2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布4完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 隨機(jī)變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機(jī)分布4完整講義（學(xué)生版）知識(shí)內(nèi)容1 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，并且是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用大寫字母表示如果隨機(jī)變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布列將離散型隨機(jī)變量所有可能的取值與該取值對(duì)應(yīng)的概率列表表示：我們稱這個(gè)表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量的分布列2幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量的分布列為其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機(jī)變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯努利分布超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為時(shí)的概率為，為和中較小的一個(gè)我們稱離散型隨機(jī)變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列二項(xiàng)分布1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)榇为?dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率為2二項(xiàng)分布若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中于是得到的分布列由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作二項(xiàng)分布的均值與方差：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，正態(tài)分布1 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)，直方圖上面的折線所接近的曲線在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機(jī)變量落在指定的兩個(gè)數(shù)之間的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，其中，是參數(shù)，且，式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間，內(nèi)，取值的概率分別是，正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可3離散型隨機(jī)變量的期望與方差1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能的取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平2離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是，這些值對(duì)應(yīng)的概率是，則叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大?。x散程度）的算術(shù)平方根叫做離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng)大小的量3為隨機(jī)變量，為常數(shù)，則；4 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為，在次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量的期望取值為二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為和的二項(xiàng)分布，則，超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則，4事件的獨(dú)立性如果事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒有影響，即，這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件，相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件如果事件，相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個(gè)事件換成其對(duì)立事件后等式仍成立5條件概率對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)“”來表示把由事件與的交（或積），記做（或）典例分析正態(tài)曲線（正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度曲線）【例1】 下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是（ ）A B C D【例2】 若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）A有最大值，也有最小值 B有最大值，但沒最小值 C有最大值，但沒最大值 D無最大值和最小值【例3】 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）A為偶函數(shù) B最大值為C在時(shí)是單調(diào)減函數(shù)，在時(shí)是單調(diào)增函數(shù) D關(guān)于對(duì)稱【例4】 設(shè)的概率密度函數(shù)為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A BC的漸近線是 D【例5】 設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，求；求及的值【例6】 某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題中不正確的是（ ）A該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)榉諦分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同C分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同D該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為正態(tài)分布的性質(zhì)及概率計(jì)算【例7】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是【例8】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）ABCD【例9】 在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為 【例10】 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（ ）A B C D【例11】 已知，若，則（ ）A B C D無法計(jì)算【例12】 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【例13】 設(shè)，且，則的值是（用表示）【例14】 正態(tài)變量，為常數(shù)，若，求的值【例15】 某種零件的尺寸服從正態(tài)分布，則不屬于區(qū)間這個(gè)尺寸范圍的零件約占總數(shù)的 【例16】 某校高中二年級(jí)期末考試的物理成績服從正態(tài)分布若參加考試的學(xué)生有人，學(xué)生甲得分為分，求學(xué)生甲的物理成績排名；若及格（分及其以上）的學(xué)生有人，求第名的物理成績已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表【例17】 在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布已知成績?cè)诜忠陨希ê郑┑膶W(xué)生有名試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競賽成績排在前名的學(xué)生，試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差【例18】 如果隨機(jī)變量，求的值正態(tài)分布的原則【例19】 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命（單位：），已知，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在小時(shí)以上【例20】 一批電池（一節(jié)）用于手電筒的壽命服從均值為小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時(shí)的概率是多少？【例21】 某班有名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)是雜題（拓展相關(guān)：概率密度，分布函數(shù)及其他）【例22】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，求常數(shù)的值；求【例23】 已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，求的值及【例24】 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度，求的值及【例25】 美軍轟炸機(jī)向巴格達(dá)某鐵路控制樞紐投彈，炸彈落彈點(diǎn)與鐵路控制樞紐的距離的密度函數(shù)為，若炸彈落在目標(biāo)40米以內(nèi)時(shí)，將導(dǎo)致該鐵路樞紐破壞，已知投彈顆，求巴格達(dá)鐵路控制樞紐被破壞的概率【例26】 以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率等于（ ）A BC D【例27】 某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分）服從正態(tài)分布；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布若只有分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？