2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積課堂探究 新人教B版必修2探究一 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的面積問(wèn)題對(duì)于多面體，只有直棱柱，正棱錐和正棱臺(tái)可直接用公式求側(cè)面積，其余多面體的側(cè)面積要把每個(gè)側(cè)面積求出來(lái)再相加，求解時(shí)還要注意區(qū)分是求側(cè)面積還是表面積【典型例題1】 如圖所示，正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4 cm，高與斜高的夾角為30，求該正四棱錐的側(cè)面積和表面積思路分析：根據(jù)多面體的側(cè)面積公式，必須求出相應(yīng)多面體的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)面的斜高，我們可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)加以分析求解解：正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成一個(gè)RtPOE因?yàn)镺E2 cm，OPE30，所以PE4(cm)因此S正四棱錐側(cè)ch44432(cm2)，S正四棱錐表S正四棱錐側(cè)S正四棱錐底324448(cm2)點(diǎn)評(píng)解決此類題目先利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解相應(yīng)的元素，再代入面積公式求解空間幾何體的表面積運(yùn)算，一般先轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的運(yùn)算，再充分利用平面幾何圖形的特性通過(guò)解三角形完成基本量的運(yùn)算【典型例題2】 已知正六棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為1 cm和2 cm，高是1 cm，求它的側(cè)面積解：如圖所示是正六棱臺(tái)的一個(gè)側(cè)面及其高組成的一部分(其余部分省略)，則側(cè)面ABB1A1為等腰梯形，OO1為高，且OO11 cm，AB1 cm，A1B12 cm，取AB和A1B1的中點(diǎn)C，C1，連接OC，CC1，O1C1，則CC1為正六棱臺(tái)的斜高，且四邊形OO1C1C為直角梯形根據(jù)正六棱臺(tái)的性質(zhì)可得，OCAB (cm)，O1C1A1B1(cm)，所以CC1 (cm)又知上、下底面周長(zhǎng)分別為c6AB6(cm)，c6A1B112(cm)，斜高h(yuǎn)CC1cm所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為S正六棱臺(tái)側(cè)(cc)h(612)(cm2)點(diǎn)評(píng)求正棱臺(tái)的側(cè)面積同正棱錐類似，除了利用相對(duì)應(yīng)的側(cè)面積公式，也要利用正棱臺(tái)中的核心直角梯形探究二 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的面積問(wèn)題1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式：S圓柱側(cè)2rl，S圓錐側(cè)rl，S圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l，如上圖，當(dāng)r1變化時(shí)，相應(yīng)的圖形也隨之變化，當(dāng)r10，r2r時(shí)，相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓錐，而當(dāng)r1r2r時(shí)，相應(yīng)的圓臺(tái)就轉(zhuǎn)化為圓柱，相應(yīng)的側(cè)面積公式也隨之變化圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的變化關(guān)系為S圓柱側(cè)2rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)lS圓錐側(cè)rl2對(duì)于圓錐還要明確如下結(jié)論：(1)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形(2)圓錐的底面周長(zhǎng)扇形的弧長(zhǎng)(3)圓錐的母線長(zhǎng)扇形的半徑(4)S扇形(其中n為扇形圓心角的度數(shù)，r為扇形的半徑)【典型例題3】 (1)圓錐的底面直徑為6，高是4，則它的側(cè)面積為()A12 B24 C15 D30解析：作圓錐軸截面如圖，高AD4，底面半徑CD3，則母線AC5，得S側(cè)3515答案：C(2)矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，所形成幾何體的側(cè)面積之比為()A12 B11 C14 D13解析：以邊長(zhǎng)1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S12214，以2所在邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S22124，故S1S211，選B答案：B探究三 球的切接問(wèn)題對(duì)球的表面積公式的考查，通常與球的性質(zhì)結(jié)合在一起與其他多面體和旋轉(zhuǎn)體組合也是考查球的表面積的一種常見(jiàn)方式常見(jiàn)的有關(guān)球的一些性質(zhì)：(1)長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線是球的直徑；球與正方體的六個(gè)面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)；球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對(duì)角線(2)球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑【典型例題4】 (1)已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,3,6，則其外接球的表面積為()A196 B49 C44 D36解析：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為7，所以其外接球的直徑為2R7，即R，所以它的表面積為4R249故選B答案：B(2)已知圓臺(tái)內(nèi)有一表面積為144 cm2的內(nèi)切球，如果圓臺(tái)的下底面與上底面半徑之差為5 cm，求圓臺(tái)的表面積解：其軸截面如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1，r2，母線長(zhǎng)為l，球半徑為R，則r2r15，母線lr1r2因?yàn)?R2144，所以R6又l2(2R)2(r2r1)2，所以(r1r2)2(2R)2(r2r1)2(26)252132所以r1r213結(jié)合r2r15得r14，r29，所以l13所以S圓臺(tái)表(r1r2)l4292(49)13266(cm2)探究四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因考慮不全面而致誤【典型例題5】 用互相平行且距離為27的兩個(gè)平面截球面，兩個(gè)截面圓的半徑分別為r115，r224，試求球的表面積錯(cuò)解：設(shè)球的半徑為R，由題意可設(shè)球心到兩平行平面的距離為OO1d1，OO2d2，如圖所示，可得d1，d2，R之間的關(guān)系：所以225576(27d1)2，解得d120，d27，R25所以S球4R22 500錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中只分析了兩平行平面位于球心異側(cè)的情況，還應(yīng)該討論兩平行平面位于球心同側(cè)的情況正解：設(shè)球的半徑為R，球心O到兩平行截面的距離分別為OO1d1，OO2d2(1)當(dāng)兩平行截面位于球心O異側(cè)時(shí)，如圖，則所以225576(27d1)2解得d120，d27，R25所以S球4R22 500(2)當(dāng)兩平行截面位于球心O同側(cè)時(shí)，如圖，則所以225576(d127)2解得d120，d27，不符合題意，即這種情況不存在綜上可知，球的表面積為2 500