2019-2020年高一數(shù)學 增效減負 正弦定理教學案.doc
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2019-2020年高一數(shù)學 增效減負 正弦定理教學案 一、設計思想： 定理教學中有一種簡陋的處理方式：簡單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復制例題”式的應用練習。本課采用實驗探究、自主學習、合作交流的研究性學習方式，重點放在定理的形成、證明的探究及定理基本應用上，努力挖掘定理教學中蘊涵的思維價值。從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把所學知識應用于實際問題。 二、教學目標： 讓學生從已有的知識經(jīng)驗出發(fā),通過對特殊三角形邊角間數(shù)量關系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，猜想，比較，推導正弦定理，由此培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思考能力；培養(yǎng)學生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識，同時通過三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識間的聯(lián)系來幫助學生初步樹立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點。 三、教學重點與難點： 本節(jié)課的重點是正弦定理的探索、證明及其基本應用；難點是正弦定理應用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，判斷解的個數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。 四、教學過程設計： A B C （一）創(chuàng)設情境: 如圖，現(xiàn)在河岸兩側A，B兩點間建一座 橋，需要知道A，B間的距離．由于環(huán)境因素不能直接測量A，B間的距離．你有辦法間接測量A，B兩點間的距離嗎？ 引出：解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。 [設計意圖：從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題。] 師：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？ 生：，“大角對大邊，大邊對大角” 師：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關系？ 引出課題：“正弦定理 [設計意圖：從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。] （二）猜想、實驗： 1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關系，猜想可能存在哪些關系？ [學情預設：此處，學生根據(jù)已有知識“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，等等。] [設計意圖：培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學能力] 2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關系，提煉出a\sinA=b\sinB=c\sinC。 3、實驗驗證，完善猜想：這一關系式在任一三角形中是否成立呢？ 請學生以量角器、刻度尺、計算器為工具，對一般三角形的上述關系式進行驗證，教師用幾何畫板演示。在此基礎上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。 [設計意圖：著重培養(yǎng)學生對問題的探究意識和動手實踐能力] （三）證明探究： 對此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學需要理性思維。如何通過嚴格的數(shù)學推理，證明正弦定理呢？ 1、 特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,， 根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，，又, 則 ，從而在直角三角形ABC中，。 2、推廣拓展，探究證明 ： 問題2：在銳角三角形ABC中，如何構造、表示 “a與、 b與sinB”的關系呢？ 探究1：能否構造直角三角形，將問題化歸為已知問題？ [學情預設：此處，學生可能出現(xiàn)以下答案情形。學生對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過以下三種方法構造直角三角形。 生1：如圖1，過 C作BC邊上的線CD，交BA的延長線于D，得到直角三角形DBC。 生2：如圖2，過A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個直角三角形問題。 生3：如圖3，分別過B、C作AB、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個直角三角形] 經(jīng)過師生討論指出：方法2，簡單明了，容易得到“c與、 b與sinB”的關系式。 [知識鏈接：根據(jù)化歸——這一解決數(shù)學問題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結為直角三角形問題是自然不過的。而方法3將把問題延伸到四點共圓，深究下去，可得=2R，對此，可留做課后思考解決] 圖1 圖2 _ c _ b _ a _ a _ C ( bcosA , bsinA ) _ D ( acos ( - B ) , asin ( - B )) _ B ( c , 0 ) 圖3 圖4 探究2：能否引入向量，歸結為向量運算？ （1）圖2中蘊涵哪些向量關系式？ 學生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個式子本質上是相同的）, 等, （2）如何將向量關系轉化為數(shù)量關系？(施以什么運算?) 生：施以數(shù)量積運算 （3）可取與哪些向量的數(shù)量積運算？ [學情預設：此處，學生可能會做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時點乘向量（或），均無法如愿。此時引導學生兩邊同時點乘向量,并說出理由：數(shù)量積運算產生余弦，垂直則實現(xiàn)了余弦與正弦的轉換。] [知識鏈接：過渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量 共線的單位向量。過去，學生常對此感到費解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然] 探究3：能否引入向量的坐標形式，把向量關系轉化為代數(shù)運算？ （1）如圖4，建立直角坐標系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA), （2）向量的坐標=？ （bcosA-c，bsinA） （3）哪一點的坐標與向量的坐標相同？由三角函數(shù)的定義，該點的坐標又為多少？ 根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建立等量關系：bcosA－c= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（這其實是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。 [知識鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學工具，我們可以通過向量的運算來描述和研究幾何元素之間的關系（如角與距離等），這里學生已經(jīng)學過向量，可根據(jù)學生素質情況決定是否采用探究2與3] 問題3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？（留做課后作業(yè)） （四）理解定理、基本應用： 1、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 問題4、定理結構上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結構看：各邊與其對角的正弦嚴格對應，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美。 （2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量，知三求一。 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 2、例題分析 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 評述：定理的直接應用，對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。 例2．在中，已知，解三角形 評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。 課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？為什么？ 3、課堂練習： （1）、引題（問題1） （2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 [設計意圖：設計二個課堂練習，練習（1）目的是首尾呼應、學以致用；練習（2）則是將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識整合，及時鞏固定理，運用定理。] （五）課堂小結： 問題5：請同學們用一句話表述學習本課的收獲和感受。 生1：原來我只會解直角三角形，現(xiàn)在我會解一般三角形了 師：通過本課學習，你發(fā)現(xiàn)自己更強大了。 生2：原來我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學到了課本以外的眾多方法。 師：我們學習過兩個重要數(shù)學工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。 生3：公式很美。 師：美在哪里？ 生3：體現(xiàn)了公式的對稱美，和諧美 在同學們的熱烈討論的基礎上，用課件展示小結： 1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運算角度探求了數(shù)學工具的多樣性。 2、正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對邊，具有美學價值 3、利用正弦定理解決三類三角形問題： （1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。 （2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊 的對角，進而求出其他的邊和角。 （3）實現(xiàn)邊與角的正弦的互化。 [設計意圖：通常，課堂小結均由老師和盤托出，學生接受現(xiàn)成的結論。本設計充分發(fā)揮學生思維參與的主動性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結成為點睛之筆。] （六）分層作業(yè)： 1、書面作業(yè)：課時訓練對應內容 2、研究類作業(yè)： 1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。 2）在△ABC中，，研究k的幾何意義 3）已知三角形的兩邊一角，這個三角形能唯一確定嗎？ [設計意圖：對問題3），根據(jù)分散難點，循序漸進原則，在例2中初步涉及，在課后讓學生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時中予以下圖的剖析闡述。] b a b a b a b a a 已知邊阿a a,b 和 A 僅有一個解 有兩個解 僅有一個解 無解解 a ? b CH = bsinA
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