2019-2020年高中數(shù)學《函數(shù)模型及其應用》教案6 新人教A版必修1.doc

《2019-2020年高中數(shù)學《函數(shù)模型及其應用》教案6 新人教A版必修1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年高中數(shù)學《函數(shù)模型及其應用》教案6 新人教A版必修1.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學函數(shù)模型及其應用教案6 新人教A版必修1 教學目標 1理解等比數(shù)列的定義，并能以方程思想作指導，理解和運用它的通項公式 2逐步體會類比、歸納的思想，進一步培養(yǎng)學生概括、抽象思維等能力 3培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，促進個性品質的良好發(fā)展 教學重點和難點 重點：等比數(shù)列要領的形成及通項公式的應用 難點：對要領的深刻理解 教學過程設計 (一)引入新課 師：前面我們已經(jīng)研究了一類特殊的數(shù)列等差數(shù)列，今天我們一起研究第二類新的數(shù)列等比數(shù)列 (板書)三 等比數(shù)列 (二)講解新課 師：等比數(shù)列與等差數(shù)列在名字上非常類似，只有一字之差，一個是差，一個是比，你能否仿照等差數(shù)列，舉列說明你對等比數(shù)列的理解 (要求學生能主動的用類比思想，通過具體例子說明對概念的理解) 生：數(shù)列1，3，9，27， 師：你為什么認為它是等比數(shù)列呢？ 生：因為這個數(shù)列相鄰兩項的比都是相等的，所以是等比數(shù)列 (先引導學生用自己的語言描述等比數(shù)列的特征，但暫時不作評論，以防限制其他學生的思維) 師：這是你對等比數(shù)列的理解，不過這個例子中的項是一項比一項大，能否再舉一個一項比一項小的 師：你對等比數(shù)列的理解呢？ 生：數(shù)列中每一項與前一項的比都是同一個常數(shù) 師：他們對等比數(shù)列理解基本相同的，能否再換個樣子，舉一個例子 (若理解沒有什么變化，就不必讓學生再重復了) 師：下面再舉例子又增加點要求，既然要去研究它，說明它一定有實際應用價值，那么能否再舉一個生活中的等比數(shù)列例子 生：如生物學中細胞分裂問題：1個細胞經(jīng)過一次分裂變?yōu)?個細胞，這兩個細胞再繼續(xù)分裂成為4個細胞這樣分裂繼續(xù)下去，細胞個數(shù)從1到2到4到8，把每次分裂后所得細胞個數(shù)排列好可形成一個數(shù)列1，2，4，8，16，這個數(shù)列就是等比數(shù)列 師：這個例子舉得很好，不僅能夠發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學問題，還能把數(shù)學知識應用在其它學科，其實等比數(shù)列的應用是非常廣泛的，說明它確有很高的研究價值 說了這么多，也發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，能否試著給等比數(shù)列下個定義呢？ 生：如果一個數(shù)列的每一項與前一項的比都等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 師：作為定義這種敘述還有一點不足，為保證這樣比都作得出來，這每一項應從數(shù)列的第二項起，否則第一項沒有前一項，也就做不出這個比，調整之后，再找一位同學準確描述一下等比數(shù)列 生：如果一個數(shù)列，從第二項起每一項與前一項的比都等于一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 師：好，就把它作為等比數(shù)列的定義記錄下來 (板書)1定義 如果一個數(shù)列，從第二項起，每一項與前一項的比都是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做公比，記作q (教師在敘述的同時，再強調為突出所做出的比都相等，應寫為同一個常數(shù)更準確) 師：記住這句話并不難，關鍵是如何理解它，并利用它解決問題，先回到剛才幾個例子看它們是否是等比數(shù)列，如果是，公比是多少？ 師：好，公比會找了，再來看這樣一件事，等比數(shù)列從定義上與等差數(shù)列有很多密切關系使我們想到，有沒有這樣的數(shù)列，它既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列呢？ 