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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 圓的方程 2.3.3 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系教案 新人教B版必修2
教學(xué)分析
教材通過(guò)兩個(gè)例題介紹了用代數(shù)方法研究直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，值得注意的是在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比例1的兩種解法，使學(xué)生真正體會(huì)到解法2(幾何法)的簡(jiǎn)便．
三維目標(biāo)
1．掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系及其判定方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
2．能解決與直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．
教學(xué)難點(diǎn)：求圓的切線(xiàn)方程．
課時(shí)安排
1課時(shí)
導(dǎo)入新課
設(shè)計(jì)1.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線(xiàn)、圓的方程，那么如何用方程來(lái)討論直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系呢？教師點(diǎn)出課題．
設(shè)計(jì)2.早晨起來(lái)，站在海邊上向東方觀看：太陽(yáng)從海平面上緩緩升起．如果把遠(yuǎn)處的海平面抽象成直線(xiàn)，把太陽(yáng)抽象成圓，那么其中呈現(xiàn)直線(xiàn)與圓的什么位置關(guān)系？今天，我們用方程來(lái)討論，教師點(diǎn)出課題．
推進(jìn)新課
討論結(jié)果：
(1)相離、相切、相交．如下圖所示．
(2)方法一：根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)
方法二：根據(jù)圓心到直線(xiàn)距離d與半徑r的大小關(guān)系．
如下表所示：
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
圓心到直線(xiàn)的距離d
與半徑r的關(guān)系
相交
兩個(gè)
d
r
(3)方法一，判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)；方法二，可以依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．
思路1
例1已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線(xiàn)方程是y＝x＋b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)？只有一個(gè)公共點(diǎn)？沒(méi)有公共點(diǎn)？
解法一：所求曲線(xiàn)公共點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)，方程組
有兩組不同實(shí)數(shù)解；有兩組相同實(shí)數(shù)解；無(wú)實(shí)數(shù)解的問(wèn)題．
②代入①，整理，得
2x2＋2bx＋b2－2＝0，③
方程③的根的判別式
Δ＝(2b)2－42(b2－2)
＝－4(b＋2)(b－2)．
當(dāng)－20，方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解，因此直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)b＝2或b＝－2時(shí)，Δ＝0，方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，因此直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)b<－2或b>2時(shí)，Δ<0，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)．
以上分別就是直線(xiàn)與圓相交、相切、相離的三種情況(如下圖)．
解法二：圓與直線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、無(wú)公共點(diǎn)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為b取何值時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問(wèn)題．
圓的半徑r＝，圓心O(0,0)到直線(xiàn)y＝x＋b的距離為d＝.
當(dāng)dr，|b|>2，即b<－2或b>2時(shí)，圓與直線(xiàn)相離，圓與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：解法一稱(chēng)為代數(shù)法，解法二稱(chēng)為幾何法．幾何法是判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的最優(yōu)解法．
代數(shù)法步驟：
①將直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立成方程組；
②利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程；
③求出其判別式Δ的值；
④比較Δ與0的大小關(guān)系，若Δ>0，則直線(xiàn)與圓相交；若Δ＝0，則直線(xiàn)與圓相切；若Δ<0，則直線(xiàn)與圓相離．
幾何法步驟：
①把直線(xiàn)方程化為一般式，求出圓心和半徑；
②利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求圓心到直線(xiàn)的距離；
③作判斷：當(dāng)d>r時(shí)，直線(xiàn)與圓相離；當(dāng)d＝r時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)dr，可知直線(xiàn)與圓相離．
(2)點(diǎn)C到直線(xiàn)x＋2y－1＝0的距離為d2＝＝＝.
因?yàn)閐20，
∴直線(xiàn)與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．
解法二：圓的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，
其圓心的坐標(biāo)為(0,1)，半徑長(zhǎng)為.
圓心到直線(xiàn)的距離為d＝<.
∴直線(xiàn)與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．
由x2－3x＋2＝0得x1＝2，x2＝1.當(dāng)x1＝2時(shí)，y1＝6－32＝0；
當(dāng)x2＝1時(shí)，y2＝6－31＝3，
得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)、(1,3)．
點(diǎn)評(píng)：利用幾何法判斷比利用代數(shù)方法要快．但求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)仍需聯(lián)立方程．
直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定：法一：看由它們的方程組成的方程組有解的個(gè)數(shù)；法二：可以依據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的關(guān)系．
變式訓(xùn)練
1．直線(xiàn)l：3x＋4y＋6＝0與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．不確定
解析：圓心(0,0)到直線(xiàn)l的距離d＝＝0)，如下圖．
則弦長(zhǎng)p＝2，其中d為圓心到直線(xiàn)x－y－1＝0的距離，
∴p＝2＝2.∴r2＝4.
∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
由解得弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1)、(0，－1)．
∴過(guò)弦兩端點(diǎn)的該圓的切線(xiàn)方程是y＝1和x＝0.
