2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5《平面向量應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5《平面向量應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修4 【教學(xué)目標(biāo)】 1.通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐 標(biāo)法，可以用向量知識(shí)研究物理中的相關(guān)問題的“四環(huán)節(jié)”和生活中的實(shí)際問題； 2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何和物理問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的 積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神. 【導(dǎo)入新課】 回顧提問： （1）若O為重心,則++=. （2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形為等腰梯形.類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系? (3)兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？ 教師：本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學(xué)生們課前預(yù)習(xí)了這部分，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)情況并讓學(xué)生把預(yù)習(xí)過程中的疑惑說出來. 新授課階段 探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會(huì)？（２）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例． 教師：平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度.如圖： 平行四邊行中，設(shè)＝,＝，則（平移），，（長(zhǎng)度）．向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.通過向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等．把運(yùn)算結(jié)果 “翻譯”成幾何關(guān)系．本節(jié)課，我們就通過幾個(gè)具體實(shí)例，來說明向量方法在平面幾何中的運(yùn)用 例1 證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和． 已知：平行四邊形ABCD． 求證：． 分析：用向量方法解決涉及長(zhǎng)度、夾角的問題時(shí)，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到， ，我們計(jì)算和． 證明：不妨設(shè)a，b，則 a+b，a-b，|a|2，|b|2． 得( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2． ① 同理,|a|2-2ab+|b|2． ② ①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()． 所以，平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和． 師：你能用幾何方法解決這個(gè)問題嗎？ 讓學(xué)生體會(huì)幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況. 師：由于向量能夠運(yùn)算，因此它在解決某些幾何問題時(shí)具有優(yōu)越性，他把一個(gè)思辨過程變成了一個(gè)算法過程，可以按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度. 用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個(gè)步驟： ⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； ⑵通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； ⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系． 變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；（2）用表示向量. 例2 如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？ 分析：由于R、T是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，所以要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關(guān)系即可． 解：設(shè)a，b，則a+b． 因?yàn)榕c共線，因此，存在實(shí)數(shù)m，使得=m(a+b)． 又因?yàn)榕c共線，因此存在實(shí)數(shù)n，使得=n= n(b- a)． 由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)． 整理得a＋b＝0． 由于向量a、b不共線，所以有　解得 所以． 同理 ． 于是 ． 所以 AR＝RT＝TC． 說明：本例通過向量之間的關(guān)系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法． 探究二：（1）兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.為什么？ （2）在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.為什么？ 師：向量在物理中的應(yīng)用，實(shí)際上就是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量運(yùn)算解決向量問題，最后再用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象． 例3 在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ 分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學(xué)模型．只要分析清楚F、G、三者之間的關(guān)系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學(xué)解釋． 解：不妨設(shè)|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，物理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到 |F1|=． 通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)由逐漸變大時(shí)，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力． 師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問題，思考下面的問題： ⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？ 例4 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？ 分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對(duì)岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時(shí)間最短．考慮到水的流速，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對(duì)岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對(duì)船的實(shí)際航行的影響） 解：=(km/h)， 所以， (min)． 答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是3.1 min． 本例關(guān)鍵在于對(duì)“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的船必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應(yīng)當(dāng)垂直于河岸，分析清楚這種關(guān)系后，本例就容易解決了. 例5 已知 ,的夾角為60o,,,當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，⑴∥？⑵？ 解：⑴若∥，得； ⑵若，得 例6 如圖，ABCD為正方形，P是對(duì)角線DB上一點(diǎn)，PECF為矩形，求證：①PA=EF； ②PA⊥EF. 解：以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，則A(0,1), C:(1,0)， B:(1,1). . 故 例7 如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)， 求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 證明: 即 例8 已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3＋4＋5＝．延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若＝，＝，用、表示向量、． 解：∵＝－＝－， ＝－＝－， 又 3＋4＋5＝，∴ 3＋4（－）＋5（－）＝， 化簡(jiǎn)，得＝＋． 設(shè)＝t（t∈R），則 ＝t ＋t． ① 又設(shè) ＝k（k∈R）， 由 ＝－＝－，得 ＝k（－）． 而 ＝＋＝＋， ∴ ＝＋k（－）＝（1－k）＋k. ② 由①②，得 解得 t ＝． 將之代入①，有 ＝＋． 課堂小結(jié) 利用向量的方法解決平面幾何問題的“三步曲”？ （1） 建立平面幾何與向量的聯(lián)系， （2） 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系， （3） 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 作業(yè) 見同步練習(xí) 拓展提升 一、 選擇題 1.給出下面四個(gè)結(jié)論： ① 若線段AC=AB+BC，則向量； ② 若向量，則線段AC=AB+BC； ③ 若向量與共線，則線段AC=AB+BC; ④ 若向量與反向共線，則. 其中正確的結(jié)論有 （ ） A. 0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 2.河水的流速為2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜止速度大小為 （ ） A.10 B. C. D.12 3.在中，若=0，則為 ( ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.無法確定 二、填空題 4.已知兩邊的向量，則BC邊上的中線向量用、表示為 . 參考答案 1.B 2.B 3.C 4.