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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十一章 圓錐曲線
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0
b>0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>b>0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
，
a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a, 0), (0, b), (c, 0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5．幾個(gè)常用結(jié)論：1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過(guò)焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長(zhǎng)為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的點(diǎn)P的軌跡；
第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
(a, b>0),
a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2) 過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長(zhǎng)是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn)，
1）焦半徑|PF|=；
2）過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為。
12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若01，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問(wèn)題。
例1 已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
[解] 見(jiàn)圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)?，所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過(guò)P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為
例2 已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長(zhǎng)線交雙曲線于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明] 記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?/PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問(wèn)題。
例3 已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。
[解法一] 利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（a>b>0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍>|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二] 相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。
例4 長(zhǎng)為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。
[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即
當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)a>b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)a0, b>0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明] 設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即 （定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。
[證明] 設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，，，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因?yàn)?，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
例8 橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。
[證明] 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即 ①
②
①+②得（定值）。
4．最值問(wèn)題。
例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。
[解] 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因?yàn)椋襛2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。
例10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。
[解] 設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因?yàn)椋凰钥稍O(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t>,則當(dāng)sinθ=時(shí)，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。
[解] 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。
例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí)，求b的值。
[解] 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得0)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________.
3．橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為________.
7．ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為________.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a<)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2，求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。
四、高考水平測(cè)試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.
2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________.
4．橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_________.
8．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長(zhǎng)為6的直線有_________條.
9．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a>1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個(gè).
11．求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a>0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
（2）問(wèn)：是否存在過(guò)C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說(shuō)明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.
2．設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過(guò)F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_________.
3．給定橢圓，如果存在過(guò)左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_________.
5．ΔABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R+),則|AT|的最小值為_________.
6．長(zhǎng)為l(l<1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x2上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_________.
7．已知拋物線y2=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M1，M2，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M1M2恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_________.
8．已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_________.
9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過(guò)左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D，E，直線DB與直線CE交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P的軌跡。
10．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點(diǎn)，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)00),P(x,y)為軌跡上任一點(diǎn)，則?；?jiǎn)為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)k=1時(shí)，表示圓。
3．12．由題設(shè)a=10,b=6,c=8，從而P到左焦點(diǎn)距離為10e=10=8,所以P到右焦點(diǎn)的距離為20-8=12。
4．-25或-20,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根，由韋達(dá)定理
③
由①，③得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)= ④
設(shè)P1P2的中點(diǎn)P坐標(biāo)(x,y)，由中點(diǎn)公式及③，④得
消去k得
點(diǎn)（2，0）滿足此方程，故這就是點(diǎn)P的軌跡方程。
高考水平測(cè)試題
1．由橢圓方程得焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程，漸近線為由題設(shè)，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.
2. 900。見(jiàn)圖1，由定義得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，設(shè)F1為左焦點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，M為PF1中點(diǎn)，則|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以兩圓外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時(shí)，同理得兩圓內(nèi)切。
4．與F1對(duì)應(yīng)的另一條準(zhǔn)線為x=-11，因|MF1|與M到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. ①
若Δ=(4a2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0，則直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)。
6．y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m) 2=4(x-m)，焦點(diǎn)為它在直線y=2(x-1)上。
7．1≤m<5。直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，所以0≤1.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以5>m,所以1≤m<5。
8．3．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為6，通徑為4，故線段端點(diǎn)在異支上一條，在同支上有二條，一共有三條。
9．或。設(shè)直線l: y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韋達(dá)定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0. ③
把①，②代入③得，所以傾斜角為或
10．3．首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè)A，B分別位于y軸左、右兩側(cè)，設(shè)CA斜率為k(k>0)，CA的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由題設(shè)，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得 k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對(duì)于①，當(dāng)1時(shí)，①有兩個(gè)不等實(shí)根，故最多有3個(gè)。
11．解 設(shè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上任一點(diǎn)為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，則4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cosθ),再將|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ為減函數(shù)，故0
當(dāng)2b2>a2即時(shí)，，arccos，sinθ為增函數(shù)，sinθ取最大值；當(dāng)2b2≤a2時(shí)，arccos,θ∈[0,π]，則sinθ最大值為1。
12．解 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不為0，設(shè)為k，直線AB方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. ①
則x1,x2為方程①的兩根，由韋達(dá)定理得
②
③
因?yàn)閥1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，等價(jià)<0，即k2(a2c2-b4)-a2b2<0對(duì)任意k∈R成立，等價(jià)于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以00，所以方程②必有兩個(gè)不同實(shí)根，設(shè)為x1,x2,由韋達(dá)定理得x1x2=-a2<0，所以②必有一個(gè)負(fù)根設(shè)為x1,把x1代入①得y2=,所以（因?yàn)閤1≠0），所以C1，C2總有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
（2）設(shè)過(guò)F1(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因?yàn)棣?48m2a2+48a2>0，設(shè)y1,y2分別為A，B的縱坐標(biāo)，則y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2|?|OF1|=a?a?，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，SΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時(shí)，SΔAOB→+∞，無(wú)最大值。所以存在過(guò)F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．m>5.由已知得，說(shuō)明(x,y)到定點(diǎn)（0,-1）與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù)，由橢圓定義<1，所以m>5.
