2019-2020年高中數(shù)學(xué) 變量間的相關(guān)關(guān)系教案 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 變量間的相關(guān)關(guān)系教案 新人教A版必修3 一、教材分析 本節(jié)知識內(nèi)容不多，但分析本節(jié)內(nèi)容，至少有下列特點： 1）知識的聯(lián)系面廣，應(yīng)用性強，概念的真正理解有難度，教學(xué)既要承前啟后，完成統(tǒng)計必修基礎(chǔ)知識的構(gòu)建；也要知道知識的來龍去脈，提升學(xué)生運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，更要抓住本質(zhì)，正確理解統(tǒng)計推斷的結(jié)論。 2）通過典型案例進行教學(xué)，使知識形成的過程中具有可操作性，易于創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生參與，而學(xué)生借助解決問題，通過自主思維活動，會產(chǎn)生感悟、發(fā)現(xiàn)，能提出問題，思考交流，不僅能正確、全面地理解基礎(chǔ)知識和基本方法，而且能促進、發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計意識、統(tǒng)計思想。 二、教學(xué)目標(biāo) 1. 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 三、教學(xué)重點難點 重點：作出散點圖和根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 難點：對最小二乘法的理解。 四、學(xué)情分析 本節(jié)是一種對樣本數(shù)據(jù)的處理方法，但側(cè)重的是由樣本推斷總體，其方法是學(xué)生初識的、知識的作用也是學(xué)生初見的。知識量并不大，但涉及的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想較充分，同時，在教材中留有供發(fā)現(xiàn)的點，設(shè)有開放性問題，既具有體驗數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的功能，也具有培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象能力、鍛煉創(chuàng)造性思維能力的作用。 五、教學(xué)方法 1．自主探究，互動學(xué)習(xí) 2．學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。 3．新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí) 六、課前準備 1．學(xué)生的學(xué)習(xí)準備：預(yù)習(xí)課本，初步把握必須的定義。 2．教師的教學(xué)準備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時安排：1課時 八、教學(xué)過程 〖復(fù)習(xí)回顧〗 標(biāo)準差的公式為：______________________________________________________ 〖創(chuàng)設(shè)情境〗 1、函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量，如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系 2、在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題?！卑凑者@種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系，我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 3、“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 〖新知探究〗 思考：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ 一、相關(guān)關(guān)系： 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系。 【說明】函數(shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。 思考探究： 1、有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語。吸煙是否一定會引起健康問題？你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 2、某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒出生率低，于是他得出了一個結(jié)論：天鵝能夠帶來孩子。你認為這樣的結(jié)論可靠嗎？如何證明這個問題的可靠性？ 分析：（1）吸煙只是影響健康的一個因素，對健康的影響還有其他的一些因素，兩者之間非函數(shù)關(guān)系即非因果關(guān)系； （2）不對，這也是相關(guān)關(guān)系而不是函數(shù)關(guān)系。 上面提到了很多相關(guān)關(guān)系，那它們之間的相關(guān)關(guān)系強還是弱？我們下面來研究一下。 二、散點圖 探究：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)。 思考探究： 1、對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 2、為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？ 在平面直角坐標(biāo)系中， 表示具有相關(guān)關(guān)系的 兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖 形稱為散點圖。 3、觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本，這種相關(guān)關(guān)系我們稱為什么？還有沒有其他的相關(guān)關(guān)系？它又有怎樣的特點？ 三、線性相關(guān)、回歸直線方程和最小二乘法 在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。 我們所畫的回歸直線應(yīng)該使散點圖中的各點在整體上盡可能的與其接近。我們怎么來實現(xiàn)這一目的呢？說一說你的想法。 設(shè)所求的直線方程為=bx+a，其中a、b是待定系數(shù)。 則i=bxi+a（i=1，2，…，n）.于是得到各個偏差 yi－i =yi－（bxi+a）（i=1，2，…，n） 顯見，偏差yi－i 的符號有正有負，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用n個偏差的平方和 Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）2+…+（yn－bxn－a）2 表示n個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度。 