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2019-2020年高三數(shù)學大一輪復習 4.3三角函數(shù)的圖象與性質教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查三角函數(shù)的圖象：五點法作簡圖、圖象變換、圖象的解析式；2.考查三角函數(shù)的性質：值域或最值，單調區(qū)間、對稱性等；3.考查數(shù)形結合思想．
復習備考要這樣做 1.會作三角函數(shù)的圖象，通過圖象研究三角函數(shù)性質；2.對三角函數(shù)進行恒等變形，然后討論圖象、性質；3.注重函數(shù)與方程、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的應用．
1． “五點法”作圖原理
在確定正弦函數(shù)y＝sin x在[0,2π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(0,0)、、(π，0)、、(2π，0)．余弦函數(shù)呢？
2． 三角函數(shù)的圖象和性質
函數(shù)
性質
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定義域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
圖象
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
對稱性
對稱軸：x＝kπ＋(k∈Z)；對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)
對稱軸：x＝kπ(k∈Z)；對稱中心：(kπ＋，0) (k∈Z)
對稱中心：(k∈Z)
周期
2π
2π
π
單調性
單調增區(qū)間[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；
單調減區(qū)間[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)
單調增區(qū)間[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)；
單調減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
單調增區(qū)間(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
[難點正本 疑點清源]
1． 函數(shù)的周期性
若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常數(shù)T不能說是函數(shù)f(ωx＋φ)的周期．因為f(ωx＋φ＋T)＝f，即自變量由x增加到x＋，是函數(shù)的周期．
2． 求三角函數(shù)值域(最值)的方法
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式復雜的函數(shù)應化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性寫出函數(shù)的值域；
(3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題．
1． 設點P是函數(shù)f(x)＝sin ωx (ω≠0)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是，則f(x)的最小正周期是________．
答案 π
解析 由正弦函數(shù)的圖象知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的，故f(x)的最小正周期為T＝4＝π.
2． 函數(shù)y＝2－3cos的最大值為______，此時x＝______________.
答案 5 π＋2kπ，k∈Z
解析 當cos＝－1時，函數(shù)y＝2－3cos取得最大值5，此時x＋＝π＋2kπ (k∈Z)，從而x＝π＋2kπ，k∈Z.
3． (xx福建)函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是 ( )
A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－
答案 C
解析 方法一 ∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，
故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，則x＝－.
方法二 用驗證法．
x＝時，y＝sin＝0，不合題意，排除A；
x＝時，y＝sin＝，不合題意，排除B；
x＝－時，y＝sin＝－1，符合題意，C項正確；
x＝－時，y＝sin＝－，不合題意，故D項也不正確．
4．函數(shù)y＝tan的定義域為( )
A．{x|x≠kπ－，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－，k∈Z}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z} D．{x|x≠2kπ＋，k∈Z}
答案 A
解析 令－x≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠kπ－，k∈Z.
5． 給出下列四個命題，其中不正確的命題為 ( )
①若cos α＝cos β，則α－β＝2kπ，k∈Z；
②函數(shù)y＝2cos的圖象關于x＝對稱；
③函數(shù)y＝cos(sin x)(x∈R)為偶函數(shù)；
④函數(shù)y＝sin|x|是周期函數(shù)，且周期為2π.
A．①② B．①④
C．①②③ D．①②④
答案 D
解析 命題①：若α＝－β，則cos α＝cos β，假命題；命題②：x＝，cos＝cos ＝0，故x＝不是y＝2cos的對稱軸；命題④：函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)．
題型一 三角函數(shù)的定義域、值域問題
例1 (1)求函數(shù)y＝lg sin 2x＋的定義域；
(2)求函數(shù)y＝cos2x＋sin x 的最大值與最小值．
思維啟迪：求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖象或數(shù)軸；求函數(shù)值域時要利用正弦函數(shù)的值域或化為二次函數(shù)．
解 (1)由，
得
∴－3≤x<－或0
0)的函數(shù)的單調區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答．列不等式的原則：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個“整體”；②A>0 (A<0)時，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調區(qū)間對應的不等式方向相同(反)．
(2)對于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝，單調區(qū)間利用ωx＋φ∈，解出x的取值范圍，即為其單調區(qū)間．對于復合函數(shù)y＝f(v)，v＝φ(x)，其單調性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同為增(減)函數(shù)時，y＝f(φ(x))為增函數(shù)；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一減時，y＝f(φ(x))為減函數(shù)．
(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．
求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調區(qū)間及最大、最小值．
解 ∵＋＝，
∴cos＝cos
＝cos＝sin.
