2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第37講 空間夾角和距離教案 新人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第37講 空間夾角和距離教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．能借助空間幾何體內(nèi)的位置關(guān)系求空間的夾角和距離； 2．能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。 二．命題走向 空間的夾角和距離問(wèn)題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對(duì)本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應(yīng)用。 預(yù)測(cè)xx年高考對(duì)本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。 題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察。 三．要點(diǎn)精講 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。 具體步驟如下： ①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上； ②證明作出的角即為所求的角； ③利用三角形來(lái)求角。 （2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。 D B A C 具體步驟如下： ①找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； ②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角； ③把該角置于三角形中計(jì)算。 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； （3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法 ①棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； ③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。 斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應(yīng)用公式,求出二面角的大小。 2．空間的距離 （1）點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)Ｐ到直線的距離為點(diǎn)Ｐ到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過(guò)Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長(zhǎng)即可。 點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)Ｐ到平面的距離為點(diǎn)Ｐ到平面的垂線段的長(zhǎng)．常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長(zhǎng)．常有求法①先證線段ＡＢ為異面直線的公垂線段，然后求出ＡＢ的長(zhǎng)即可．②找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。 （3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間．為直線上任意一點(diǎn)到平面間的距離。 （4）平面與平面間的距離：只存在于兩個(gè)平行平面之間．為一個(gè)平面上任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離。 以上所說(shuō)的所有距離：點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距都是對(duì)應(yīng)圖形上兩點(diǎn)間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離。 3．空間向量的應(yīng)用 a b E F （1）用法向量求異面直線間的距離 如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ； A B C α （2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為； （3）用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。 （4）用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題。 （5）用法向量求二面角 α β 如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。 （6）法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者。 四．典例解析 題型1：異面直線所成的角 例1．（1）直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=，點(diǎn)D1、F1 分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D） （2）（06四川）已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）連結(jié)D1F1，則D1F1， ∵BC ∴D1F1 設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴D1F1BE，∴BD1∥EF1，∴∠EF1A或其補(bǔ)角即為BD1與AF1所成的角。由余弦定理可求得。故選A。 （2）二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B。 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角。 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 例2．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)。 求：D1E與平面BC1D所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆? 解析：建立坐標(biāo)系如圖， 則、，， ，，，，， ，，。 不難證明為平面BC1D的法向量， ∵ 。 ∴ D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為。 點(diǎn)評(píng)：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。 題型2：直線與平面所成的角 例3．PA、PB、PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 解：構(gòu)造正方體如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CO⊥平面PAB，垂足為O，則O為正ΔABPD 的中心，于是∠CPO為PC與平面PAB所成的角。設(shè)PC=a，則PO=，故，即選C。 思維點(diǎn)撥：第（2）題也可利用公式直接求得。 例2．（03年高考試題）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用余弦值表示）； G DD A1 C1 B1 C B K x y z A E 解析：如圖所示，建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為C，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G() ， ∵ ， ， ， ∴ a＝1，， ∵ 為平面ABD的法向量，且。 ∴ A1B與平面ABD所成角的余弦值是。 點(diǎn)評(píng)：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。 題型3：二面角 E F O 例5．在四棱錐P－ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E為BC中點(diǎn)。 （1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。 解析：（1）延長(zhǎng)AB、DE交于點(diǎn)F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A， 過(guò)A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD，則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。易得，故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為； （2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同時(shí)，BC⊥平面BPA于B， ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ,　cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450。 即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45?！　? 解法2（補(bǔ)形化為定義法） 如圖：將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD－PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。 