2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版xx高考會這樣考1.與三視圖相結(jié)合，考查幾何體的表面積、體積；2.作為解答題中的某一問，與空間線面關(guān)系相結(jié)合考查幾何體體積的計(jì)算復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟記公式，理解公式的意義；2.結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用公式解決一些計(jì)算問題1 柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32 .幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 幾何體的側(cè)面積和全面積幾何體的側(cè)面積是指(各個)側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題如直棱柱(圓柱)側(cè)面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點(diǎn)可以求出展開圖扇形的圓心角的大小2 等積法等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值1 圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是_答案4S解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r，又側(cè)面展開圖為正方形，圓柱的高h(yuǎn)2，S圓柱側(cè)4S.2 設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)則該幾何體的體積為_m3.答案4解析這個空間幾何體是一個三棱錐，這個三棱錐的高為2，底面是一個一條邊長為4、這條邊上的高為3的等腰三角形，故其體積V4324.3 表面積為3的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為_答案2解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則l2r23，l2r，r1，即圓錐的底面直徑為2.4 一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為_答案a2解析由題意知，球的半徑R.所以S球4R2a2.5. 如圖所示，在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上一點(diǎn)，且PB1A1B1，則多面體PBB1C1C的體積為_答案解析四棱錐PBB1C1C的底面積為16，高PB11，VPBB1C1C161.題型一空間幾何體的表面積例1一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積答案C解析由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側(cè)面是矩形，寬為4，長為.所以S表4224(24)4242488.探究提高(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和 一個幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是_cm2.答案412解析由三視圖知該幾何體為一個四棱柱、一個半圓柱和一個半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為12122，四棱柱中不重合的表面積為212222212，半圓柱中不重合的表面積為22，半球的表面積為42，所以該幾何體的表面積為412.題型二空間幾何體的體積例2如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF的體積思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐C1B1EDF化為兩個三棱錐B1C1EF與DC1EF，再求四棱錐C1B1EDF的體積解方法一連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四邊形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1h2B1D1a.由題意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.探究提高在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積 (xx課標(biāo)全國)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為 ()A. B. C. D.答案A解析由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.題型三幾何體的展開與折疊問題例3(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_(2)有一根長為3 cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為_ cm.思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系；(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖答案(1)(2)5解析(1)折疊后的四面體如圖所示OA、OC、OD兩兩相互垂直，且OAOCOD2，體積V SOCDOA(2)3.(2)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC3 cm，AB4 cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度AC5 (cm)，故鐵絲的最短長度為5 cm.探究提高(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題 如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_答案解析如圖，四棱錐的高h(yuǎn)，VSh1.轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用典例：(12分)如圖，在直棱柱ABCABC中，底面是邊長為3的等邊三角形，AA4，M為AA的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐CMNP的體積審題視角(1)側(cè)面展開圖從哪里剪開展平；(2)MNNP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好規(guī)范解答解(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為.2分(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如下圖，設(shè)PCx，則MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.8分(3)SPCNCPCN2.在三棱錐MPCN中，M到面PCN的距離，即h3.VCMNPVMPCNhSPCN.12分溫馨提醒(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個多面體沿多面體中某條棱或者兩個面的交線展開，把不在一個平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個平面上如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題(3)本題的易錯點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開展平，不能正確地畫出側(cè)面展開圖缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識.方法與技巧1對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決2要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題3求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解4一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決失誤與防范1幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系2與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (xx課標(biāo)全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 ()A6 B9 C12 D18答案B解析結(jié)合三視圖知識求解三棱錐的體積由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)3，相應(yīng)底面面積為S639，VSh939.2. 已知高為3的直棱柱ABCABC的底面是邊長為1的正三角形(如右圖所示)，則三棱錐BABC的體積為 ()A. B.C. D.答案D解析VBABCBBSABC312.3 正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為 ()A48(3) B48(32)C24() D144答案A解析S底64224，S側(cè)646144，S全S側(cè)2S底1444848(3)4 (xx北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A286 B306C5612 D6012答案B解析根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，則CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，則AB邊上的高h(yuǎn)6，故SABC266.因此，該三棱錐的表面積為S306.二、填空題(每小題5分，共15分)5 (xx山東)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為_答案解析利用三棱錐的體積公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.6 (xx天津)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案4解析此幾何體是兩個長方體的組合，故V2111124.7 已知三棱錐ABCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為_答案3解析如圖，構(gòu)造正方體ANDMFBEC.因?yàn)槿忮FABCD的所有棱長都為，所以正方體ANDMFBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為.易知三棱錐ABCD的外接球就是正方體ANDMFBEC的外接球，所以三棱錐ABCD的外接球的半徑為.所以三棱錐ABCD的外接球的表面積為S球423.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖所示，在邊長為5的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以O(shè)為圓心畫一個圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個圓錐，求圓錐的全面積與體積解設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h，由已知條件，解得r，l4，Srlr210，h，Vr2h2.9 (12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積解(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的組合體由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求幾何體的表面積S522222()2224(cm2)，體積V23()2210(cm3)B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A. BC. D.答案C解析由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，表面積S21212.2 在四棱錐EABCD中，底面ABCD為梯形，ABCD,2AB3CD，M為AE的中點(diǎn)，設(shè)EABCD的體積為V，那么三棱錐MEBC的體積為 ()A.V B.V C.V D.V答案D解析設(shè)點(diǎn)B到平面EMC的距離為h1，點(diǎn)D到平面EMC的距離為h2.連接MD.因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以VMABCDV.所以VEMBCVVEMDC.而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，所以.因?yàn)锽，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而ABCD，且2AB3CD，所以.所以VEMBCVMEBCV.3 (xx遼寧)已知球的直徑SC4，A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30，則棱錐SABC的體積為 ()A3 B2 C. D1答案C解析由題意知，如圖所示，在棱錐SABC中，SAC，SBC都是有一個角為30的直角三角形，其中AB，SC4，所以SASB2，ACBC2，作BDSC于D點(diǎn)，連接AD，易證SC平面ABD，因此V()24.二、填空題(每小題5分，共15分)4. 如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為_ cm.答案13解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長為13 cm.5 已知一個幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如圖所示， 若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是_答案解析這個幾何體是由一個底面半徑為1，高為2的圓錐和一個半徑為1的半球組成的幾何體，故其體積為12213.6 (xx上海)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC2.若AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是_答案c解析利用橢圓的定義及割補(bǔ)法求體積ABBDACCD2a2cAD，B、C都在以AD的中點(diǎn)O為中心，以A、D為焦點(diǎn)的兩個橢圓上，B、C兩點(diǎn)在橢圓兩短軸端點(diǎn)時(shí)，到AD距離最大，均為，此時(shí)BOC為等腰三角形，且ADOC，ADOB，AD平面OBC.取BC的中點(diǎn)E，顯然OEBC，OEmax，(SBOC)max2.VDABCVDOBCVAOBCODSOBCOASOBC(ODOA)SOBC2cc.三、解答題7 (13分)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示圖1 圖2(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積(1)證明在圖中，可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知BC為三棱錐BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等體積性可知，幾何體DABC的體積為.