2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 13.2合情推理與演繹推理教案 理 新人教A版xx高考會(huì)這樣考1.從近幾年的高考來(lái)看，高考對(duì)本部分的考查多以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求更為一般的、新的結(jié)論，試題的難度以低、中檔為主；2.演繹推理主要與立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起命制綜合題復(fù)習(xí)備考要這樣做1.聯(lián)系具體實(shí)例，體會(huì)幾種推理的概念和特點(diǎn)，并結(jié)合這些方法解決一些應(yīng)用問(wèn)題；2.培養(yǎng)歸納、類比、演繹的推理思維模式，培養(yǎng)分析、解決問(wèn)題的能力1 合情推理主要包括歸納推理和類比推理合情推理的過(guò)程(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理歸納推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某屬性， 結(jié)論：dM，d也具有某屬性(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理類比推理的基本模式：A：具有屬性a，b，c，d；B：具有屬性a，b，c； 結(jié)論：B具有屬性d.(a，b，c，d與a，b，c，d相似或相同)2 演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(2)“三段論”可以表示為大前提：M是P；小前提：S是M；結(jié)論：S是P.用集合說(shuō)明：即若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個(gè)子集，那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 在解決問(wèn)題過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路的作用合情推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，結(jié)論的正確性有待于進(jìn)一步的證明2 應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的3 演繹推理是由一般到特殊的推理，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性1 (xx陜西)觀察下列不等式：1，1，1，照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_(kāi)答案1解析觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開(kāi)方與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列第五個(gè)不等式為10)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，故其通項(xiàng)公式為bn2n.所以當(dāng)n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x).3 給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案B4 “因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yax是增函數(shù)(大前提)，而yx是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)yx是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于()A大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)答案A5 (xx江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于 ()A28 B76 C123 D199答案C解析觀察規(guī)律，歸納推理從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.題型一歸納推理例1已知函數(shù)f(x)，(1)分別求f(2)f，f(3)f，f(4)f的值；(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；(3)求值：f(1)f(2)f(3)f(2 011)fff.思維啟迪：所求函數(shù)值的和應(yīng)該具有規(guī)律性，經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn)f(x)f1.解(1)f(x)，f(2)f1，同理可得f(3)f1，f(4)f1.(2)由(1)猜想f(x)f1，證明：f(x)f1.(3)由(2)可得，原式f(1)f(1)2 0102 010.探究提高本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)前幾項(xiàng)，歸納猜想一般規(guī)律，歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：2，2，0，n0，則當(dāng)mn20時(shí)，有0，n0，則當(dāng)mn20時(shí)，有0且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)由已知得y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(2)解由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.歸納不準(zhǔn)確致誤典例：(5分)如圖所示，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列an(nN*)的前12項(xiàng)，如下表所示a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2 009a2 010a2 011等于()A1 003 B1 005 C1 006 D2 010易錯(cuò)分析本題中的“按如此規(guī)律下去”就是要求由題目給出的6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納出該數(shù)列的一般關(guān)系可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩種：一是歸納時(shí)找不準(zhǔn)“前幾項(xiàng)”的規(guī)律，胡亂猜測(cè)；二是弄錯(cuò)奇偶項(xiàng)的關(guān)系本題中各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，并且逐一遞增，即a2nn(nN*)，各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，正負(fù)交替后逐一遞增，并且滿足a4n3a4n10(nN*)，如果弄錯(cuò)這些關(guān)系就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，如認(rèn)為當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)ann，就會(huì)得到a2 009a2 010a2 0112 010的錯(cuò)誤結(jié)論，而選D.解析a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1，1,2，2,3，偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，故a2 009a2 0110，a2 0101 005，故a2 009a2 010a2 0111 005.答案B溫馨提醒由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具.