2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù)B.doc

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2019-2020 年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第三章 三角函數(shù) B 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.能畫(huà)出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像，借助圖像理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在，正 切函數(shù)在上的性質(zhì)； 2.了解函數(shù)的實(shí)際意義，能畫(huà)出的圖像； 3.了解函數(shù)的周期性，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) ()2sin()(32fxx?????的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小 正周期_____6____；初相__________． 2. 三角方程 2sin(－ x)=1 的解集為_(kāi)______________________． 3. 函數(shù) ),,0)(si RxAy???的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為 ______________________． 4. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移__________個(gè)單位． 【范例解析】 例 1.已知函數(shù) ()2sin(cos)fxx??． （Ⅰ）用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，長(zhǎng)度為一個(gè)周期； （Ⅱ）說(shuō)明 ()i()f 的圖像可由的圖像經(jīng)過(guò)怎樣變換而得到． 分析：化為形式． 解：（I）由 xxxf 2sinco1sin2si)( ????? )4()4co4in21 ????? ． 列表，取點(diǎn)，描圖： 1 1 1 故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是： 第 3 題 （Ⅱ）解法一：把圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像，再把的圖像上所有點(diǎn)的橫坐 標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變） ，得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 倍（橫坐標(biāo)不變） ，得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移 1 個(gè)單位，即得到的圖像． 解法二：把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變） ，得到的圖像，再把圖像上 所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（橫坐 標(biāo)不變） ，得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移 1 個(gè)單位，即得到的圖像． 例 2.已知正弦函數(shù)的圖像如右圖所示． （1）求此函數(shù)的解析式； （2）求與圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的曲線的解析式； （3）作出函數(shù)的圖像的簡(jiǎn)圖． 分析：識(shí)別圖像，抓住關(guān)鍵點(diǎn)． 解：（1）由圖知， ， ， ，即． 將，代入，得，解得，即． （2）設(shè)函數(shù)圖像上任一點(diǎn)為，與它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為， 得 8,. xy???????? 解得代入中，得． （3） 12()sin()2sin()2cos84848fxxxx??????，簡(jiǎn)圖如圖所示． 點(diǎn)評(píng)：由圖像求解析式，比較容易求解，困難的是待定系數(shù)求和，通常利用周期確定，代入 －2 2 x=8 x y O 2 4 x y O－4 12 最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求． 【反饋演練】 1．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)，的圖像上所有的點(diǎn) ①向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變） ； ②向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變） ； ③向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 3 倍（縱坐標(biāo)不變） ； ④向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 3 倍（縱坐標(biāo)不變） ． 其中，正確的序號(hào)有_____③______． 2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移____個(gè)單位長(zhǎng)度． 3．若函數(shù)， （其中， ）的最小正周期是，且，則__2____；__________． 4．在內(nèi)，使成立的取值范圍為_(kāi)___________________． 5．下列函數(shù)： ①； ②； ③； ④． 其中函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號(hào)有_____④_____． 6．如圖，某地一天從 6 時(shí)至 14 時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) （1）求這段時(shí)間的最大溫差； （2）寫(xiě)出這段時(shí)間的函數(shù)解析式． 解：（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是℃ （2）圖中從 6 時(shí)到 14 時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期 ∴，解得 由圖示， 這時(shí)， 將代入上式，可取 綜上，所求的解析式為 20)438sin(10???xy（） 7．如圖，函數(shù) π2co) )>?????R， ， ≤ ≤ 的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函 數(shù)的最小正周期為． （1）求和的值； （2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 當(dāng)，時(shí)，求的值． 