生：有，如數(shù)列1，1，1，1，是一個以0為公差的等差數(shù)列，也是以1為公比的等比數(shù)列 師：除了這個數(shù)列以外，還能再舉一個嗎？ 師：他們舉的例子都是對的，而且從例子中數(shù)列的特征，使我們聯(lián)想到，形如a，a，a，(aR)的數(shù)列好像都滿足既是等差又是等比數(shù)列，是這樣嗎？ (可讓學生作短暫的討論，再找學生回答) 生：形如a，a，a，這樣的數(shù)列一定是等差數(shù)列(這一點可以由等差數(shù)列的定義加以證明)但它未必是等比數(shù)列 師：能具體解釋一下嗎？ 生：當a=0時，數(shù)列每一項均為零，都不能作比，因此不是等比數(shù)列，a0時，此數(shù)列是等比數(shù)列 師：這個回答非常準確，通過對這個問題的研究，對于我們進一步認識等比數(shù)列有什么幫助嗎？從中得到什么啟示嗎？ 生：等比數(shù)列中的每一項都不能為零，因為在定義中，數(shù)列中每一項都要做分母，所以均不能為零 師：這一點實際上是隱含在定義的敘述之中的，從另一個角度上講，數(shù)列各項均不為零是這個數(shù)列成等比數(shù)列的什么條件呢？ 生：是必要非充分條件 師：這是我們對等比數(shù)列進一步理解得到第一點共識 (板書)2對定義的理解 (1)“an0”是數(shù)列an成等比數(shù)列的必要非充分條件 師：這一點是對等比數(shù)列的項的特殊要求，這與等差數(shù)列也是不同的 下面從另外一個角度研究一下定義，數(shù)學定義一般都是用文字語言敘述表達的，但是在使用時往往需要符號化，因此下面試用數(shù)學符號語言來描述它？ 師：這種描述過于具體，能否用簡單的一個式子來概括這么多個比的等 師：由于n可取任意自然數(shù)，故an+1可表示數(shù)列中每一項，an可表示相應的前一項，因此這一個比可以代表無數(shù)多個比的相等，所以這個式子與定義是等價的 師：這個比式也可作為我們判斷一個數(shù)列an是否是等比數(shù)列的依據(jù)這樣我們就完成了對等比數(shù)列的定義的研究、回顧一下研究過程主要做了這樣兩件事：一是利用類比方法得到了等比數(shù)列的定義；二是用抽象概括將定義翻譯為符號語言，并能利用它證明一個數(shù)列是否是等比數(shù)列 下面要進一步研究等比數(shù)列，必須先搞清怎么表示一個等比數(shù)列，要表示數(shù)列，需先確定這個數(shù)列，確定一個等比數(shù)列幾個條件呢？ 生：兩個條件 師：哪兩個條件？ 生：可以是首項和公比 師：如果等比數(shù)列an，首項為a1，公比為q，你會用什么方法來表示這個等比數(shù)列呢？ 生：可以表示為a1，a2，a3，a4這是常用的列舉法 師：剛才舉例時用的就是這種表示方法，除此之外，還有其它表示法嗎？ 師：這兩種表示法各有所長，但使用最方便的還是通項公式法即如果已知an是等比數(shù)列，首項是a1，公比是q，如何用n的解析式表示數(shù)列中的第n項呢？ (板書) 3等比數(shù)列的通項公式 (1)已知等比數(shù)列an，首項為a1，公比為q，則an=？ 生：an=a1qn-1(nN+) 師：你是怎么得到的 生：根據(jù)已知條件，數(shù)列可以寫成a1，a1q，a1q2，a1q3，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出第n次an=a1qn-1 師：歸納的結論是正確的，且用的方法，調動的知識都非常好，尋找通項即尋找項的一般規(guī)律，先看特殊項，寫出幾項，再歸納出一般結論這種方法是不完全歸納法，因此這個結論的正確性是需要證明的(請同學們課下完成) (板書)an=a1qn-1(nN+) (2)對公式的認識與理解 師：對于這個通項公式，可以從幾個方面去認識它呢？ (這不是第一次遇到這類公式，學生應知道從什么角度去認識公式) 生：可以從函數(shù)觀點去認識，把通項公式看作關于n的解析式 師：與什么函數(shù)的解析式相類似 生：指數(shù)函數(shù) 師：它類似于指數(shù)函數(shù)解析式，說明它在某些方面可能與指數(shù)函數(shù)有聯(lián)系 生：還可以把它看作一個方程，用方程思想來求解其中的量 師：方程中有四個量，知三求一是最簡單的公式應用，不過當已知a1，q和an，求n時，此時的方程是個指數(shù)方程，求解時需多加注意如an是等比數(shù)列，首項是2，公比是2，那么256是數(shù)列中第幾項？ 