記Q= 這樣，問題就歸結(jié)為：當(dāng)a、b取什么值時Q最小，a、b的值由下面的公式給出： 其中=，=，a為回歸方程的斜率，b為截距。 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。 【例題精析】 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 攝氏溫度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）畫出散點圖； （2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律； （3）求回歸方程； （4）如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。 解： （4）當(dāng)x=2時，y=143.063 （四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。 1、求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行： （1）計算平均數(shù)，； （2）求a，b； （3）寫出回歸直線方程。 2、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.。 3、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的。因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程 教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進行當(dāng)堂檢測。 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進行簡單的反饋糾正。（課堂實錄） （五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。 完成本節(jié)的課后練習(xí)及課后延伸拓展作業(yè)。 設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。 九、板書設(shè)計 一、相關(guān)關(guān)系 二、散點圖 三、線性相關(guān)、回歸直線方程和最小二乘法 例題講解 小結(jié) 十、教學(xué)反思 本課的設(shè)計采用了課前下發(fā)預(yù)習(xí)學(xué)案，學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點、難點、疑點、考點、探究點以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易忘、易混點等，最后進行當(dāng)堂檢測，課后進行延伸拓展，以達到提高課堂效率的目的。 本節(jié)課學(xué)習(xí)了變量間的相互關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān),以及最小二乘法和回歸直線的定義,體會了用最小二乘法解決兩個變量線性相關(guān)的方法,在解決問題中要熟練掌握求回歸系數(shù)b、a的公式,精確計算.同時,要注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析兩變量的關(guān)系和抽象概括的能力 在后面的教學(xué)過程中會繼續(xù)研究本節(jié)課，爭取設(shè)計的更科學(xué)，更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也希望大家提出寶貴意見，共同完善，共同進步! 2.3變量間相關(guān)關(guān)系 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、預(yù)習(xí)目標(biāo) 1. 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系； 2. 知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。 二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 1.舉例說明函數(shù)關(guān)系為什么是確定關(guān)系？ 2.一個人的身高與體重是函數(shù)關(guān)系嗎? 3. 相關(guān)關(guān)系的概念： 4. 什么叫做散點圖？ 5.回歸分析，（1）求回歸直線方程的思想方法；（2）回歸直線方程的求法 三、提出疑惑 同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內(nèi)容 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程，知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 二、學(xué)習(xí)重難點： 重點：作出散點圖和根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 難點：對最小二乘法的理解。 三、學(xué)習(xí)過程 思考：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系： （1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費； （2）糧食產(chǎn)量與施肥量； （3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡. 這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？ （一）、相關(guān)關(guān)系： 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系。 【說明】函數(shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。 思考探究： 1、有關(guān)法律規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語。吸煙是否一定會引起健康問題？你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的，所以可以吸煙”的說法對嗎？ 2、某地區(qū)的環(huán)境條件適合天鵝棲息繁衍，有人經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，如果村莊附近棲息的天鵝多，那么這個村莊的嬰兒出生率也高，天鵝少的地方嬰兒出生率低，于是他得出了一個結(jié)論：天鵝能夠帶來孩子。你認為這樣的結(jié)論可靠嗎？如何證明這個問題的可靠性？ （二）、散點圖 探究：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 年齡 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)。 思考探究： 1、對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？ 2、為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？ 3、觀察人的年齡的與人體脂肪含量散點圖的大致趨勢，有什么樣的特點？