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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習提升 蘇教版選修2-1
1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)
橢圓
雙曲線
拋物線
幾何條件
與兩個定點的距離的和等于常數(shù)
與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)
與一個定點和一條定直線的距離相等
標準方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
圖形
頂點坐標
(a,0)
(0，b)
(a,0)
(0,0)
對稱軸
x軸，長軸長2a；
y軸，短軸長2b
x軸，實軸長2a；
y軸，虛軸長2b
x軸
焦點坐標
(c,0)
c＝
(c,0)
c＝
(，0)
離心率
0
1，e＝
e＝1
準線
x＝
x＝
x＝－
漸近線
y＝x
(1)曲線與方程：如果曲線C上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，那么，這條曲線叫做方程的曲線，這個方程叫做曲線的方程．
(2)圓錐曲線的共同特征：圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比是定值e；當01時，圓錐曲線是雙曲線；當e＝1時，圓錐曲線是拋物線．
3．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交．設(shè)直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，與圓錐曲線D的方程聯(lián)立可得(消去y)ax2＋bx＋c＝0(*)．
(1)當a≠0時，若關(guān)于x的方程(*)的判別式Δ>0，則直線與圓錐曲線有兩個不同交點；若Δ<0，則直線與圓錐曲線沒有交點；若Δ＝0，則直線與圓錐曲線相切．
(2)當a＝0時，若方程(*)有解，則直線與圓錐曲線有一個交點．
題型一 圓錐曲線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用
橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，往往體現(xiàn)在數(shù)學上的轉(zhuǎn)化與化歸思想．圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓、雙曲線、拋物線的對稱性、頂點坐標、離心率，雙曲線的漸近線，拋物線的準線等內(nèi)容，主要考查這些性質(zhì)的理解記憶．
例1 如圖，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左，右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4(＋1)；一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1k2＝1.
(1)解 由題意知，橢圓離心率為＝，得a＝c，又由以橢圓上的點和橢圓的左，右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4(＋1)，結(jié)合橢圓定義得2a＋2c＝4(＋1)，所以可解得a＝2，c＝2，故b2＝a2－c2＝4，所以橢圓的標準方程為＋＝1.
易得橢圓的焦點坐標為(2,0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為－＝1.
(2)證明 設(shè)點P(x0，y0)，則k1＝，k2＝，所以k1k2＝＝，
又點P(x0，y0)在雙曲線上，所以有－＝1，即y＝x－4，所以k1k2＝＝1.
跟蹤演練1 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，O為原點，P為橢圓上任意一點．過F、B、C三點的圓的圓心坐標為(m，n)．
(1)當m＋n≤0時，求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)當(1)的條件下，橢圓的離心率最小時，若點D(b＋1,0)，(＋)的最小值為，求橢圓的方程．
解 (1)設(shè)半焦距為c.由題意得FC、BC的中垂線方程分別為x＝、y－＝，
于是圓心坐標為.
所以m＋n＝＋≤0，即ab－bc＋b2－ac≤0，
即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，
于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2，
所以e2＝≥，即≤e＜1.
(2)由(1)知emin＝，a＝b＝c，
此時橢圓的方程為＋＝1，
設(shè)P(x，y)，則－c≤x≤c，
所以(＋)＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
當c≥時，上式的最小值為c2－，即c2－＝，得c＝2；
當0＜c＜時，上式的最小值為(c)2－c＋c2，即(c)2－c＋c2＝，
解得c＝，與0＜c＜矛盾，舍去．
綜上所述，橢圓的方程為＋＝1.
題型二 與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題
軌跡是動點按一定規(guī)律運動而形成的，軌跡的條件可以用動點坐標表示出來．求軌跡方程的基本方法是
(1)直接法求軌跡方程：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，根?jù)條件列出方程；
(2)待定系數(shù)法求軌跡方程：根據(jù)曲線的標準方程；
(3)定義法求軌跡方程：動點的軌跡滿足圓錐曲線的定義；
(4)代入法求軌跡方程：動點M(x，y)取決于已知曲線C上的點(x0，y0)的坐標變化，根據(jù)兩者關(guān)系，得到x，y，x0，y0的關(guān)系式，用x，y表示x0，y0，代入曲線C的方程．
例2 如圖，已知線段AB＝4，動圓O1與線段AB切于點C，且AC－BC＝2，過點A、B分別作圓O1的切線，兩切線交于點P，且P、O1均在AB的同側(cè)，求動點P的軌跡方程．
解 建立如圖所示的直角坐標系，則A(－2,0)，B(2,0)，由切線長定理得
AC－BC＝PA－PB＝2<4，
∴點P的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的右支(不包括頂點)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝2.