生：因為an=a1qn-1，則an=22n-1=2n又an=256，得256=2n解得n=8 師：其它的例子不再舉了但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一個方程就不能解決了，需要方程組才能解決這也就是通項公式的不同層次的應用了，下面一起看這樣一個題目 (板書) 例1 一個等比數(shù)列的第二項是2，第三項與第四項的和是12，求它的第八項的值 師：拿到這個題目，你打算怎樣設計你的求解方案，或者說對這個題目有什么想法 生：想求出首項和公比 師：為什么要求出它們呢？ 生：有了首項和公比，就有了通項公式，就可以求出數(shù)列中任何一項 師：好，這就是計算中要抓基本量的思想首項和公比就是等比數(shù)列的兩個基本量下面我們具體開始解，大家共同完成這個題目的求解 師：怎么解這個方程組呢？ 生：得qq2=6解得q=3或q=2 師：最后結果是正確的，但在具體求解過程中還有值得改進的地方 此題要求的是a8，即a1q7=a1qq6=2q6故只要把q求出即可求出a8的值這樣在解方程組時就不必求出a1，從而使運算過程得以簡化 (板書) 解：設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q則由已知得 得q2q=6解得q=3或q=2則a8=a1q7=a1qq6=2q6=2(3)6=1458或a8=2q6=226=27=128故數(shù)列第八項是1458或128 師：通過這個小題的計算，發(fā)現(xiàn)這類型題目主要是方程思想的應用應用過程中主要是三個基本步驟：設、列、求，通過剛才的實踐，你們覺得在這三步上應該注意什么呢？ 生：設未知數(shù)應注意設等比數(shù)列的基本量首項和公比在解方程組時，通常會用到乘除消元的方法 師：總結得不錯，在注意以上幾點的同時，還應注意利用分析綜合法尋求已知和所求之間的聯(lián)系，以達到簡化運算的目的 下面我們一起看例2 (此題先讓學生講明思路，根據(jù)時間完成主要內容即可) 師：這個題目應從哪里入手解決呢？ 生：應先判斷這個數(shù)列是否是等比或等差數(shù)列 師：為什么要做這件事呢？ 生：因為知道了是什么樣的數(shù)列，就可以找出其通項公式，就可以判斷某個數(shù)是否是數(shù)列中的項 師：如果判斷它是否是等差或等比數(shù)列呢？ 師：好，這種思路是可行的，除此之外還有其他思路嗎？ 生：可以利用2an=3an+1(nN+)找到 2a1=3a2，2a2=3a3， 2a4=3a5，可以找 師：這種方法把一般關系具體化，有一定可取之處，但有一定的偶然性，因此兩種思路比較而言，另一種方案更具一般性 下面請同學把這種方案具體實施一下 (讓一個學生就說一個重要環(huán)節(jié)，并及時指出表述上的問題) 師：這兩步是等價的嗎？ 生：不等價，應保證an0才等價 師：題目中能保證an0嗎？ 生：根據(jù)條件“各項均為負”可以保證an0 師：在表述上應怎樣調整呢？ (提醒學生，開方時必須指明a10，才能保證只有一解) 師：在這個題目求解過程中注意這樣幾點： (1)判斷數(shù)列是等比數(shù)列時，將條件變形為比的形式，注意變形的等價性； (2)判斷某個數(shù)是否是數(shù)列中的項，只需將該數(shù)代入通項公式，并解此方程，看是否有正整數(shù)解 (四)小結 師：這節(jié)課主要學習了一個重要概念等比數(shù)列和一個重要的公式等比數(shù)列的通項公式 (1)對于這個概念要注意與等差數(shù)列的類比中把握它們的區(qū)別與聯(lián)系 (2)對于通項公式除了記住內容，了解推導之外，關鍵是能用方程觀點去認識，并應用它解決有關問題 (五)布置作業(yè) 課本習題(略) 課堂教學設計說明 等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后介紹的，因此它的數(shù)學方法不能簡單地重復等差數(shù)列應當既(體現(xiàn))出兩者的聯(lián)系，又有所變化且有所提高因此在教學方法上突出了類比思想的使用，教師為學生創(chuàng)造好使用的條件，引導學生自己研究相關內容如定義、表示方法通項公式及對公式的認識，通過學生的研究，探索，加上老師概括總結，既充分發(fā)揮學生的主體作用又體現(xiàn)教師的主導作用 等比數(shù)列的通項公式應用是等比數(shù)列這段知識的重點，也是本節(jié)課的重點，方程思想的應用是公式應用的核心和關鍵所以必須了解方程思想應用的特點，首先必須用方程的觀點去認識等比數(shù)列的基礎知識；再從本質上把握公式其次在運用方程思想解題時，對于設元要抓好其中的關鍵量；最后在運用方程思想時需恰當應用整體代入，設而不求，如例1的計算應注意把a2=2的條件整體代入到所求的a8中，從而使a1設而不求