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2019-2020年高中數學 2．1.2 指數函數及其性質 第一課時教案精講 新人教A版必修1
[讀教材填要點]
1．指數函數的定義
函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中x是自變量．
2．指數函數的圖象與性質
a>1
0
0時，y>1
當x>0時，01
單調性
是R上的增函數
是R上的減函數
[小問題大思維]
1．下列函數中，哪些是指數函數？
①y＝2－x；②y＝2x＋1；
③y＝32x；④y＝－2x；
⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；
⑦y＝(a－1)x(a>1且a≠2)．
提示：∵y＝2－x＝()x，∴根據指數函數的定義可知，只有①⑦是指數函數．
2．在同一坐標系中y＝ax和y＝()x的圖象有什么關系？
提示：關于y軸對稱．
3．指數函數具有奇偶性嗎？
提示：指數函數既不是奇函數又不是偶函數．
指數函數的概念
[例1] 指出下列函數中，哪些是指數函數．
(1)y＝πx；(2)y＝(－4)x；(3)y＝－4x；(4)y＝x4；
(5)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)；(6)y＝(a2＋2)－x；
(7)y＝23x＋a(a≠0)；(8)y＝4x2.
[自主解答] 根據指數函數的定義，指數函數滿足：
①前面系數為1；
②底數a>0，且a≠1；
③指數是自變量，所以，
(1)y＝πx，底數為π，滿足π>0，且π≠1，前面系數為1，且指數x為自變量，故它是指數函數；
(2)y＝(－4)x，底數－4<0，故它不是指數函數；
(3)y＝－4x，前面系數為－1，故它不是指數函數；
(4)y＝x4，指數為4而不是x，故它不是指數函數；
(5)y＝(2a－1)x，因為a>，且a≠1，所以2a－1>0，且2a－1≠1，前面系數為1，且指數為自變量x，故它是指數函數；
(6)y＝(a2＋2)－x＝()x，底數∈(0，]，前面系數為1，指數為自變量x，故它是指數函數；
(7)y＝23x＋a(a≠0)，3x前面系數為2≠1，故它不是指數函數；
(8)y＝4x2，底數是自變量，且前面系數為4，故它不是指數函數．故(1)(5)(6)為指數函數．
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指數函數是形式化的概念，形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函數被稱為指數函數，這里x是自變量，要判斷一個函數是否是指數函數，需抓住三點：①底數大于零且不等于1；②冪指數有單一的自變量x；③系數為1，且沒有其他的項.
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1．下列函數中，哪些是指數函數？
(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－6x；
(4)y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)．
解：(1)y＝10x符合定義，是指數函數；
(2)y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10這兩個函數相乘得到的復合函數，不是指數函數．
(3)y＝－6x是由y＝6x與y＝－1這兩個函數相乘得到的復合函數，不是指數函數．
(4)由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底數是符合要求的常數，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指數函數．
綜上可知，(1)(4)是指數函數.
指數函數圖象
[例2] 如圖所示是下列指數函數的圖象，(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.則a，b，c，d與1的大小關系是( )
A．a0，所以5－x－1>－1，
所以函數的值域為(－1，＋∞)．
解題高手
妙解題
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求k為何值時，方程|3x－1|＝k無解？有一解？有兩解？
[巧思] 可在同一直角坐標系下畫出函數y＝|3x－1|的圖象和直線y＝k，通過觀察圖象交點的個數解決．
[妙解] 函數y＝|3x－1|的圖象是由函數y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到，函數圖象如圖所示．
當k<0時，直線y＝k與函數y＝|3x－1|的圖象無交點，即方程無解；
當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點，所以方程有一解；
當00且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
解析：A中a的范圍沒有限制，故不一定是指數函數；B中y＝xa(a>0且a≠1)中變量是底數，故也不是指數函數；C中|a|＋2≥2，故而(|a|＋2)－x＝()x是指數函數；D中只有a－2＝1即a＝3時為指數函數．
答案：C
2．函數y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖象可能是( )
解析：法一(圖象變換法)：當00且a≠1)必過點(1,0)，故只有C項符合．
答案：C
3．已知函數f(x)＝7＋ax－1的圖象恒過點P，則P點坐標是( )
A．(1,8) B．(1,7) C．(0,8) D．(8,0)
解析：當x＝1時，ax－1＝a0＝1.f(x)＝7＋1＝8.故而過定點(1,8)．
答案：A
4．當x∈[－1,3)時，y＝3－x－1的值域是________．
解析：∵y＝3－x－1＝()x－1為單調減函數，
∴y＝()x－1的最大值為y＝3－1＝2.
∴y的值域為(－，2]．
答案：(－，2]
5．已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則f(3)＝________.
解析：∵f(x)的圖象過(0，－2)，(2,0)且a>0，
∴，
∴b＝－3，a＝，
∴f(x)＝()x－3，
則f(3)＝()3－3＝3－3.
答案：3－3
6．求下列函數的定義域和值域：
(1)y＝；(2)y＝().
解：(1)要使函數有意義，則1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因為函數y＝3x在R上是增函數，所以x≤0.
故函數y＝ 的定義域為(－∞，0]．
因為x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1，
所以∈[0,1)，即函數y＝的值域為[0,1)．
(2)要使函數有意義，則x－2≥0，解得x≥2，所以函數y＝()的定義域為[2，＋∞)．
當x∈[2，＋∞)時，≥0，又0<<1，由指數函數的性質知，y＝()≤()0＝1，且y>0，故函數y＝()的值域為(0,1]．
一、選擇題
1．函數y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：∵4x>0,16－4x≥0,4x≤16，x≤2.
∴0<4x≤16.
∴0≤16－4x<16.
∴0≤<4，∴函數的值域為[0,4)．
答案：C
2．已知函數f(x)＝(a2－1)x，若x>0時總有f(x)>1，則實數a的取值范圍是( )
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>
解析：∵當x>0時，總有(a2－1)x>1，
∴a2－1>1，即a2>2.∴|a|>.
答案：D
3．如下圖所示，函數y＝|2x－2|的圖象是( )
解析：y＝|2x－2|＝.畫出函數圖象，知B選項符合題意．
答案：B
4．方程2x＋x＝0的解的個數是( )
A．0 B．1
C．2 D．無數個
解析：令f(x)＝2x，g(x)＝－x，則2x＋x＝0的解就是函數f(x)和g(x)交點，交點個數為1.
答案：B
二、填空題
5．若函數f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則實數a等于________．
解析：由題意知a>1，
∴解得a＝.
答案：
6．設函數f(x)＝若f(a)<1，則實數a的取值范圍是________．
解析：若a<0，則f(a)＝()a－7<1，
()a<8＝()－3，∴a>－3.即－30時，2x>2－x，y＝2－x，
所以y＝其定義域為R，值域(0,1]，圖象如圖所示．
10．如果3－5x>()x＋6，求x的取值范圍？
解：3－5x>()x＋6＝3－x－6，
而指數函數y＝3x為增函數，
∴－5x>－x－6,5x
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21.2
指數函數及其性質
第一課時教案精講
新人教A版必修1
2019
2020
年高
數學
1.2
指數函數
及其
性質
第一
課時
教案
新人
必修
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