知能訓(xùn)練
1．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線(xiàn)x－3y＝0上，且被直線(xiàn)y＝x截得的弦長(zhǎng)為2，求圓C的方程．
答案：(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.
2．圓x2＋y2＝2上的點(diǎn)到直線(xiàn)3x＋4y＋25＝0的距離的最小值為( )
A．5－ B．5＋
C．3 D.－
答案：A
3．以M(－4,3)為圓心的圓與直線(xiàn)2x＋y－5＝0相離，那么圓M的半徑r的取值范圍是( )
A．04，所以點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝4外．設(shè)切線(xiàn)斜率為k，則切線(xiàn)方程為y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圓心坐標(biāo)為(2,0)，r＝2.因?yàn)閳A心到切線(xiàn)的距離等于半徑，即＝2，k＝.
所以切線(xiàn)方程為21x－20y＋16＝0.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)還有一條切線(xiàn)是x＝4.
7．圓x2＋y2＝8內(nèi)有一點(diǎn)P0(－1,2)，AB為過(guò)點(diǎn)P0且傾斜角為α的弦．
(1)當(dāng)α＝135時(shí)，求AB的長(zhǎng)；(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)最短時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程．
解：(1)當(dāng)α＝135時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率為k＝tan135＝－1，所以直線(xiàn)AB的方程為
y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1.
弦心距d＝，半徑r＝2，弦長(zhǎng)|AB|＝2＝2＝.
(2)當(dāng)AB的長(zhǎng)最短時(shí)，OP0⊥AB，因?yàn)閗OP0＝－2，所以kAB＝，直線(xiàn)AB的方程為y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
(1)已知直線(xiàn)l：y＝x＋b與曲線(xiàn)C：y＝有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)若關(guān)于x的不等式 >x＋b解集為R，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
解：(1)如下圖，方程y＝x＋b表示斜率為1，在y軸上截距為b的直線(xiàn)l；
方程y＝ 表示單位圓在x軸上及其上方的半圓，
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，它與半圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)b＝1，直線(xiàn)記為l1；
當(dāng)直線(xiàn)與半圓相切時(shí)，b＝，直線(xiàn)記為l2.
直線(xiàn)l要與半圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必須滿(mǎn)足l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2)，
所以1≤b<，即所求的b的取值范圍是[1，)．
(2)不等式>x＋b恒成立，即半圓y＝在直線(xiàn)y＝x＋b上方，
當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，b＝－1，所以所求的b的取值范圍是(－∞，－1)．
1．判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法：幾何法和代數(shù)法．
2．求切線(xiàn)方程．
本節(jié)練習(xí)B 2,3,4題．
本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)以例題教學(xué)為主，突出了圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．在設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮到高考要求，例題的難度有所增加，在實(shí)際教學(xué)中可選擇應(yīng)用．
備選習(xí)題
1．圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的切線(xiàn)方程中有一個(gè)是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
解析：圓心為(1，－)，半徑為1，故此圓必與y軸(x＝0)相切．
答案：C
2．圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線(xiàn)x＋y＋1＝0的距離為的點(diǎn)共有( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
答案：C
3．已知圓x2－4x－4＋y2＝0的圓心是點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y－1＝0的距離是________．
答案：
4．已知圓C的圓心與點(diǎn)P(－2,1)關(guān)于直線(xiàn)y＝x＋1對(duì)稱(chēng)．直線(xiàn)3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為_(kāi)_________．
解析：設(shè)圓心為C(a，b)，
則由
∴C(0，－1)．
設(shè)C半徑為r，點(diǎn)C到直線(xiàn)3x＋4y－11＝0的距離為d，
則d＝＝3.
∴r2＝()2＋d2＝9＋9＝18.
∴x2＋(y＋1)2＝18.
答案：x2＋(y＋1)2＝18
5．直線(xiàn)l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l與圓C總相交；(2)求直線(xiàn)l被圓C截得的線(xiàn)段的最短長(zhǎng)度以及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．
(1)證明：設(shè)圓心C到直線(xiàn)l的距離為d，則有d＝，整理可得4(d2－1)m2＋12m＋d2－9＝0?、?，為使上面關(guān)于m的方程有實(shí)數(shù)解，需要Δ＝122－16(d2－1)(d2－9)≥0，解得0≤d≤，可得d<5.故不論m為何實(shí)數(shù)值，直線(xiàn)l與圓C總相交；
(2)解：由(1)可知0≤d≤，即d的最大值為.根據(jù)平面幾何知識(shí)可知：當(dāng)圓心到直線(xiàn)l的距離最大時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度最短．所以當(dāng)d＝時(shí)，線(xiàn)段(即弦長(zhǎng))的最小長(zhǎng)度為2＝2.將d＝代入①可求得m＝－，代入直線(xiàn)l的方程得直線(xiàn)與圓C截得最短線(xiàn)段時(shí)的方程為x＋3y＋5＝0.
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