∴y＝2sin，周期T＝＝.
當－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數(shù)單調遞增，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z)．
當＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)時，函數(shù)單調遞減，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z)．
當x＝＋ (k∈Z)時，ymax＝2；
當x＝－＋ (k∈Z)時，ymin＝－2.
題型三 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ) 的圖象關于直線x＝0對稱，則φ的值為________．
(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關于點中心對稱，那么|φ|的最小值為( )
A. B. C. D.
答案 (1) (2)A
解析 (1)f(x)＝2sin，
y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關于x＝0對稱，
即f(x＋φ)為偶函數(shù)．
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵|φ|≤，∴φ＝.
(2)由題意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值為.故選A.
探究提高 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，f(x)＝0.
如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.
如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．
(1)定義運算＝ad－bc，則函數(shù)f(x)＝的圖象的一條對稱軸方程是 ( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
(2)若函數(shù)f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x＝，函數(shù)f′(x)的圖象的一個對稱中心是，則f(x)的最小正周期是________．
答案 (1)A (2)π
解析 (1)f(x)＝＝3cos x－sin x
＝2cos.
所以當x＝時，f(x)＝2cos＝－2.
(2)由題設，有f＝，
即(a＋b)＝，由此得到a＝b.
又f′＝0，∴aω＝0，
從而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，∴ω＝2，
于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin，
故f(x)的最小正周期是π.
方程思想在三角函數(shù)中的應用
典例：(12分)已知函數(shù)f(x)＝2asin＋b的定義域為，函數(shù)的最大值為1，最小值為－5，求a和b的值．
審題視角 (1)求出2x－的范圍，求出sin的值域．(2)系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩種情況討論．(3)根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解．
規(guī)范解答
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，[3分]
若a>0，則，
解得；[7分]
若a<0，則，
解得.[11分]
綜上可知，a＝12－6，b＝－23＋12或a＝－12＋6，
b＝19－12.[12分]
溫馨提醒 (1)對此類問題的解決，首先利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性或單調性求出y＝Aasin(ωx＋φ)或y＝Aacos(ωx＋φ)的最值，但要注意對a的正負進行討論，以便確定是最大值還是最小值．(2)再由已知列方程求解．(3)本題的易錯點是忽視對參數(shù)a>0或a<0的分類討論，導致漏解.
方法與技巧
1．利用函數(shù)的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)，求三角函數(shù)的值域(最值)．
2．利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域或最值．
3．利用換元法求復合函數(shù)的單調區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負號)．
失誤與防范
1．閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎上分析單調性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響．
2．求三角函數(shù)的單調區(qū)間時，應先把函數(shù)式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應特別注意，考慮問題應在函數(shù)的定義域內考慮．注意區(qū)分下列兩題的單調增區(qū)間的不同：
(1)y＝sin；(2)y＝sin.
3．利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯誤．
A組 專項基礎訓練
(時間：35分鐘，滿分：57分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1． 函數(shù)y＝的定義域為 ( )
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
答案 C
解析 由題意得cos x≥，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
故函數(shù)定義域為，k∈Z.
2． y＝sin的圖象的一個對稱中心是 ( )
A．(－π，0) B.
C. D.
答案 B
解析 ∵y＝sin x的對稱中心為(kπ，0) (k∈Z)，
∴令x－＝kπ (k∈Z)，x＝kπ＋ (k∈Z)，
由k＝－1，x＝－得y＝sin的一個對稱中心是.