∴動點P的軌跡方程是x2－y2＝2 (x>)．
跟蹤演練2 若動圓P過點N(－2,0)，且與另一圓M：(x－2)2＋y2＝8相外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．
解 設(shè)P(x，y)，因為動圓P過點N，
所以PN是該圓的半徑，
又因為動圓P與圓M外切，
所以有PM＝PN＋2，即PM－PN＝2，
故點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2，焦距MN為4的雙曲線的左支，
即a＝，c＝2，所以b＝＝，
從而動圓P的圓心的軌跡方程為－＝1 (x≤－)．
題型三 圓錐曲線的綜合問題
圓錐曲線中定點、定值、最值、范圍問題是圓錐曲線的綜合問題，它是解析法的應(yīng)用，它涉及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系．解這類問題的分析思想與方法是可循的，重要的是要善于掌握圓錐曲線知識縱向、橫向的聯(lián)系，努力提高解題能力．
例3 如圖，設(shè)A(a,0) (a>0)，B、C分別為x軸、y軸上的點，非零向量滿足：＝2，⊥.
(1)當點B在x軸上運動時，求點P的軌跡E的方程；
(2)設(shè)Q是曲線E上異于P的點，且＝0，求證：直線PQ過定點．
(1)解 設(shè)B(x0,0)，C(0，y0)，P(x，y)．
∵＝2，∴C是BP的中點，
∴
易知＝(－x0，y0)，＝(－a，y0)，
由⊥，即⊥，得ax0＋y＝0，
∴－ax＋y2＝0，即y2＝4ax.
又＝(2x，y)≠0，
∴P點的軌跡方程是y2＝4ax (a>0，x≠0)．
(2)證明 ∵＝0，∴OP⊥OQ，
顯然直線OP的斜率存在，且不為0，
∴可設(shè)直線OP：y＝kx，則直線OQ：y＝－x，
由 得P；
由 得Q＝(4ak2，－4ak)．
當k＝1時，直線PQ的方程為x＝4a，過定點(4a,0)；
當k≠1時，直線PQ的方程為＝，
整理得k(x－4a)＋(k2－1)y＝0，
∵k≠0，∴過定點(4a,0)．
綜上，直線PQ必過定點(4a,0)．
跟蹤演練3 如圖，已知A(－3p,0) (p>0)，B、C兩點分別在y軸和x軸上運動，并且滿足＝0，＝.
(1)求動點Q的軌跡方程；
(2)設(shè)過點A的直線與Q的軌跡交于E、F兩點，A′(3p,0)，求直線A′E，A′F的斜率之和．
解 (1)設(shè)Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0,0)，
則＝(x0，－y0)，＝(x－x0，y)，
∵＝，∴(x0，－y0)＝(x－x0，y)，
即x0＝，y0＝－.∴B，C.
又A(－3p,0)，∴＝，＝，
由＝0，得3px－y2＝0，
即y2＝4px.
∴Q點的軌跡方程為y2＝4px (p>0)．
(2)設(shè)過點A的直線方程為y＝k(x＋3p) (k≠0)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．
聯(lián)立方程組
消去x，得y2－y＋3kp＝0.
∴y1y2＝12p2，
kA′E＋kA′F＝＋
＝，
又y＝4px1，y＝4px2，
∴kA′E＋kA′F＝.
由y1y2＝12p2，得kA′E＋kA′F＝0.
1．圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．
2．圓錐曲線的標準方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，高考對圓錐曲線標準方程的考查方式有兩種：一個是在解答題中作為試題的入口進行考查；二是在填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)進行考查．
3．圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點內(nèi)容，高考對此進行重點考查，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，試題一般以圓錐曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進行交匯命題．
4．雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識，但直線與圓錐曲線是密不可分的，如雙曲線的
漸近線、拋物線的準線，圓錐曲線的對稱軸等都是直線．高考不但不回避直線與圓錐曲線，而且在試題中進行重點考查，考查方式既可以是填空題，也可以是解答題．
5．考綱對曲線與方程的要求是“了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系”，高考對曲線與方程的考查主要體現(xiàn)在以利用圓錐曲線的定義和待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，以直接法、代入法等方法求圓錐曲線的方程．
6．高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運用．
2019-2020年高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習提升 蘇教版選修2-1.doc
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