解：（1）將，代入函數(shù)得， 因?yàn)椋裕?又因?yàn)樵摵瘮?shù)的最小正周期為，所以， 因此． （2）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)， ， 第 6 題 第 5 題 A 第 7 題 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以． 因?yàn)?，所以?從而得或． 即或． 第 6 課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（二） 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解三角函數(shù)， ，的性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)會(huì)研究形如函數(shù)的性質(zhì)； 2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想方法，利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)來(lái)研究． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.寫(xiě)出下列函數(shù)的定義域： （1）的定義域是______________________________； （2）的定義域是____________________． 2．函數(shù) f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函數(shù) 22sinsin44????（ ） （ ） （ ） 的最小正周期是_______． 4. 函數(shù) y=sin(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)_______________對(duì)稱(chēng)． 5. 已知函數(shù) 在（－， ）內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是______________． 【范例解析】 {63,}kkZ???? （，0） 例 1.求下列函數(shù)的定義域： （1） ；（2） ． 解：（1） ,2tan0si1.xk???????? 即 ,27.66xkk????????? ， 故函數(shù)的定義域?yàn)?{22xkx???且 （2）即 04,.2kx???????? 故函數(shù)的定義域?yàn)椋?點(diǎn)評(píng)：由幾個(gè)函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)，其定義域是每一個(gè)函數(shù)定義域的交集；第（2）問(wèn)可用 數(shù)軸取交集． 例 2．求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間： （1） ； （2） ； 解：（1）因?yàn)?23kxk?????，故原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為5[,]()21kZ???? ． （2）由，得， 又 cos4in()2in()xy??， 所以該函數(shù)遞減區(qū)間為 324xkk????，即 5(4,)(2kkZ???． 點(diǎn)評(píng)：利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意定義域的限制． 例 3．求下列函數(shù)的最小正周期： （1） ；（2） sinsi32yx??????????????? ． 解：（1）由函數(shù)的最小正周期為，得的周期． （2） si()si()(sincosin)cos3xx??? 213131cos2sincosin24xxx????? ． 點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的周期一般有兩種：（1）化為的形式特征，利用公式求解；（2）利用函 數(shù)圖像特征求解． 【反饋演練】 1．函數(shù)的最小正周期為 _____________． 2．設(shè)函數(shù) ()sin()3fxx??????????R，則在上的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)__________________． 3．函數(shù) ico[,0]f??的單調(diào)遞增區(qū)間是________________． 4．設(shè)函數(shù)，則的最小正周期為_(kāi)______________． 5．函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________． 6．已知函數(shù) π12cos4()inxfx???????? ． （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）若角在第一象限且，求． 解：（Ⅰ） 由得，即． 故的定義域?yàn)?π|2xk??????????RZ，． （Ⅱ）由已知條件得 234sin1cos15?????????? ． ， 從而 π12cos4()inf???????????ππ12cossi2n44??????????2sincosicosco?? ． 7． 設(shè)函數(shù) )(),0( )2sin() xfyxf ??????圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （Ⅲ）畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間上的圖像 解：（Ⅰ）的圖像的對(duì)稱(chēng)軸， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ).432sin(,43??????xy因 此 由題意得 ,2Zkxk??? 所以函數(shù) .],85,[)sin( Zky ???的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為 （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0 故函數(shù) 上 圖 像 是在 區(qū) 間 ],[)(?f? -1-32 321 12 -12 ?7?83?45?8?23?8?4?8o y x 第 7 課 三角函數(shù)的值域與最值 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握三角函數(shù)的值域與最值的求法，能運(yùn)用三角函數(shù)最值解決實(shí)際問(wèn)題； 2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法：（1）化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式，利用函數(shù)的 有界性或單調(diào)性求解；（2）化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法或 圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解；（4）換元法． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 1 ． 2.函數(shù) )(2cos)(Rxxf ???的最大值等于 ． 3.函數(shù)且的值域是___________________． 4.當(dāng)時(shí)，函數(shù) xf2sin81)(?的最小值為 4 ． 【范例解析】 例 1.（1）已知，求的最大值與最小值． （2）求函數(shù) sincosicoyxx???的最大值． 分析：可化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題． 解：（1）由已知得：， ，則．221sinco(sin)yx???? ，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最小值． （2）設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為． 點(diǎn)評(píng)：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題； 但要注意變量的取值范圍． 例 2.求函數(shù)的最小值． 分析：利用函數(shù)的有界性求解． 解法一：原式可化為 sinco2(0)yxx????，得，即， 故，解得或（舍） ，所以的最小值為． 解法二：表示的是點(diǎn)與連線的斜率，其中點(diǎn) B 在左半圓上，由圖像知，當(dāng) AB 與半圓相切時(shí)， 最小，此時(shí)，所以的最小值為． 點(diǎn)評(píng)：解法一利用三角函數(shù)的有界性求解；解法二從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式，結(jié)合圖像求 解． 例 3.已知函數(shù) 2π()sin3cos24fxxx?????????， ． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式． 解：（Ⅰ） π()1cos23cos21in3cos2fxxxx???????????????????∵ ． 又， ，即 π21sin23x????????≤ ≤ ，maxmin()3()ff?，∴ ． （Ⅱ） 2()()2fxfx??????∵ ， ， 且， ，即的取值范圍是． 點(diǎn)評(píng)：第（Ⅱ）問(wèn)屬于恒成立問(wèn)題，可以先去絕對(duì)值，利用參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題．本 小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解 題的能力． 【反饋演練】 1．函數(shù) )(6cos)3sin(2Rxxy?????的最小值等于____－1_______． 2．當(dāng)時(shí)，函數(shù) 2inf 的最小值是______4 _______． 3．函數(shù)的最大值為_(kāi)______，最小值為_(kāi)_______. 4．函數(shù)的值域?yàn)? . 5．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于_________． 6．已知函數(shù) ()2cos(incs)1fxxx????R，． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ） π()2cos(incs)1in2cos2in4fxxxx?????????????． 因此，函數(shù)的最小正周期為． （Ⅱ）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又， ，3π3ππ2sin2cos1444f???????????????? ， 故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為． 第８課 解三角形 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運(yùn)用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途徑：根據(jù)所給條件靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，然后通過(guò)化邊為角或 化角為邊，實(shí)施邊和角互化． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在△ABC 中，已知 BC＝12， A＝60， B＝45，則 AC＝ . 2．在中，若 sin:si5:78BC?，則的大小是______________. 3．在中，若， ， ，則 ． 【范例解析】 例 1. 在△ABC 中， a， b，c 分別為∠A，∠B，∠C 的對(duì)邊，已知， ， ． （1）求的值；（2）求的值． 分析：利用轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系． 解：（1）由 sini23cos2cCAa??． （2）由 0,3.2????? 得．由余弦定理 得： ，解得：或， 若，則，得，即矛盾，故． 點(diǎn)評(píng)：在解三角形時(shí)，應(yīng)注意多解的情況，往往要分類(lèi)討論． 例 2.在三角形 ABC 中，已知 22()sin()()sin()abABabAB????，試判斷該三角形的 形狀． 解法一：(邊化角)由已知得： 2 2[i()i()][i()sin()]AB??， 化簡(jiǎn)得 2cosincosnaABbA?， 由正弦定理得： 22iicosinB，即sin(sicsc)0? ， 又， ， ． 又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 解法二：(角化邊)同解法一得： 22cosincosinaABbA?， 由正余弦定理得： 22bab???? ， 整理得： 222())0c??，即或， 即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 點(diǎn)評(píng)：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形 形狀． 例 3.如圖，D 是直角△ ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)， AB=AD，記∠ CAD=，∠ ABC=. （1）證明：； （2）若 AC=DC，求． 分析：識(shí)別圖中角之間的關(guān)系，從而建立等量關(guān)系. （1）證明：， ， ， （2）解： AC=DC， 2sin3sicos3sin????????. ， ，. 點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)是從圖中尋找到角之間的等量關(guān)系，從而建立三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出的值. B D C α β A 例 4 【反饋演練】 1．在中， ,75,4,300??CAB則 BC =_____________． 2．的內(nèi)角∠A，∠B，∠C 的對(duì)邊分別為 a， b，c，若 a， b，c 成等比數(shù)列，且，則_____． 3．在中，若， ，則的形狀是____等邊___三角形． 