3． (xx山東)若函數(shù)f(x)＝sin ωx (ω>0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω等于 ( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f(x)＝sin ωx(ω>0)過原點，
∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數(shù)；
當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數(shù)．
由f(x)＝sin ωx (ω>0)在上單調遞增，
在上單調遞減知，＝，∴ω＝.
4． 函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin是 ( )
A．非奇非偶函數(shù)
B．僅有最小值的奇函數(shù)
C．僅有最大值的偶函數(shù)
D．有最大值又有最小值的偶函數(shù)
答案 D
解析 f(x)＝cos 2x＋sin＝2cos2x－1＋cos x＝22－.顯然有最大值又有最小值，而且在R上有f(－x)＝f(x)，所以正確答案為D.
二、填空題(每小題5分，共15分)
5． 函數(shù)y＝lg(sin x)＋的定義域為____________________．
答案 (k∈Z)
解析 要使函數(shù)有意義必須有，
即，解得(k∈Z)，
∴2kπ0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________．
答案 [－，3]
解析 由對稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)．
由x∈[0，]，得－≤2x－≤π，
∴－≤f(x)≤3.
7． 函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，那么ω＝________.
答案
解析 因為f(x)＝2sin ωx (ω>0)在上單調遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin ω＝，且0<ω<，因此ω＝.
三、解答題(共22分)
8． (10分)設函數(shù)f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.
(1)求φ；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調增區(qū)間．
解 (1)令2＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π<φ<0，則－0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點，則ω的最小值是 ( )
A. B．1 C. D．2
答案 D
解析 根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為y＝sin ω，
將代入得sin ＝0，則ω＝2k，k∈Z，且ω>0，
故ω的最小值為2.
2． (xx上海)若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是 ( )
A．16 B．72 C．86 D．100
答案 C
解析 易知S1>0，S2>0，S3>0，S4>0，S5>0，S6>0，S7>0.
S8＝sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin
＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S9＝sin ＋sin ＋…＋sin >0，
S10＝sin ＋…＋sin >0，
S11＝sin ＋sin ＋sin >0，
S12＝sin ＋sin >0，
S13＝sin ＝0，
S14＝sin ＋sin ＝0，
∴S1，S2，…，S100中，
S13＝0，S14＝0，S27＝0，S28＝0，S41＝0，S42＝0，S55＝0，
S56＝0，S69＝0，S70＝0，S83＝0，S84＝0，S97＝0，S98＝0，共14個．
∴在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是100－14＝86(個)．
3． 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值是－2，則ω的最小值等于( )
A. B. C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f(x)＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，
∴x＝－，k∈Z，∴－≤－≤，k∈Z，
∴ω≥－6k＋且ω≥8k－2，k∈Z，∴ωmin＝，故選B.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 函數(shù)y＝2sin(3x＋φ) (|φ|<)的一條對稱軸為x＝，則φ＝________.
答案
解析 由題意得3＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝.
5． 函數(shù)y＝ (0cos x時，f(x)＝sin x.
給出以下結論：
①f(x)是周期函數(shù)；
②f(x)的最小值為－1；
③當且僅當x＝2kπ (k∈Z)時，f(x)取得最小值；
④當且僅當2kπ－0；
⑤f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.
其中正確的結論序號是________．
答案 ①④⑤
解析 易知函數(shù)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)．
函數(shù)f(x)在一個周期內的圖象如圖所示．
由圖象可得，f(x)的最小值為－，當且僅當x＝2kπ＋ (k∈Z)時，f(x)取得最小值；當且僅當2kπ－0；f(x)的圖象上相鄰兩個最低點的距離是2π.所以正確的結論的序號是①④⑤.
三、解答題
7． (13分)已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1.
(1)求常數(shù)a，b的值；
(2)設g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調區(qū)間．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中當2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時，g(x)單調遞增，即kπ
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4.3三角函數(shù)的圖象與性質教案
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