0，]上不是單調(diào)函數(shù)， 綜上，=或 2。 7．三角公式的應(yīng)用。 例 11 已知 sin(α-β)=， sin(α+β)=- ，且 α-β∈，α+β∈，求 sin2α, cos2β 的值。 【解】 因為 α-β∈，所以 cos(α-β)=- 又因為 α+β∈，所以 cos(α+β)= 所以 sin2α= sin[(α+β)+(α-β)]= sin(α+β) cos(α-β)+ cos(α+β) sin(α-β)=, cos2β= cos[(α+β)-(α-β)]= cos(α+β) cos(α-β)+ sin(α+β) sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ ABC 的三個內(nèi)角 A， B， C 成等差數(shù)列，且，試求的值。 【解】 因為 A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)， 又由于 )120cos(cos112cos(cos10 C??????? = ，)2(6)]20[6(00 ? 所以 =0。32coscos4???CA 解得或。 又>0，所以。 例 13 求證： tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 ???? ????20cos4ini20cosin4si ????? s13i.20cos6in20cos4i8in?????? 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．已知銳角 x 的終邊上一點 A 的坐標(biāo)為(2 sin3, -2cos3)，則 x 的弧度數(shù)為___________。 2．適合 -2cscx 的角的集合為___________。???xcos1cs 3．給出下列命題：（1）若 αβ，則 sinα sinβ；（2）若 sinα sinβ,則 αβ；（3）若 sinα>0，則 α 為第一或第二象限角；（4）若 α 為第一或第二象限角，則 sinα>0. 上述 四個命題中，正確的命題有__________個。 4．已知 sinx+cosx=(x∈(0, π))，則 cotx=___________。 5．簡諧振動 x1=Asin 和 x2=Bsin 疊加后得到的合振動是 x=___________。 6．已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則 1， 2， 3， 4分別是第 ________象限角。 7．滿足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角 x 共有________個。 8．已知，則=___________。 9． =___________。???40cos1sintan3540co 10． cot15cos25cot35cot85=___________。 11．已知 α,β∈(0, π), tan, sin(α+β)=，求 cosβ 的值。 12．已知函數(shù) f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實數(shù) m 的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．已知一扇形中心角是 a,所在圓半徑為 R，若其周長為定值 c(c>0)，當(dāng)扇形面積最大時， a=__________. 2. 函數(shù) f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________. 3. 函數(shù)的值域為__________. 4. 方程=0 的實根個數(shù)為__________. 5. 若 sina+cosa=tana, a， 則__________ a（填大小關(guān)系）. 6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. 7. 若 00>cosa, 且 sin>cos，則的取值范圍是____________. 7．方程 tan5x+tan3x=0 在[0，π]中有__________個解. 8．若 x, y∈R, 則 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為____________. 9．若 0<0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖 象與函數(shù) g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是__________. 2．若，則 y=tan-tan+cos 的最大值是__________. 3．在△ ABC 中，記 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，則=__________. 4．設(shè) f(x)=x2-π x, α= arcsin, β= arctan, γ= arccos, δ= arccot, 將 f(α), f(β), f(γ), f(δ)從小到大排列為__________. 5． logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將 a, b, c, d 從小到大排 列為__________. 6．在銳角△ ABC 中， cosA=cosα sinβ, cosB=cosβ sinγ, cosC=cosγ sinα，則 tanα tanβ tanγ=__________. 7．已知矩形的兩邊長分別為 tan 和 1+cos(0<0 恒成立，則的取值范圍是 __________. 10．已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11．已知 a1, a2, …,an是 n 個實常數(shù)，考慮關(guān)于 x 的函數(shù)： f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +…+cos(an+x)。求證：若實數(shù) x1, x2滿足 f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù) m，使得 x2-x1=mπ. 12．在△ ABC 中，已知 ，求證：此三角形中有一個內(nèi)角為。3coscosii??CBA 13．求證：對任意自然數(shù) n, 均有| sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．已知 x>0, y>0, 且 x+y0①（w∈R）. 2. 已知 a 為銳角， n≥2, n∈N +，求證：≥2 n-2+1. 3. 設(shè) x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…滿足 x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證： 2
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽教材講義
第六章
三角函數(shù)
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