2.因?yàn)閎=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-r2sinθ,r2cosθ)，因?yàn)镻，Q在橢圓上，可得，RtΔOPQ斜邊上的高為≤|OF|=c. 所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e<1.
4.以O(shè)為圓心，a為半徑的圓。延長(zhǎng)F1M交PF2延長(zhǎng)線于N，則F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]時(shí)|AT|min=,t>1時(shí)|AT|min=|t-2|.由題設(shè)kAB?kAC=-,設(shè)A(x,y)，則(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因?yàn)閨x|≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時(shí)取x=2t,|AT|取最小值。當(dāng)t>1時(shí)，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.設(shè)點(diǎn)M(x0,y0) ，直線AB傾斜角為θ，并設(shè)A(x0-), B(x0+),因?yàn)锳，B在拋物線上，所以
①
②
由①，②得 2x0cosθ=sinθ. ③
所以
因?yàn)閘2<1，所以函數(shù)f(x)=.在（0，1]在遞減，
所以。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時(shí)，距離取最小值
7．設(shè)，由A，M，M1共線得y1=，同理B，M，M2共線得，設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點(diǎn)，則y1y2=y(y1+y2)-2px，將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y=時(shí)上式恒成立，即定點(diǎn)為
8．。由題設(shè)且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解 設(shè)A(2cosθ,), B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，這里α≠β，則過(guò)A，B的直線為lAB：，由于直線AB過(guò)點(diǎn)F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)?(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2?,故 ，即?。又lBD: ?(x+2)=，同理得。lCE: (x-2)=
?(x-2).
兩直線方程聯(lián)立，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，消去得點(diǎn)P(x,y)在橢圓上（除去點(diǎn)(-2,0),(2,0)）.
10.解 （1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：
10．Δ=0，得，此時(shí)xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a<-a20，從而時(shí)取值最大，此時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，xp=-a2，yp=,此時(shí)以下比較與的大小。令，得，故當(dāng)00，所以，從而
所以直線l的方程為，拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．以A為原點(diǎn)，直線AC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，則直線DF的方程為
①
直線BC的方程為 ②
c①-f②得
(c-f)x+ ③
③表示一條直線，它過(guò)原點(diǎn)，也過(guò)DF與BC的交點(diǎn)G，因而③就是直線AG的方程。
同理
，直線AE的方程為
(c-f)x+ ④
③，④的斜率互為相反數(shù)，所以∠GAC=∠EAC。
2．證明 假設(shè)這樣的閉折線存在，不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)是其中一個(gè)頂點(diǎn)，記它為A0，其他頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，…，，其中都是既約分?jǐn)?shù)，并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同，則記p≡q，否則記p≠q，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時(shí)，由，得，因?yàn)閍1,b1互質(zhì)，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=d1，從而不可能都是偶數(shù)（否則b1也是偶數(shù)，與互質(zhì)矛盾）；不可能都是奇數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對(duì)k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
這里是既約分?jǐn)?shù)，因?yàn)槊恳欢蔚拈L(zhǎng)為1，所以=1，與k=1情況類似：a≡c,d≡b≡1，又因?yàn)?，分?jǐn)?shù)既約，所以bm是bbm-1的一個(gè)因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，結(jié)論成立，于是在頂點(diǎn)數(shù)n+1為奇數(shù)時(shí)，an+1+cn+1≠a0+c0，故折線不可能是閉的。
3．證明 （1）由已知B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點(diǎn)Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延長(zhǎng)線上，有B0P0=B0，從而可知點(diǎn)與點(diǎn)P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0，圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點(diǎn)P0。
（2）現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點(diǎn)T。又過(guò)點(diǎn)Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點(diǎn)R1和S1，連接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圓。
4．證明 引理：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明：設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. ①
又
故①可化簡(jiǎn)成 (x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0, ②
因?yàn)棰谥挥幸粋€(gè)實(shí)根，所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點(diǎn)，則它是由線y=x?tan?x2與y=x?tan?x2的交點(diǎn)，則兩條切線的斜率分別為（由引理）
又由題設(shè)k1k2=-1，所以
③
又因?yàn)镻(x0,y0)在兩條拋物線上，所以 代入③式得
（※）
又因?yàn)閠anα1,tanα2是方程?t2-t+=0的兩根，所以
tanα1+tanα2= ④
tanα1?tanα2=。 ⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．證明 以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠ADC=θ，|PD|=r.各點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為，即x1x+x0?cotθ?y-x1x0=0,因?yàn)閘AB與圓相切，可得x1?=x0x1?cotθ-x1x0|，約去x1,再兩邊平方得
，所以?x1. ①
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化簡(jiǎn)得r=2x1sin. ②
要證DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos. ③
又因?yàn)椋?
因?yàn)?(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以 (x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0. ④
把②代入④化簡(jiǎn)得
⑤
由①得x0=x1?
代入⑤并約去x1,化簡(jiǎn)得4sin22-3sin2=0，因?yàn)閟in2≠0，所以sin2=，又因?yàn)閟in==cos，所以sin-cos>0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．證明 設(shè)BC=d，CD=b，BD=c，則AC=CQ=，取BC中點(diǎn)M，則AMBC，以M為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)，所以
因?yàn)?<∠DRC<，0<∠ASQ<π，所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化簡(jiǎn)得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，顯然成立。所以命題得證。
2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十一章 圓錐曲線.doc
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