2019-2020年高三數學上冊 15.5《幾何體的體積》教案（2） 滬教版.doc

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2019-2020年高三數學上冊 15.5《幾何體的體積》教案（2） 滬教版 一、教學內容分析 錐體的體積是學習祖暅原理與柱體體積之后，對幾何體體積的進一步探索.其中三棱錐體積在這之中又尤為重要，起著承上啟下的作用.推導三棱錐的體積要用到前一課時的內容；同時，n棱錐乃至圓錐的體積公式又是建立在三棱錐體積之上的.所以處理好三棱錐的體積問題，是這堂課的重中之重. 二、教學目標設計 學生通過具體實驗感知三棱錐體積公式，通過嚴謹證明確認三棱錐體積公式，通過對新知識的應用推廣得到n棱錐的體積公式，通過具體實例初步應用錐體體積公式. 能應用割補法求體積以及體積法求點到面的距離，在這個過程中，提高分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力. 三、教學重點及難點 三棱錐體積公式及其探求. 四、教學流程設計 復習已學知識 做好上課準備 通過實驗 發(fā)現(xiàn)規(guī)律 提出質疑 嚴謹證明 繼續(xù)推廣 特殊到一般 簡單應用 鞏固公式 課堂小結 布置作業(yè) 五、教學過程設計 一、情景引入 1、復習祖暅原理：體積可看成是有面積疊加而成，用一組平行平面截兩個空間圖形，若在任意等高處的截面面積都對應相等，則兩空間圖形的體積必然相等. 2、柱體體積公式：V棱柱=Sh 3、問題：錐體的體積公式是什么？會不會和柱體的體積有什么聯(lián)系？ 實驗：如圖取一個三棱錐教具（無底面ABC），一個與之同底等高的三棱柱教具（無底面ABC）（教具可用硬板紙制作），以及黃沙若干. B C A O B C A O P Q 1 用三棱錐盛滿黃沙，倒入三棱柱容器中，發(fā)現(xiàn)倒三次正好把三棱柱容器填滿. 從這個實驗中，學生猜想三棱錐的體積公式為V三棱錐=Sh 這個實驗的結果到底是一個美麗的巧合還是一個必然的結果？ 二、學習新課 問題1：從猜想的三棱錐體積公式為V三棱錐=Sh看，體積只和三棱錐底面積和高有關，而與底面三角形的形狀無關.那么，上述實驗中的三棱柱不變，三棱錐變成與原三棱錐O-ABC等底等高的三棱錐P-DEF，結果是否會不變呢？ 解決此問題，即要證明等底等高的三棱錐的體積相等. 已知三棱錐O-ABC和P-DEF的底面積都是S，高都是h. 求證：三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等. 證明：把兩個三棱錐的底面都放在平面上，任意作平面，設平面截三棱錐O-ABC所得的截線為三角形A’B’C’，其面積為S1；平面截三棱錐P-DEF所得的截線為三角形D’E’F’，其面積為S2.如果三棱錐的頂點O和P與平面的距離為h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是.由相似形的性質得，.即. 因為任意平行于底面的平面截兩個三棱錐時，所得的截面面積相等，所以由祖暅原理得三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等，即等底等高的三棱錐的體積相等. 問題2：為什么三棱錐的體積公式恰巧為V三棱錐=Sh，而不是？ 觀察實驗中的三棱錐O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我們通過連接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱錐O-ABC找出來，發(fā)現(xiàn)三棱柱OPQ-ABC是由三棱錐O-ABC和四棱錐O-BCQP組成的.進一步的，連接BQ，那么此時比較明顯的有： VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ 由于等底等高的三棱錐的體積相等，故有： VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQ B C A O B C A O P Q 1 因此，V三棱錐=Sh 請學生敘述如果連接PC，怎樣證明？ 平面幾何中求面積時，我們經常會用到割補法.同樣的，立體幾何求體積也會用到此法.上述的證明方法，本質上就是把一個三棱錐補成三棱柱后，再加以證明，是求體積的“補”法. P A B C D 推廣1：四棱錐的體積公式呢？ 如果也采用三棱錐探求體積的方法，是否可行？ 三棱錐體積的證明中用到了一個三棱錐非常個性化的特征：可以以任何一個頂點作為三棱錐的頂點.這是其它任何棱錐所不具備的特征. 那么，我們已經知道，并且證明了三棱錐的體積，四棱錐中有沒有三棱錐呢？ 通過連接AC，可得: VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD =( SΔABC+SΔACD)h=SABCDh 其中h是P到底面ABCD的距離，即四棱錐的高. 推廣2：n棱錐的體積公式呢？ 基本上可由學生自行完成.課本P39也講述的非常清楚. 總結：V棱錐=Sh 三、鞏固應用 例：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，已知棱長為a，求:(1)三棱錐B′-ABC的體積； (2)這個三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾； (3)B到平面AB′C的距離?（用2種方法答） 解：(1)由正方體棱長為a，得SΔABC=a，高h=a. 所以VB′-ABC=SΔABCh=aa=a. (2)因為V正方體=a，所以VB′-ABC∶V正方體=. (3)方法一:如圖，過B作BO⊥面AB′C于O，則O必為ΔAB′C的重心.連AO并延長交B′C于M， 因為 AB′=B′C=CA=a, 所以 AM=a=a,OA=AM=a. 在RtΔAOB中，BO==，即B到面AB′C的距離為a. 方法二:設B到面AB′C距離為h,因為 AB′=B′C=CA=a， 所以 SΔAB′C= (a)=a， 因此 ah=VB-AB′C= VB′-ABC =aa=a， 故h=a 即B到面AB′C的距離為a. 方法二充分運用了三棱錐的特征：可以以任何一個頂點作為三棱錐的頂點.這為我們求解頂點到底面的距離提供了捷徑，稱之為體積法. 四、課堂小結 1、割補法求體積 2、V棱錐=Sh 3、體積法求點到面的距離 五、作業(yè)布置 課本P41練習15.5(2) 六、教學設計說明 數學是源于生活的.選用實際的實驗操作能使學生對V棱錐=Sh有一個形象的、具體化的認識. 數學是嚴謹的.發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后，需要的是嚴格的證明，證明的兩個層次，老師要加以把關.證明過程中有使用了很多已學的立體幾何知識，是一個很好的回顧與應用的過程；學生的空間想象能力也能在證明的過程中得以提高. 數學是發(fā)展的.在三棱錐的基礎上，繼續(xù)對廣，四棱錐、n棱錐的體積公式，對比探求體積的“補”法與“割”法. 數學是為生活服務的.應用棱錐公式，解決實際問題.