在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45。 例6．（1）（xx年，北京卷高考題）如圖6，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。求二面角的大小。（略去了該題的①，③問(wèn)） （2）（06四川卷）已知球的半徑是1，、、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：（1）取BC的中點(diǎn)O，連AO。 由題意：平面平面，，∴平面， 以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系， 則 ，，，， ∴ ， ， ， 由題意 平面ABD， ∴ 為平面ABD的法向量。 設(shè) 平面的法向量為 ， 則， ∴ ， ∴ ， 即 ?！?不妨設(shè) ， 由， 得。 故所求二面角的大小為。 評(píng)析：（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找——證——求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神； （2）此法在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若取時(shí)，會(huì)算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角、直角，有時(shí)也為鈍角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。 （2）解析：球的半徑是R=，三點(diǎn)都在球面上，兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是，則∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，兩點(diǎn)的球面距離是，∠BOC=，BC=1，過(guò)B做BD⊥AO，垂足為D，連接CD，則CD⊥AD，則∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，選C。 題型4：異面直線間的距離 例7．如圖，已知正方體ＡＢＣＤ－棱長(zhǎng)為， 求異面直線ＢＤ與Ｃ的距離． Ｍ Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｆ Ｅ 解法一：連結(jié)ＡＣ交ＢＤ的中點(diǎn)Ｏ，取的中點(diǎn)Ｍ，連結(jié)ＢＭ交于Ｅ，連，則，過(guò)Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，則。 又斜線的射影為ＡＣ，ＢＤＡＣ，。 同理，為ＢＤ與的公垂線，由于Ｍ為的中點(diǎn)，∽，。 ，ＥＦ／／ＯＭ，，故ＯＢ＝，． 解法二．（轉(zhuǎn)化為線面距） 因?yàn)椋拢模矫?，平面，故ＢＤ與的距離就是ＢＤ到平面的距離。 由，即，得． 解法三．（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面／／平面，用等體積法易得Ａ到平面的距離為。 同理可知：到平面的距離為，而，故兩平面間距離為． M N Ａ Ｂ Ｃ Ｄ E Ａ Ｂ Ｃ Ｄ O 解法四．（垂面法）如圖，ＢＤ／／平面，，平面，平面平面＝，，故O到平面的距離為斜邊上的高。 解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點(diǎn)M，作MEBC于E，過(guò)E作ENBD交BD于N，易知MN為BD與的公垂線時(shí)，MN最小。 設(shè)BE=，CE=ME=，EN=， MN====。 當(dāng)時(shí)，時(shí)，。 A B C D O S 圖2 例8．如圖2，正四棱錐的高，底邊長(zhǎng)。求異面直線和之間的距離？ 分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 ， ， ，， 。 ，。 令向量，且， 則，，， ，。 異面直線和之間的距離為： 。 題型5：點(diǎn)面距離 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｇ ＥＥ Ｅ ＦＥ Ｏ Ｈ 例9．如圖，已知ＡＢＣＤ為邊長(zhǎng)是４的正方形，Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求點(diǎn)Ｂ到平面ＥＦＧ的距離。 解法一：連結(jié)ＢＦ，ＢＧ，， 又Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)， 。 ，， ， ． 解法二．Ｅ，Ｆ分別是ＡＢ，ＡＤ的中點(diǎn)，ＥＦ／／ＢＤ，Ｂ到平面ＧＥＦ的距離為ＢＤ上任一點(diǎn)到平面ＧＥＦ的距離，ＢＤＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ， 又ＧＣ平面ＡＢＣＤ，ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＥＦＧＣ，ＥＦ平面ＧＥＦ，平面ＧＥＦ平面ＧＣＨ，過(guò)Ｏ點(diǎn)作ＨＧ，則平面ＧＥＦ，為Ｏ到平面ＧＣＨ的距離，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距離。 由解法一知：，由∽得 。 思維點(diǎn)拔：注意點(diǎn)距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。 例10．（1）（06安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：______（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)） ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 （2）平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：①1； ②2； ③3； ④4； 以上結(jié)論正確的為_(kāi)_____________。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)） A B C D A1 解析：（1）如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。 （2）如圖，B、D到平面的距離為1、2，則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3； B、C到平面的距離為1、2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1； C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。 題型6：線面距離 B A C D 例11．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線，D是AC的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。 解析：（1）連結(jié)BD，，由三垂線定理可得： ，所以就是點(diǎn)到直線AC的距離。 在中． 。 （2）因?yàn)锳C與平面BD交于ＡＣ的中點(diǎn)Ｄ，設(shè)，則//DE，所以//平面，所以到平面BD的距離等于Ａ點(diǎn)到平面BD的距離，等于Ｃ點(diǎn)到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。 ，，所以，直線到平面BD的距離是。 思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。 例12．A C B P E F 圖7 如圖7，已知邊長(zhǎng)為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過(guò)且與平行。 求與平面間的距離？ 分析：設(shè)、、的單位向量分別為、、，選取{，，}作為空間向量的一組基底。 易知， ===， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則 ， ，即， 直線與平面間的距離= 五．思維總結(jié) 1．這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識(shí)（特別是余弦定理）熟練解題。特別注意:空間各種角的計(jì)算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來(lái)，這里要特別注意平面角的探求； 2．把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從解決平面問(wèn)題而使空間問(wèn)題得以解決。求角的三個(gè)基本步驟：“作”、“證”、“算”。 3．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置； ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理； ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。 作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則。此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法； ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離。 4．注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 （1）常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問(wèn)題。