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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 1.考查正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識點(diǎn)進(jìn)行綜合考查．
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合．
1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解決不同的三角形問題．
2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.
4． 在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＝bsin A
bsin A
b
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
1． 在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B.
2． 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：
(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．
1． 在△ABC中，若A＝60，a＝，則＝________.
答案 2
解析 由正弦定理及等比性質(zhì)知
＝＝＝＝2R，
而由A＝60，a＝，
得＝2R＝＝＝2.
2． (xx福建)已知△ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為________．
答案 －
解析 設(shè)三角形的三邊長從小到大依次為a，b，c，
由題意得b＝a，c＝2a.
在△ABC中，由余弦定理得
cos C＝＝＝－.
3． (xx重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，則c＝________.
答案
解析 在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝.
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝＋＝.
由正弦定理知＝，
∴c＝＝＝.
4． (xx課標(biāo)全國)在△ABC中，B＝60，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________．
答案 2
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120－C)
＝2(sin C＋2sin 120cos C－2cos 120sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，
由于0＜C＜120，且α是第一象限角，
因此AB＋2BC有最大值2.
5． 已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為 ( )
A．2 B．8 C. D.
答案 C
解析 ∵＝＝＝2R＝8，∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C＝abc＝16＝.
題型一 利用正弦定理解三角形
例1 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45.求角A、C和邊c.
思維啟迪：已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的個(gè)數(shù)的判斷．
解 由正弦定理得＝，＝，
∴sin A＝.
∵a>b，∴A＝60或A＝120.
當(dāng)A＝60時(shí)，C＝180－45－60＝75，c＝＝；
當(dāng)A＝120時(shí)，C＝180－45－120＝15，
c＝＝.
探究提高 (1)已知兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意．
已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為___________．
答案
解析 ∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝.
由正弦定理知：sin A＝＝，
又aB>C,3b＝20acos A，則sin A∶sin B∶sin C為 ( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
答案 D
解析 ∵A>B>C，∴a>b>c.
設(shè)a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得
3b＝20(b＋1).
化簡，得7b2－27b－40＝0.
解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c＝4.
∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
二、填空題(每小題5分，共15分)
4． 在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，則∠A＝________，△ABC的形狀為__________．
答案 60 正三角形
解析 ∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.
又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，
∴∠A＝60.由b2＝ac，即a＝，
代入a2－c2＝ac－bc，整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，
∴b＝c.∴△ABC為正三角形．
5． 在△ABC中，若∠A＝60，b＝1，S△ABC＝，則
的值為________．
答案
解析 ∵S△ABC＝，即bcsin A＝，∴c＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝13，∴a＝，
∴＝＝＝.
6． 在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若＋＝6cos C，則＋的值是______．
答案 4
解析 由＋＝6cos C，得b2＋a2＝6abcos C.
化簡整理得2(a2＋b2)＝3c2，
將＋切化弦，
得(＋)＝
＝＝.
根據(jù)正、余弦定理得
＝
＝＝＝4.
三、解答題
7． (13分)(xx浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面積．
解 (1)因?yàn)?
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4.6正弦定理和余弦定理教案
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