方法與技巧1 合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2 演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行3 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)失誤與防范1 合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)進(jìn)一步嚴(yán)格證明2 演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來(lái)證明和推理數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性3 合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結(jié)論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確2 由，若ab0，m0，則與之間的大小關(guān)系為()A相等 B前者大C后者大 D不確定答案B3 由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”；“”類比得到“”以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析正確；錯(cuò)誤4 觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(x)等于 ()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(x)g(x)二、填空題(每小題5分，共15分)5 在RtABC中，若C90，ACb，BCa，則ABC外接圓半徑r.運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R_.答案解析通過(guò)類比可得R.證明：作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a，b，c的長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是，故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑6 在平面內(nèi)有n(nN*，n3)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，若這n條直線把平面分成f(n)個(gè)平面區(qū)域，則f(5)的值是_，f(n)的表達(dá)式是_答案16f(n)解析由題意，n條直線將平面分成1個(gè)平面區(qū)域，故f(5)16，f(n).7 仔細(xì)觀察下面和的排列規(guī)律：若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個(gè)和中，的個(gè)數(shù)是_答案14解析進(jìn)行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.三、解答題(共22分)8 (10分)已知函數(shù)yf(x)，滿足：對(duì)任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)證明設(shè)x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)9 (12分)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3).由此猜想f(x)f(1x).證明：f(x)f(1x).B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1) 1*11，(2)(n+1) *1n*1+1，則n*1等于()An Bn1 Cn1 Dn2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*11，n*1n.2 為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)定原信息為a0a1a2，ai0,1(i0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0a0Da1，h1h0Da2，D運(yùn)算規(guī)則為0D00,0D11,1D01，1D10.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是()A11010 B01100 C10111 D00011答案C解析對(duì)于選項(xiàng)C，傳輸信息是10111，對(duì)應(yīng)的原信息是011，由題目中運(yùn)算規(guī)則知h00D11，而h1h0Da21D10，故傳輸信息應(yīng)是10110.3 (xx課標(biāo)全國(guó))設(shè)點(diǎn)P在曲線yex上，點(diǎn)Q在曲線yln(2x)上，則|PQ|的最小值為()A1ln 2 B.(1ln 2)C1ln 2 D.(1ln 2)答案B解析由題意知函數(shù)yex與yln(2x)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是yx與yex上點(diǎn)的最小距離的2倍，設(shè)yex上點(diǎn)(x0，y0)處的切線與yx平行，有ex01，x0ln 2，y01，yx與yex上點(diǎn)的最小距離是(1ln 2)，所求距離為(1ln 2)2(1ln 2)二、填空題(每小題5分，共15分)4 給出下列命題：命題1：點(diǎn)(1,1)是直線yx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)；命題2：點(diǎn)(2,4)是直線y2x與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)；命題3：點(diǎn)(3,9)是直線y3x與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)；請(qǐng)觀察上面命題，猜想出命題n(n是正整數(shù))為_(kāi)答案點(diǎn)(n，n2)是直線ynx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)解析觀察題中給出的命題易知，命題n中交點(diǎn)坐標(biāo)為(n，n2)，直線方程為ynx，雙曲線方程為y.故猜想命題n：點(diǎn)(n，n2)是直線ynx與雙曲線y的一個(gè)交點(diǎn)5 (xx湖北)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3 443,94 249等顯然2位回文數(shù)有9個(gè)，11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，191,202，999.則(1)4位回文數(shù)有_個(gè)；(2)2n1(nN)位回文數(shù)有_個(gè)答案90910n解析(1)4位回文數(shù)有：1001,1111,1221，1991,10個(gè)xx,2112,2222，2992,10個(gè)9009,9119,9229，9999,10個(gè)共90個(gè)(2)5位回文數(shù)有：100個(gè)100個(gè)5位回文數(shù)共9102個(gè)，又3位回文數(shù)有9101個(gè)2n1位回文數(shù)共910n個(gè)6 (xx福建)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos 1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012_.答案3 018解析當(dāng)n4k1(kN)時(shí)，an(4k1)cos 11，當(dāng)n4k2(kN)時(shí)，an(4k2)cos 1(4k2)14k1，當(dāng)n4k3(kN)時(shí)，an(4k3)cos 11，當(dāng)n4k4(kN)時(shí)，an(4k4)cos 1(4k4)14k5，a4k1a4k2a4k3a4k414k114k56.S2 012a1a2a3a4a5a2 012(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a2 009a2 010a2 011a2 012)65033 018.三、解答題7 (13分)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足aS2n1，nN*.數(shù)列bn滿足bn，Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和(1)求a1、d和Tn；(2)若對(duì)任意的nN*，不等式Tnn8(1)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)在aS2n1中，分別令n1，n2，得即解得a11，d2，an2n1.bn，Tn.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式2n17恒成立2n8，等號(hào)在n2時(shí)取得，此時(shí)需滿足25.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式Tnn8(1)n恒成立，即需不等式2n15恒成立2n是隨n的增大而增大，n1時(shí)2n取得最小值6，此時(shí)需滿足21.綜合可得21，的取值范圍是|21