閱讀課本，這種相關(guān)關(guān)系我們稱為什么？還有沒有其他的相關(guān)關(guān)系？它又有怎樣的特點？ （三）、線性相關(guān)、回歸直線方程和最小二乘法 在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點？ 如果散點圖中的點的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。 我們所畫的回歸直線應(yīng)該使散點圖中的各點在整體上盡可能的與其接近。我們怎么來實現(xiàn)這一目的呢？說一說你的想法。 這樣，問題就歸結(jié)為：當(dāng)a、b取什么值時Q最小，a、b的值由下面的公式給出： 其中=，=，a為回歸方程的斜率，b為截距。 求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。 【例題精析】 【例1】下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 （1）將上表中的數(shù)據(jù)制成散點圖. （2）你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)溫度與飲料杯數(shù)近似成什么關(guān)系嗎? （3）如果近似成線性關(guān)系的話，請求出回歸直線方程來近似地表示這種線性關(guān)系. （4）如果某天的氣溫是－5℃時，預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù). （四）反思總結(jié) 1、求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進行： （1）計算平均數(shù)，； （2）求a，b； （3）寫出回歸直線方程。 2、回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.。 3、對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的。因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程。 (五)當(dāng)堂檢測 1.有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是 A.相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系 B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程 2.下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系 A.出租車費與行駛的里程 B.房屋面積與房屋價格 C.身高與體重 D.鐵的大小與質(zhì)量 3.回歸方程=1.5x－15，則 A.=1.5－15 B.15是回歸系數(shù)a C.1.5是回歸系數(shù)a D.x=10時，y=0 4.r是相關(guān)系數(shù)，則結(jié)論正確的個數(shù)為 ①r∈［－1，－0.75］時，兩變量負相關(guān)很強 ②r∈［0.75，1］時，兩變量正相關(guān)很強 ③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）時，兩變量相關(guān)性一般 ④r=0.1時，兩變量相關(guān)很弱 A.1 B.2 C.3 D.4 5.線性回歸方程=bx+a過定點________. 6.一家工廠為了對職工進行技能檢查,對某位職工進行了10次實驗,收集數(shù)據(jù)如下: 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 60 70 80 加工時間y(分鐘) 12 25 33 48 55 61 64 70 (1)畫出散點圖； (2)求回歸方程. 參考答案： 1. 答案：D解析：只有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)才有回歸直線. 2. 答案：C解析：A、B、D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系. 3. 答案：A解析：D中x=10時=0，而非y=0，系數(shù)a、b的意義要分清. 4. 答案：D解析：相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì). 5.答案：（，）解析：=bx+a，=bx+－b，（－）=b（x－） 課后練習(xí)與提高 1.下列兩個變量之間的關(guān)系不具有線性關(guān)系的是（ ） A.小麥產(chǎn)量與施肥值 B.球的體積與表面積 C.蛋鴨產(chǎn)蛋個數(shù)與飼養(yǎng)天數(shù) D.甘蔗的含糖量與生長期的日照天數(shù) 2.下列變量之間是函數(shù)關(guān)系的是（ ） A.已知二次函數(shù),其中,是已知常數(shù),取為自變量,因變量是這個函數(shù)的判別式： B.光照時間和果樹畝產(chǎn)量 C.降雪量和交通事故發(fā)生率 D.每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量 3．下面現(xiàn)象間的關(guān)系屬于線性相關(guān)關(guān)系的是（ ） A.圓的周長和它的半徑之間的關(guān)系 B.價格不變條件下,商品銷售額與銷售量之間的關(guān)系 C.家庭收入愈多,其消費支出也有增長的趨勢 D.正方形面積和它的邊長之間的關(guān)系 4．下列關(guān)系中是函數(shù)關(guān)系的是（ ） A.球的半徑長度和體積的關(guān)系 B.農(nóng)作物收獲和施肥量的關(guān)系 C.商品銷售額和利潤的關(guān)系 D.產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成品成本的關(guān)系 5.設(shè)有一個回歸方程為,則變量x增加一個單位時（ ） A.平均增加1.5單位 B. 平均增加2單位 C. 平均減少1.5單位 D. 平均減少2單位 6.工人月工資（元）與勞動生產(chǎn)率(千元)變化的回歸直線方程為,下列判 斷不正確的是（ ） A．勞動生產(chǎn)率為1000元時,工資約為130元 B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,則工資平均提高80元 C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時,則工資平均提高130元 D.當(dāng)月工資為210元時,勞動生產(chǎn)率約為xx元 7．某城市近10年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合（單位：億元），預(yù)計今年該城市居民年收入為15億元，則年支出估計是 ． 8、在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x之間對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)： 時間t(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y(μm) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)畫出散點圖； (2)試求腐蝕深度y對時間t的回歸直線方程。