4．若的內(nèi)角滿足，則= ． 5．在中，已知， ， ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 解：（Ⅰ）在中， 2243sin1cos15A?????????? ，由正弦定理， ．所以 3sii5CB?． （Ⅱ）因?yàn)?，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是 221cos1in1????????? ，227s()5B?? ，14sinico?? ．i2sin2cos2in666BB?????????? ． 6．在中，已知內(nèi)角，邊．設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為． （1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值． 解：（1）的內(nèi)角和，由得． 應(yīng)用正弦定理，知 23sinsi4inBCAx????，sin4iBAx????????? ． 因?yàn)椋?所以 224sini30yxxx????????????????????， （2）因?yàn)?1icosin????? 543sin23xx????????????????， 所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值． 7．在中， ， ． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大邊的邊長(zhǎng)為，求最小邊的邊長(zhǎng)． 解：（Ⅰ） ， 1345tant()CAB??????? ． 又， ． （Ⅱ） ，邊最大，即． 又 tant0AB???????????， ， ， ，角最小，邊為最小邊． 由 22 si1tco4in??????，， 且， 得．由得：． 所以，最小邊． 北 乙 甲例 1（1） 第 9 課 解三角形的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.運(yùn)用正余弦定理等知識(shí)與方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 2.綜合運(yùn)用三角函數(shù)各種知識(shí)和方法解決有關(guān)問(wèn)題，深化對(duì)三角公式和基礎(chǔ)知識(shí)的理解，進(jìn) 一步提高三角變換的能力． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在 200 高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為 30，60，則塔高為 _________． 2．某人朝正東方向走 x km 后，向右轉(zhuǎn) 150，然后朝新方向走 3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么 x 的值為_(kāi)______________ km． 3．一船以每小時(shí) 15km 的速度向東航行，船在 A 處看到一個(gè)燈塔 B 在北偏東，行駛 4h 后， 船到達(dá) C 處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為 km． 4．如圖，我炮兵陣地位于 A 處，兩觀察所分別設(shè)于 B， D，已知為邊長(zhǎng)等于的正三角形，當(dāng) 目標(biāo)出現(xiàn)于 C 時(shí)，測(cè)得， ，求炮擊目標(biāo)的距離 解：在中，由正弦定理得： ∴ 在中，由余弦定理得： 22cosCAC????? ∴ 答：線段的長(zhǎng)為． 【范例解析】 例 .如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船 位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)， 乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？ 分析：讀懂題意，正確構(gòu)造三角形，結(jié)合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如圖(2)，連結(jié)，由已知， A B C D 第 4 題 2 或 1203126A??， ， 又 8B????∠ ，是等邊三角形， ， 由已知， ， 120564A??∠ ， 在中，由余弦定理， 221112cos5BB????A2220(1)01???? ． ．因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)） ． 答：乙船每小時(shí)航行海里． 解法二：如圖（3） ，連結(jié)， 由已知， 1203126A??， ，cos45sin45????? ，in0co0????? ． 在中，由余弦定理， 221112cos5ABAB???A2 (3)(0)04??? ． ． 由正弦定理 1121202(13)2sinsin4()AB????A∠ ∠ ， ，即 126045BA???∠ ， co5si??． 在中，由已知，由余弦定理， 221112csBA???22 2(13)0(3)(0)(3)04????? ． ，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)） ． 北 甲 乙 例 1（2） 北 乙 甲例 1（3） 答：乙船每小時(shí)航行海里． 點(diǎn)評(píng)：解法二也是構(gòu)造三角形的一種方法，但計(jì)算量大，通過(guò)比較二種方法，學(xué)生要善于利 用條件簡(jiǎn)化解題過(guò)程． 【反饋演練】 1．江岸邊有一炮臺(tái)高 30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為和，而且兩條船與炮 臺(tái)底部連線成角，則兩條船相距____________ m． 2．有一長(zhǎng)為 1km 的斜坡，它的傾斜角為，現(xiàn)要將傾斜角改為，則坡底要伸長(zhǎng)____1___ km． 3．某船上的人開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東方向，后來(lái)船沿南偏東方向航行 45 海里后，看見(jiàn)燈塔 在正西方向，則此時(shí)船與燈塔的距離是__________海里． 4．把一根長(zhǎng)為 30cm 的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小 值是____________ cm． 5．設(shè)是某港口水的深度 y（米）關(guān)于時(shí)間 t（時(shí)）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天 從 0 時(shí)至 24 時(shí)記錄的時(shí)間 t 與水深 y 的關(guān)系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.下面的函數(shù)中, 最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 （ A ） A． ]24,0[6sin312???t?B． ]24,0[)6sin(312???ty? C． y D．