2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第七章 解三角形.doc

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2019-2020年高中數(shù)學競賽教材講義 第七章 解三角形 一、基礎知識 在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，為半周長。 1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。 推論1：△ABC的面積為S△ABC= 推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推論3：在△ABC中，A+B=，解a滿足，則a=A. 正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=；再證推論2，因為B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等價于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等價于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因為0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得證。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理證明幾個常用的結論。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1） 【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos， 所以c2=AD2+p2-2ADpcos ① 同理b2=AD2+q2-2ADqcos， ② 因為ADB+ADC=， 所以cosADB+cosADC=0， 所以q①+p②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式 （2）海倫公式：因為b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 這里 所以S△ABC= 二、方法與例題 1．面積法。 例1 （共線關系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, )，則P，Q，R的共線的充要條件是 【證明】P，Q，R共線 (α+β)=uwsinα+vwsinβ ，得證。 2．正弦定理的應用。 例2 如圖所示，△ABC內有一點P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求證：APBC=BPCA=CPAB。 【證明】 過點P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。 所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。 所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CPBA=APBC=BPAC，得證： 例3 如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PABC。 【證明】 延長PA交GD于M， 因為O1GBC，O2DBC，所以只需證 由正弦定理， 所以 另一方面，， 所以， 所以，所以PA//O1G， 即PABC，得證。 3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角換元。 例5 設a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，試求的最大值。 【解】 由題設，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤， 當且僅當α+β=，sinγ=，即a=時，Pmax= 例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc< 【證明】 設a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β. 因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|， 從而，所以sin2β>|cos2αcos2β|. 因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β =[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] =+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) >+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=. 所以a2+b2+c2+4abc< 三、基礎訓練題 1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=，則cosAcosB的最大值為__________. 2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則的取值范圍是__________. 3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，則△ABC的面積為__________. 4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則=__________. 5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件. 6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________. 7．在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC=__________. 8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan”的__________條件. 9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________. 10．在△ABC中，tanAtanB>1，則△ABC為__________角三角形. 11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內切圓的面積是12，求這個三角形的面積。 12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。 13．已知△ABC中，sinC=，試判斷其形狀。 四、高考水平訓練題 1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________. 2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個. 3．已知p, q∈R+, p+q=1，比較大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形. 5．若A為△ABC 的內角，比較大小：__________3. 6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________. 7．滿足A=600，a=, b=4的三角形有__________個. 8．設為三角形最小內角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，則a的取值范圍是__________. 9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。 10．求方程的實數(shù)解。 11．求證： 五、聯(lián)賽一試水平訓練題 1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________. 2．在△ABC中，若，則△ABC 的形狀為____________. 3．對任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為____________. 4．在△ABC中，的最大值為____________. 5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S2+T2的取值范圍是____________. 6．在△ABC中，AC=BC，，O為△ABC的一點，，ABO=300，則ACO=____________. 7．在△ABC中，A≥B≥C≥，則乘積的最大值為____________，最小值為__________. 8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則=____________. 9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內心為I，求證：Q，I，R三點共線。 10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。 11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQBC，Q為垂足。求證：，此處=B。 2．設四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2MN。 3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內切圓大小相等，求證：，此處(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應三邊之長。 4．已知凸五邊形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD與CE交于點O，求證：AOBE。 5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證：AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。 6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知PAQ=QAR=RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？ 8．設四邊形ABCD內接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，A，B，C指的都是△ABC的內角，求證：若AC與BD交于點Q，則 9．設P是△ABC內一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F(xiàn)是垂足），求證：PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并討論等號成立之條件。